精品解析：山西长治市长子县第一中学校2025-2026学年高二下学期三月份自测（开学）数学试题

山西长治市长子县第一中学校2025-2026学年高二下学期三月份自测（开学）数学试题 本试题满分120分，考试时间90分钟 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 2 6 （ ） A. B. C. D. 7. 设不为1的实数a，b，c满足：，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则函数的部分图象可以为（ ） A B. C. D. 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.每个题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有错选的得零分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减 C. 的最大值为 D. 的图象关于直线对称 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 11. 已知函数是幂函数，且是奇函数，则______． 12. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”___________条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”） 13. 已知，，若存在两个零点，则的取值范围是______． 四、解答题（本题共4题，共53分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.） 14. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 15. 已知向量, 设函数. (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在上最大值和最小值. 16. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积为，求的周长. 17. （1）计算：； （2）已知是第三象限角，且. ①求值； ②求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西长治市长子县第一中学校2025-2026学年高二下学期三月份自测（开学）数学试题 本试题满分120分，考试时间90分钟 一、单项选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解二次不等式求得，进而求得. 【详解】由解得， 因为，， 所以. 故选：B 2. 已知函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的特点即可得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 3. 若，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD，举例判断，对于C，利用基本不等式判断. 【详解】对于A，若，则满足，且，而，所以A错误， 对于B，若，则满足，且，而，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，而，所以取不到等号，所以，所以C正确， 对于D，若，则满足，且，而，所以D错误， 故选：C 4. 下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数的奇偶性及单调性依次判断即可． 【详解】对于A项，函数为偶函数，故A项错误； 对于B项，函数在R上单调递减，故B项错误； 对于C项，，函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数，故C项正确； 对于D项，函数在上单调递减，在上单调递减，故D项错误． 5. 已知函数，则等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分条件代入依次计算作答. 【详解】函数，则， 所以 故选：C 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用诱导公式化简然后用两角和的正弦公式合并，然后由特殊角的三角函数求其值，即可解答. 【详解】 . 故选：A. 7. 设不为1的实数a，b，c满足：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举反例，根据对数值的正负可判断A；根据对数的运算性质可判断B；根据指数函数以及对数函数的单调性可判断C，D. 【详解】对于A，若，则， 则不成立，A错误； 对于B，因为，所以， 即，B正确； 对于C，当时，是R上的减函数， 由于，故，C错误； 对于D，当时，是上的减函数， 由于，故，D错误； 故选：B 8. 已知函数，则函数的部分图象可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性可排除BD，再取特殊值可判断AC，从而得解 【详解】因为的定义域为，且 ， 所以为奇函数， 故BD错误； 当时，令，易得， 解得， 故易知的图象在轴右侧的第一个交点为， 又，故C错误，A正确； 故选：A 二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分.每个题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分，有错选的得零分） 9. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减 C. 的最大值为 D. 的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域、单调性、最值、对称性定知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由解得，所以的定义域是，所以A选项正确. ， 函数在上单调递增， 函数的开口向下，对称轴为， 所以关于直线对称，D选项正确. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，B选项错误. 当时，取得最大值为，所以C选项正确. 故选：ACD 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. 当时， C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解；对于B，由向量平行的坐标公式计算即可得解；对于C，由向量垂直的坐标表示直接计算即可得解；对于D，直接由已知结合投影向量的定义和公式计算即可. 【详解】对于A，由题，故A错； 对于B，因为，所以有，整理得，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 11. 已知函数是幂函数，且是奇函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由幂函数由求参数值，再由幂函数为奇函数确定参数m即可. 【详解】由题设，可得，则或， 当，则为奇函数，满足题设； 当，则为偶函数，不满足题设. 所以. 故答案为： 12. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的___________条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【解析】 【分析】根据古诗的含义依次判断充分性和必要性即可. 【详解】由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，充分性不成立；“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立； “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 13. 已知，，若存在两个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】存在两个零点，得与的图像有两个交点，再用数形结合的方法求出的取值范围. 【详解】画出函数的图像，如图所示 再画出直线，之后上下移动，直线与函数图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即， 故答案为：. 四、解答题（本题共4题，共53分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤.） 14. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合利用补集，交集运算计算即可； （2）由集合是集合的真子集，建立不等式组，求解即可. 【小问1详解】 由． 当时，，则或， 所以． 【小问2详解】 若是的必要不充分条件，则集合是集合的真子集， 由（1）问可知：， 所以且等号不同时成立，解得， 故实数m的取值范围为． 15. 已知向量 设函数. (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在上的最大值和最小值. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) 【解析】 【分析】先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可. 【详解】 （Ⅰ）的最小正周期为. （Ⅱ），， 故当即时， 当即时， 本题主要考查的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题.正确运用公式图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一. 【考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题． 16. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理对等式进行化简，可求得角. （2）根据三角形面积公式可求得的值，然后根据余弦定理求出，进而可求出三角形的周长. 【小问1详解】 由正弦定理得：， ， ， 小问2详解】 由，得. 由余弦定理，得. 即， 的周长为. 17. （1）计算：； （2）已知是第三象限角，且. ①求的值； ②求的值. 【答案】（1）1；（2）①2；②2. 【解析】 【分析】（1）运用对数换底公式、对数的运算性质化简计算即可； （2）①利用三角诱导公式和同角的基本关系式化简已知式求得，再根据角的象限确定值；②将所求的弦的二次齐次式通过构造分母化弦为切即可得. 【详解】（1） . （2）由题意可得： ① ，则， 因为第三象限角，所以． ②是第三象限角，， . . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $