精品解析：江西省九江市武宁县武宁尚美中学2025-2026学年高一下学期开学数学试题

江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度下学期开学考 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用二倍角公式化简求出，再利用二倍角变形即可求得. 【详解】 ， 故选：D 2. 设集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】由，， 则，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 关于的不等式有解是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【详解】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件  故选：B． 4. 函数的单调增区间是（ ）. A. B. C. D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再根据反比例函数的性质及函数的变换规则判断即可. 【详解】函数的定义域为， 又的图象是由向右平移个单位而来， 的单调递增区间为，， 所以的单调递增区间为，. 故选：D 5. 终边落在直线上的角的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别写出终边落在直线上且在第一象限和终边落在直线上且在第三象限的角的集合，取并集得答案． 【详解】解：当角的终边落在直线上且在第一象限时，角的集合为，； 当角的终边落在直线上且在第三象限时，角的集合为，． 取并集可得，终边落在直线上的角的集合为． 故选：． 【点睛】本题考查象限角和轴线角，考查了终边相同角的集合的表示，是基础题． 6. 在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（ ） A. 是必然事件 B. 与是互斥事件 C. D. 可能为 【答案】C 【解析】 【分析】通过举反例说明A和B不正确；通过交事件的性质判断C；根据概率的性质判断D. 【详解】对于A，若，则，故A不正确； 对于B，若，则， 此时与不是互斥事件，故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，根据概率性质，故D不正确. 故选：C. 7. 已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，利用数形结合思想得出、取值范围，可得出点的轨迹，进而可得出点的运动轨迹与两坐标轴所围成的图形，由此可计算出该图形的面积. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 令，可得. 由题意可得，当时，；当时，. 所以，点的轨迹与坐标轴围成的区域为， 该区域是边长为的正方形，其面积为. 故选：C. 【点睛】本题考查动点的运动轨迹与坐标轴围成的区域的面积的计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 8. 设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是 A. 在上为减函数 B. 在上为增函数 C. 在上为减函数 D. 在上为增函数 【答案】C 【解析】 【详解】对A，比如在上为增函数，但在上不具有单调性，A错； 对B，比如在上为增函数，但在上增函数，在上为减函数，B错； 对C，设，则在上为减函数，又因为在上为增函数， 则根据复合函数单调性知在上为减函数，故C正确； 对D，比如在上为增函数，但在上为减函数，D错. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 已知，且，则下列式子一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】对A，B，利用特殊值即可判断，对C利用不等式的性质即可判断,对D根据幂函数单调性求解. 【详解】对A，令，此时满足，但，故A错； 对B，令，，此时满足，但，故B错； 对C，因为，由不等式性质可得，故C正确； 对D，是上的单调递增函数， 时，成立，即，故D正确. 故选：CD 10. 设，函数在区间上有零点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题得，求函数的零点，由条件列不等式求其解可得的范围即可. 【详解】因为， 所以， 令，解得， 因为，所以函数的最小的正零点为， 由已知可得，即． 故选：BD. 11. 已知函数是定义域为R的可导函数，．若是奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线的倾斜角为 C. 是周期函数（是的导函数） D. 的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和对称性可知，也是奇函数，且可得出A错误；根据导数的几何意义求出得B正确；对求导，结合奇偶性和对称性可推出，故C正确；由为奇函数且，可得到的对称中心，即得到的对称中心. 【详解】解：由题意有，， 令，有，所以，故A错； ，令得，故B对； 为奇函数，即， 又因为， 所以，即，所以周期，故C对； 因为，，所以， 得，即关于对称， 所以； 即关于对称，故D对 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知，则________________________（请用a,b表示结果） 【答案】 【解析】 【分析】直接利用换底公式以及对数的运算性质,求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为. 【点睛】本题考查对数的运算性质,考查计算能力，属于基础题. 13. 平行四边形ABCD中，F是CD边中点，，点M在线段EF（不包括端点）上，若，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，求出，再利用基本不等式求解. 【详解】解：如图所示，设， 所以, 所以， 因为， 所以. 所以. 当且仅当时等号成立. 故答案： 14. 某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得到至少有一天淋雨的概率. 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”. 连续上班两天，上班、下班的次数共4次. （1）次均不下雨，概率为：. （2）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：. （3）有次下雨但不被淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨，②两天上班时下雨，下班时不下雨， ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为：. （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：. （5）次均下雨：. 两天都不淋雨的概率为：， 至少有一天淋雨的概率为： . 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查概率问题，具体思路如下： （1）至少有一天淋雨的概率不易分析，则计算两天都不淋雨的概率. （2）从下雨次数入手分类讨论：次均不下雨；有次下雨但不被淋雨；有次下雨但不被淋雨；有次下雨但不被淋雨；次均下雨.计算概率求和. （3）利用对立事件概率的性质即可得到至少有一天淋雨的概率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求证：是奇函数； （2）求证：； （3）若，，求，的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3），. 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义证明即可； （2）根据对数的运算性质计算可得； （3）结合（2）的性质及奇函数的性质得到，解得即可. 【小问1详解】 对于函数，令，解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 此时， 又，所以是奇函数； 【小问2详解】 证明：因为， 所以， 而， ∴成立； 【小问3详解】 若，， 则由（2）可得，， 又为奇函数，所以，即， 解得. 16. 某科研单位研制出某型号科考飞艇，一艘该型号飞艇最多只能执行次科考任务，一艘该型号飞艇第1次执行科考任务，能成功返航的概率为，若第次执行科考任务能成功返航，则执行第次科考任务且能成功返航的概率也为，否则此飞艇结束科考任务.一艘该型号飞艇每次执行科考任务，若能成功返航，则可获得价值为万元的科考数据，且“”的概率为0.8，“”的概率为0.2；若不能成功返航，则此次科考任务不能获得任何科考数据.记一艘该型号飞艇共可获得的科考数据的总价值为万元. （1）若，，求的分布列； （2）求（用和表示）. 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算公式即可求解， （2）由独立重复事件的概率公式，结合期望公式以及期望的性质即可求解. 【小问1详解】 若，，则的所有取值为0，200，400， 记一艘该型号飞艇第次执行科考任务能成功返航为事件，获得价值为200万元的科考数据为事件，.则 ， ， 所以的分布列为 0 200 400 0.86 0.13 0.01 【小问2详解】解法一：取值表示的意义如下：若一艘该型号飞艇能执行第次科考任务且在此次任务中获得价值200万元的科考数据，则，否则，. 因为分布列为 0 200 所以 因为， 所以 解法二： （2）因为的分布列为 0 200 0.8 0.2 所以， 记一艘该型号飞艇共可成功返航次. 则的全部取值为，且的分布列为 0 1 2 … … 所以 所以， 所以 所以 ， 所以. 17. 已知函数，的对称轴为且． （1）求、值； （2）当时，求的取值范围； （3）若不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的对称性可求得的值，由可求得的值； （2）利用二次函数的基本性质可求得的取值范围； （3）由可得出关于的不等式，解之即可. 【小问1详解】 解：二次函数的对称轴方程为，可得，且. 因此，，. 【小问2详解】 解：由（1）可知，当时，. 【小问3详解】 解：由，可得， 可得或，解得或. 18. 已知函数、在数集D上都有定义，对于任意的，，当时，或成立，则称是在数集D上的限定函数． （1）试判断函数是否是函数在上的限定函数； （2）设是在区间上的限定函数且在区间上的值恒负，求证：函数在区间上是严格减函数； （3）设，试写出函数在上的限定函数，并利用（2）的结论，求在上的单调区间，并说明理由． 【答案】（1）是，证明见解析 （2）证明见解析 （3）函数在上的限定函数为，的严格增区间是，的严格减区间是，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据限制函数的定义，即可得出结论； （2）对任意的，上恒为负值，所以，，根据限制函数的定义，推出，进而证出函数的单调性； （3）设，通过化简得，得到，然后推出，由，可得增区间，由，可得减区间． 【小问1详解】 解：对任意， 因为， 所以在上的限制函数为． 【小问2详解】 证明：对任意的上恒为负值，所以，， 由于或成立， 所以，不妨设，则， 所以在上是严格减函数； 【小问3详解】 解：设， 则， 所以，即， 由，解得， 因而当，，严格减， 即的严格增区间是． 当时，，严格增， 即的严格减区间是． 故函数在上的限定函数为，的严格增区间是，的严格减区间是. 19. 如图，函数的部分图象与直线交于A，B两点，点，在函数的图象上，且的面积为． （1）求函数的解析式； （2）设在上的两个零点为，求的值； （3）将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在[0,b]（）上至少有10个零点，求最小正整数b． 【答案】（1）； （2）； （3）10． 【解析】 【分析】（1）由题意得，从而可得函数的一条对称轴为，从而可得周期，根据周期公式可得ω的值，再代入C点坐标，即可求得函数的解析式； （2）由题意可得，代入求解即可； （3）由题意得，解出函数的零点，可得b的范围，再根据b为整数得答案． 【小问1详解】 因为，得到， 所以的一条对称轴为， 此时，则，从而解得， 又，且，得． 从而； 【小问2详解】 由题意得， 令，得到， 因为，， 所以，解得， 从而； 【小问3详解】 根据图象平移得， 令，则或， 由在[0,b]（）上至少有10个零点，易知，则， 所以，又b为正整数，故最小正整数b为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度下学期开学考 高一数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 关于不等式有解是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分不必要条件 4. 函数的单调增区间是（ ）. A. B. C. D. ， 5. 终边落在直线上的角的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是，，，则下列选项正确的是（ ） A. 是必然事件 B. 与是互斥事件 C. D. 可能为 7. 已知函数的定义域为，值域为，则在平面直角坐标系内，点的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是 A. 在上为减函数 B. 在上为增函数 C. 在上为减函数 D. 在上为增函数 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分. 9. 已知，且，则下列式子一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 10. 设，函数在区间上有零点，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数是定义域为R的可导函数，．若是奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 曲线在点处切线的倾斜角为 C. 是周期函数（是的导函数） D. 的图象关于点中心对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知，则________________________（请用a,b表示结果） 13. 平行四边形ABCD中，F是CD边中点，，点M在线段EF（不包括端点）上，若，则的最小值为______． 14. 某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求证：是奇函数； （2）求证：； （3）若，，求，的值. 16. 某科研单位研制出某型号科考飞艇，一艘该型号飞艇最多只能执行次科考任务，一艘该型号飞艇第1次执行科考任务，能成功返航概率为，若第次执行科考任务能成功返航，则执行第次科考任务且能成功返航的概率也为，否则此飞艇结束科考任务.一艘该型号飞艇每次执行科考任务，若能成功返航，则可获得价值为万元的科考数据，且“”的概率为0.8，“”的概率为0.2；若不能成功返航，则此次科考任务不能获得任何科考数据.记一艘该型号飞艇共可获得的科考数据的总价值为万元. （1）若，，求的分布列； （2）求（用和表示）. 17. 已知函数，的对称轴为且． （1）求、的值； （2）当时，求的取值范围； （3）若不等式成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数、在数集D上都有定义，对于任意的，，当时，或成立，则称是在数集D上的限定函数． （1）试判断函数是否是函数在上限定函数； （2）设是在区间上的限定函数且在区间上的值恒负，求证：函数在区间上是严格减函数； （3）设，试写出函数在上的限定函数，并利用（2）的结论，求在上的单调区间，并说明理由． 19. 如图，函数的部分图象与直线交于A，B两点，点，在函数的图象上，且的面积为． （1）求函数的解析式； （2）设在上的两个零点为，求的值； （3）将函数图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在[0,b]（）上至少有10个零点，求最小正整数b． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $