精品解析：湖南省长沙市第一中学2025-2026学年高二下学期开学考试数学试题

高二数学入学 命题人：孙尚宇 审题人：张鹏飞 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若中有且仅有一个元素，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，直线与线段有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 设函数在定义域内可导,图象如下图所示,则导函数的图象可能是 A. B. C. D. 5. 设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（ ） A. 49 B. 50 C. 51 D. 52 6. 记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（ ） A. 1 B. C. D. 3 7. 甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，（e为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，M，N分别是线段，上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则直线与直线的夹角为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 存在，使得平面 D. 若，则三棱锥外接球的表面积为8π 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线过且交于不同的两点，且，下列命题正确的有（ ） A. 直线的斜率 B. 若，则 C. 若，则 D. 存在使得平分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为______. 13. 若函数在上无极值点，则的取值范围为______. 14. 像87125这样各个数位上的数字依次先减少再增加的数称为“凹数”，现用0~9这10个数字，每个数字只用一次，组成的十位数，能组成______个凹数. 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知定义在上的函数 （1）若，，求出曲线在点处的切线方程； （2）求的极值. 16. 平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点． （1）求证：； （2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 17. 已知数列的前n项和为，，公差不为0的等差数列满足， 证明：数列为等比数列． 记，求数列的前n项和． 18. 已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成功的概率分别为，，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击中对方目标两次时，训练结束.假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件，蓝方击中红方目标为事件. （1）求概率、； （2）设随机变量表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求的分布列和数学期望； （3）求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率. 19. 双曲线C：的实轴长为，且过点，双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，过F的直线交双曲线右支于M，N两点，设直线、交于点P. （1）求双曲线C的方程； （2）证明：点P在定直线h上； （3）连接交直线h于点Q，证明：以为直径的圆与直线相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网列组卷网 高二数学入学 命题人：孙尚宇审题人：张鹏飞 时量：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1已知袋合4={树-1<x<3,B=0,a,若AnB中有且仅有一个元素，则实数“的取值范围为( A.（-1,3) B.（-o,-1[3,+∞) c.（-3,1) D.（-o0,-3]J[1,+o∞) 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的概念即可求解. 【详解】因为4=-1<x<3,B=0,a,要使得AnB中有且仅有一个元素，则a≤-1或a23,即 实数a的取值范围为（0，-1[3，+∞) 故选：B 2若复数z满足（1-)2=3-2i 则z的虚部为() 、5 A.2 B.2 c D. 2 【答案】C 【解析】 第1页/共27页 学科网命组卷网 【详解】若复数2满足1-2=3-2i 3-213-2)0+1)-3+3i-2i-2-5+1-5+2 则2=1-i=(0-i00+i) 2 222, 故复数z的虚部为2· 3.己知点A(,3),B(3,),直线：mx+y+2=0与线段AB有公共点，则实数m的取值范围为( A.（-0,-5U[l,+o) B【5, c.（o,-lU[5,+oo) D.-1,5] 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的定点，再求出 4,krB,数形结合，得出结果 【详解】如图 B -2-1丁0力34x -3i 由题意知直线'过定点P(0,-2) 易求PA的斜案=3--2)】 -1-0 PB的斜率s 1-（2-1 3-0, 第2页/共27页 命学科网 命组卷网 直线的斜率m 所以-m≥1或-m≤-5， 即m≤-1或m≥5 故选：C. 4.设函数()在定义城内可导，y=()图象如下图所示，则导函数y=f'()的图象可能是 f(x) 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数和原函数图象之间关系即可判断. 【详解】由图像可知，函数()在(-0,0)上是减函数，此时∫'(x)<0 ,故排除A、C: 当>0时，函数f() 的图象是先增，再减，最后再增， 所以()的值是先正，再负，最后是正，因此排除B, 故选：D 第3页/共27页 6学科网6组卷网 5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，Tn是数列n∫的前项和若S4=12,Ss=40,则T2等于( ) A.49 B.50 C.51 D.52 【答案】C 【解析】 S=n+2 【分析】设等差数列{a,}的公差为d,根据题意，列出方程组求得a,d的值，求得n2,结合等 差数列的求和公式，即可求解 【详解1设等差数列a,}的公差为d, 4a+6d=12 3 因为S,=12,S。=40,可得8a,+28d=40,解得4=2d=l, 所8=+22-》1-a+2到 S,n+2 22 2,所以n2, 所2么0+4t14=×3+4x12-=51 22 故答案为：C x+ 6.记函数 f(x)=sin +b(o>0) 4 的最小正周期为T.若3 灭<T<元，且y=f倒)的图象关于点 2 中心对称，则 3 5 A.1 B.2 C.2 D.3 【答案】A 【解析】 第4页/共27页 命学科网命组卷网 【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 2π<T<元 2元2π<元 【详解】由函数的最小正周期T满足 ,得30 ,解得2<0<3， 3π 2 又因为函数图象关于点(2对称，所以2”+ 3江o+T=kr,k∈Z,且b=2, 4 所以0=6+3 故选：A 7.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动 至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为() 5 6 9 8 A.18 B.25 C.25 D.9 【答案】C 【解析】 【分析】应用分组分配法、分步计数求活动安排的方法数，最后运用古典概率模型概率公式即得 【详解】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3,1,1，第二类分法是2,2,1，再分配到三项活动中， 总方法数为 A ×A=150 因甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同，故只需先把甲，乙，丙三人在三项活动上安排好，再让丁，戊两 人分别在三项活动中选择， P 549 其方法数为ACC)=54.故甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为15025. 故选：C. 第5页/共27页 6学科网命组卷网 24 Q= 34=7 8.已知7，be=7n7, e(e为自然对数的底数)，则() A.a>b>c B.a>c>b c.c>b>a D.c>a>b 【答案】A 【解析】 【分析】对be=71n7两边取对数，构造函数8()=x+l血无利用其在(0，+o)上的单调性可得b=h7. 法)-hx. 求导利用f(x)在(0，+o)上的单调性可得a>b可得答案；法二利用不 等式放缩可比较a,b的大小， 37 两边取对数得出c再做差b-c可得答案 【详解】对be=7n7两边取对数，n(be)=h(7In7)→lhb+b=n7+ln(n7). 而8()=x+血x在(0，+o)上单调递增，：b=n7. f()-mx-2(x-1).(---s0. 六f四ram华E减.0<f0=0,nh7分7-》-，ab a=24>2-1ne2>n7=b 3=7→c=log+1 7 e 6-cla-og. e 故选：A 第6页/共27页 6学科网6组卷网 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知a>0,b>0,且a+b=1,则() 4+2≥9 A.a b B21 2 c.1l0g2a+log2b≥-2 D.Va+Vb≤V2 【答案】ABD 【解析】 【分析】对ACD选项可用基本不等式可得，对B选项根据指数函数性质可得 【详解】因为a>0,b>0,且a+b=1, 对于A,所以ab(ab月 4+a+b)=5+4b+≥5+2， 4,14,1 4b.a=9 a b a b 2b-3 1 a= 当且仅当”3,3时，等号成立，故A正确： 对于B,由已知得0<a<1,0<b<1,所以-1<a-b<1,所 y20>21= 2,故B正确： 对于C,0g2a+1ogb=log2ab≤log2C+=-2 2,当且仅当a=b时，等号成立，故C错误： @+b-2则a+历≤2 对于D.(a+6°=a+h+2ab≤1+20 当且仅当a=b时，等号成立，故D正确， 10.如图，在棱长为2的正方体 BCD-ABCD中，MN分别是线段AB,AC上的动点（不含端 第7页/共27页 学科网命组卷网 点)，且4M=AW=a 则下列结论正确的是() A D C B A.若a=√2，则直线MN与直线B,D的夹角为3 1 B.三棱锥M-ABN体积的最大值为3 c.存在a∈(0,22). 使得MN//平面BCD D.若a=V ,则三楼锥M-ABN 外接球的表面积为8π 【答案】ABC 【解析】 【分析1当a=V2时，M,N分别为4B,AC 的中点，所以N也是BD的中点利用中位线定理及异面直 线所成的角的定义求出直线M 与直线 的夹角，判断A:将三棱锥M-AB BD 体积表示成”的函数， 根据二次函数的最值求法求得三楼锥M-MBV体积的最大值，判断B,当a=V2时，易得MNI/平面 BCD,可判断C正确；当a=V2时，求得三棱锥M-ABN的外接球表面积，判断D 【详解】对A,因为4B=AC=25,所以 当a=V2时，M,N分别为4B,AC的中点，所以N也是BD的中点 第8页/共27页 6学科网列组卷网 过M作M0LAB于Q,连接N№，则M0=N0=l,所以MN=V2 因为RD/IBD 所以直线MN与直线BD的夹角等于直线MN与直线BD的夹角，即∠BNM B C A B 又因为BM=BWM-=2=MN,所以∠BM-子 3,故A正确。 对B,过M作M01B于Q, 因为平面AMBA士平面ABCD,平面44BB,∩平面ABCD=AB,M0C平面A4BB, 所以M0'平面MBCD,即三枝维M-ABN的高为 MO 又0=wm4s-受i-小-2a 所以三棱锥M-ABV体积 mg成w-号小swas----可+ 当a=V2时，（化，-）-5，放B正疏 对C,当a=2时，N是4C的中点，所以N也是BD的中点 因为M是4B 的中点，所以MNI1AD/IB,C 第9页/共27页 6学科网命组卷网 又MN￠平 面BCD.BCC平面BCD,所以AMWI平面BCD,敢cC正确 对D,当a=2时M0=MBsin45=1,板Q为AB的中点， 又N为AC的中点，所以BN=AN,BW⊥AN, 所以Q到A,B,M,N的距离都为1， 即三棱锥M-ABN外接球的球心为Q,球半径为1，所以外接球表面积S=4π，故D错误 1已知抛物线B:少=4r的焦点为F,准线交轴于点C,直线'过C且交E于不同的4B两点，且 CA=2CB(2>),下列命题正确的有(） A直线'的斜幸k∈(-1,0U(0,1) B卖时-.则M=4 C若元=2，则4F=2BF D.存在九使得BF平分∠AFC 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由判别式可判断选项正误；B选项，由抛物线定义结合=引司 可判断选项正误；C选项， 如图，过4，B作准线垂线，垂足为4，B,由抛物线定义结合4∥B弘可判断选项正误：D选项，方法 1,通过证明△BFM△AFN,可得∠AFN=60,即可得，坐标，后由抛物线定义可求得乙，方法 2,设B关于轴的对称点为B,通过说明 ,F,B' 三点共线，可得∠AFN=60 ，后同方法1：方法3， 第10页/共27页 6学科网列组卷网 由角平分线定理结合抛物线定义可得=3 ,后同方法1；方法4，利用tan∠AFC=tan2∠BFC结合 1 x5=1,片2=4x,可得3戏-10x,+3=0,即可得5=3，后同方法1 【详解1由思可得C(-10),F(L,0)设方程为：x=测-1，A(,),B(3,少），将直线与抛物线 y2=4x 方程联立： x=my-1,消去x得：y2-4my+4=0 由题：16m-16>0,又由韦达定理知：片+乃=4m,%=4 A选质，是可得16m-16>0→m之1废m<1,则k=品e(10U0). 故A正确： 项，由抛物线定义可知：B专号=玉+1→5 则x=(my-0(m,-)=my-m(y+⅓)+1=4m2-4m2+1=1 得=2→M=,+1=3故B错误： C选项，如图，过A,B作准线垂线，垂足为4，B,因CA=-2CB,则CB=BA, 又M∥BB,则BB=214→2BF=H放C正晚 B 第11页/共27页 6学科网 命组卷网 A,B 选项D,方法1：如图，过作x轴垂线，垂足为N,M BM CB BB BF →ABFM∽AAFN→∠BFM=∠AFN 则AN CA AA AF 又∠BFM=∠AFB,所以∠AFN=60 注意：到M=A4|=lCW=lCF+FN=2+4Fcos60° 则4 1-0s60=4→=35=写→B时=B=手 2 则AA -a-a-规tDn BB,CB 方法2：设B关于x轴的对称点为B,则B'(:,一乃）注意到： (2-my2)(y-2) 2成2以+0四4夹线 (2-my2)my-2） 所∠BFM=∠B'FM=∠AFB→∠AFN=60 其余同方法1： CF CB 方法3：若BF平分∠AFC,则由角平分线定理可得AFAB, CFCB CB BB BF BF=x,+1 所以AF+CFAB+CBAC44AF,又AF=x+1,x:=1 2=x3+1 → 即x+3x+13x2-x+2=0→ 3-x+2=0→ x=3,下同方法1： 方法4：只需∠AFC=2∠BFC,即tan∠AFC=tan2∠BFC, 第12页/供27页 学科网命组卷网 注意到an∠AC=-kr=-,tan∠BFC=k=为 x-1, x-1,则 五2g6-+02s+-)5+5).2k+6= m m x-1(玉，--片x-1(玉-12-片-x(3-10- ，1=2(3-) 1。(--红→2s-=5-)-43城-105，+3=0解得号号或3 3 (舍去)，后同方法1. 故选：ACD 【点睛】关键点睛：应难以直接用坐标表示角度，故角平分线条件常通过角平分线定理，相似，三角函数 等转化为与长度，特殊角度相关的条件， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在△4BC中，a,b,c分别为内角A,B,C所对的边，A=乙 1=3π，a=3,且a=2b0sB,则 △ABC 的面积为 515 【答案】4#4 【解析】 【分析】先根据正弦定理和三角变换公式求符B-石，再求出6.C,最后根据面积公式可求了，4c 2π A= 【详解】由a=2 bcos B及正弦定理可得sinA=2 sin B cos B=sin2B,又3， 所以sin2B=sin π-V3 32, 2元0<B<0<2B<2 3知 、3，故 2B=π ,所以 nB=π ,即6， 第13页/供27页 6学科网6组卷网 b= 3 =1 所以 20sB2x5,C=x-B-4= 2 6 所5.6sinC-x5x1×语 2 24 13.若函数f)=(x-ar+hx（0,+四 在 )上无极值点，则“的取值范围为一 【答案】（∞，2V2] 【解析】 【分1由整可得四在0+)内华调.面当→时.四→切，所以e国20本@树四上 在 面成立，然后构适数8()=2x+ ,利用导数求出其最小值即可， 【详解】由f=r-ax+nx,存f=2x-a+ x 因为)=(-ar+血在0，+o)上无极值点， 在 所以四在0，+o 内单调， 因为当x→+o时，f(w)→+0。 所以f=2x-a+1之0 在(0，+o)恒成立， s) 合860=2r+>0,则8e倒=2是-2( x2(>0) 第14页/供27页 6学科网命组卷网 当0sx< √2 2时，g()<0,当x>2时，g)>0, (2 上递减，在2 上递增， √21 g(x)min=g √2 =2× =2√2 所以 2 2√2 2 所以as22 即的取值范围为（←，2√2] 故答案为： (-0,2W2] 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数解决极值点问题， f'(x)=2x-a+二≥0 解题的关键是根据题意将问题转化为 在(0，+o)恒成立，然后分离参数，构造函数， 利用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题， 14.像87125这样各个数位上的数字依次先减少再增加的数称为“凹数”，现用09这10个数字，每个数字 只用一次，组成的十位数，能组成个凹数 【答案】510 【解析】 【详解】方法一：由题设0在凹数的谷底，且左右两侧的数均比零大， 先选择0左侧元素，余下元素放在右侧， 故共有G+C+C+Cg+C+C+C+CG=2-2=510个数， 方法二：1~9每个数字可能在0的左侧或0的右侧两种可能， 去掉全部在0的左侧和全部在0的右侧两种情况， 2-2=510个数 第15页/供27页 6学科网命组卷网 四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知定义在R上的函数f()=ae*+be(a>0,b>0) (4)若a=2,b=1,求出曲线y=f()在点(0，f(0》处的切线方程： 2)求（✉的极值 【答案】(1)少=x+3 (2)极小值为 没有极大值 【解析】 【分析】(1)通过导函数求值，导数值与切线斜率的关系求解： (2)通过导函数与函数单调性的关系、极值的定义求解 【小问1详解】 a=2,b=l时，f(x)=2e+e 所以f'()=2e-e.f0)=3.f(0)=1 所以曲线y=f(:在点(0，(0》处的切线方程为y=x+3。 【小问2详解】 因为厂（因=心-e为暗商数，令f=0,解有=h a rh合 b 上符号为负，在 上符号为正增， 上单调递增， 第16页/共27页 6学科网 命组卷网 所以f(x)有极小值为 2 ab 没有极大值 16.平面上两个等腰直角△PAC和△ABC,AC既是△PAC的斜边又是△ABC的直角边，沿AC边折叠使 得平面PAC⊥平面ABC,M为斜边AB的中点. B (1)求证：AC⊥PM: PN (2)在线段PB上是否存在点N,使得平面CNM⊥平面PAB?若存在，求出PB的值：若不存在，说 明理由. 【答案】(1) C中点D,连 MD,PD ,如图， 又M为AB的中点， ∴.MDIIBC,AC⊥BCMD⊥AC ,由 ,则 又△PAC为等腰直角三角形，PA⊥PC,PA=PC, PDLAC,又MDOPP=D,MD,PDc平商PMD ACL平面PMD,又PMC平面PMD, ∴.AC⊥PM. 第17页/共27页 6学科网 命组卷网 PN 1 (2)存在，PB3 【解析】 【分析】)取4C中点D,连接 MD,PD ,依思意可得MDL4C、PD1AC即可证明4C1平面 PMD,从而得证； (2)建立空间直角坐标系，求出平面CNM、平面PAB的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积 为0求解即可： 【小问1详解】 略 【小问2详解】 MCL平面MBC,平面PMCn平面MBC=AC.PDLAC,PDc平面P1C 平面 平面 平面 PDL平面MBC,DMc平面MBC,故PD LDM 故以D为原点，DA,DM,DP为x、y、2轴正方向的空间直角坐标系，设AC=2, ∴.A1,0,0),B(-1,2,0),C(-1,0,0),P(0,0,1) 则CP=(,0,),AP=(-1,01)BP=(1,-2,1) 苦花在N使得平面CNM上平百P4B,且PB=,O≤， 则PN=PB=(-l2,-l),解得N(-,2,1-),M(0,10) 第18页/供27页 命学科网命组卷网 则CN=(1-元，2,1-).CM=(,10) AP.ni=-x+z=0 设万=（比，y,2)为平面P4B的一个法向量则BP.万=x-2y+2=0' PAB 令2=1，即i=(11,1) 设m=(a,bc)是平面CNM的一个法向量， CN.m=1-2)a+22b+(1-)c=0 则CM.m=a+b=0 61小则后-（买） m=-11+头-0，可4-青 1-，可得 PN 1 .存在N使得平面CNM⊥平面PAB,此时PB3 17.已知数列{a,}的前n项和为SS.=2a.+2n-5(n∈N）,公差不为0的等差数列b.}满足么=1 b2b3=bs (0)证明：数列a,-2}为等比数列 (2)记.=b.(a1-2）,求数列c,的前u项和工. 【答案】a四证明：数列{a}的前n项和为S,,=2a.+2n-5(neN)回 当n=1时，解得4=3.当n≥2时，9=2a+2m-7@ ①-②得an=2an-1-2,整理得an-2 常数)， 第19页供27页 6学科网列组卷网 所以数列{a。一2斗是以1为首项2为公比的等比数列。 (2)7,=(2n-3)2+6 【解析】 【分析】 (Q直接利用己知条件和等比数列的定义的应用求出结果。 (②）利用()的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出结果。 【详解】（O略 (2)由0得0，-2=12，解得0.=2+2 公差d不为0的等差数列也，}满足么=1，b,6=6, 解得（1+d)1+2d)）=1+7d 解得1=20含去）， 所以b。=2n-1 则。=b.(aH-2)=(2n-1）-2 所以7=12+3-22+…+(2m-）-2① 2Tn=12+323..+(2n-1)2② ①-②得T,=2+22+2.2++22”-(2n-1)-21 以-元=2+2.0-2-n-少2 1-2 整理得7，=-(2n-3)21-6 第20页/共27页 命学科网命组卷网 故7。=(2n-3)-2+6 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 2 18.已知无障碍时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中的概率均为3，红方、蓝方空中拦截对方炮弹成 1 功的概率分别为？，4，现红方、蓝方进行模拟对抗训练，每次由一方先发射一枚炮弹攻击对方目标，另 一方再进行空中拦截，轮流进行，各攻击对方目标一次为1轮对抗.经过数轮对抗后，当一方比另一方多击 中对方目标两次时，训练结束假定各轮结果相互独立.记在1轮对抗中，红方击中蓝方目标为事件A,蓝 方击中红方目标为事件B. (1)求概率P(4)、P(B). (2)设随机变量X表示经过1轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差，求X的分布列和数学期望； (3)求恰好经过3轮对抗后训练结束的条件下，红方多击中蓝方目标两次的概率. 【答案】(1) 、P(B=3 1 (2)期望为6，X的概率分布为： -0 1 2 6 3 4 (3)5.【解析】 【分析】(1)根据独立事件的概率公式和对立事件的概率关系可求P(4)、P(B), (2)X的可能取值为1,0，-1，根据独立事件和对立事件的概率关系可求X取相应值时对应概率，从而 可求分布列和期望， 第21页/供27页 命学科网命组卷网 (3)记3轮对抗后训练结束为事件C,记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D,根据独立事件的概率 公式可求P(C),P(CD) 再根据条件概率的概率公式可求题设中的条件概率。 【小问1详解】 时红方、蓝方发射炮弹攻击对方目标击中分别为事件4,4P(A)=P(A 红方、蓝方空中拦被对方炮弹成功分别为事件及，片，P(B)-2,P(B,)} P团=P4)P回=P氏(4-P】-x1-4). P=P4)P(回)=P(4)I-P(a]-子1--9 【小问2详解】 经过1轮对抗，红方与蓝方击中对方目标数之差X的可能取值为1,0，-1 PX==P氏4=P回=A-P(a]--)}, P(x=-=P氏a到=P倒--P(Pr=}兮8. PX=o)=P(4)+P@=2兮+-2}-2 X的概率分布为： 0 1 2 6 3 所以X的数学期望 (x)=1×写+(-x 66 第22页/供27页 命学科网命组卷网 【小问3详解】 记3轮对抗后训练结束为事件C,记红方比蓝方多击中对方目标两次为事件D. 记3轮对抗后红方与蓝方击中对方目标次数之差为Y, P(CD)=P(Y=2)=P(X=1)P(X=0)P(X=1)+P(X=0)P(X=1)P(X=1) =P(X=1DP(X=0)P(X=1)+P(X=O)P(X=1DP(X=1) =1xlxltIxlx1-1 3232339, P(Y=-2)=P(X=-1)P(X=0)P(X=-1)+P(X=0)P(X=-1)P(X=-1) 111,111_1 62626636, 所9=W=2+PY=-2》 5 1 所以P(DC)= P(CD)_9-4 P(C)55 36 4 所以在3轮对抗后训练结束的条件下，红方比蓝方多击中对方目标两次的概率为5· x2 y2 19双曲线C,京尔1的实轴长为2V5,且过点(2,5)，双曲线的左、右顶点分别为4,8，右焦点 为F,过F的直线I交双曲线右支于M,N两点，设直线AM、BN交于点P (1)求双曲线C的方程： (2)证明：点P在定直线h上： (3)连接AW P≌ 交直线h于点9，证明：以二为直径的圆与直线相切： 第23页/供27页 6学科网 命组卷网 x2 y2 =1 【答案】(1)39 (2) i证明：c=+=25,所以4(-5,0).B(V3,0）,F(23,0, 设I:x=my+2V3 「x2y 联立 3 91 得 x=my+2V3,(3m2-l)y2+12V3my+27=0 5m< 因为直线1与右支交于两点，故3 3 27 设M(x.Nx2),所以+=-3m-1,三32 数如y5+万+ a如y---间. x,+5_（m+33)凸_m+33y 所以x,-3（my,+3)y， yzy3y 第24页/共27页 6学科网列组卷网 12V3m +五=3m三1-4w3m 因为yy2 27 3m2-1 ,8m=35+ 9 +V340+为+33%9%+21yg 代入得xp-V3- 45+)+3y3明-9%=-3， 故xr=),所以p点在定直线：rs3 2上 (3) 33y 333y 证明：由②知=2+3阿：故2‘2(+3w3 33y2 可2+同)+间.92o可j -35。+ 332my22+3V3(2+2) ,+%-2气m+33+m,+352m%+3W3m(0+%)+27 -3 2mx_ +35× 27 12W3m 3m2-1 3m2-1 2 =3N3m. m2× 27 12W3m +27 3m2-1 +3W3m× 3m2-1 27yy2 27y1y2 又%4w+33jm+3万4m%+33m+%)+27] 第25页/供27页 6学科网命组卷网 27 27× 3m2-1 27 3m2-+3v3mx 27 12√3m 4 4 m2 +27 3m2-1 知5-255-25 yp 所以 ，即 2 2 FP⊥FQ PO 所以点F在以P2为直径的圆上， 35 -m kGr=- 2 -=-m 另一方面 -25 ，故直线 的方向向量为 2 GF (1,-m) 而MN的方程为x-my-2√5=0，故其方向向量为(m,1), 因1×m-m×1=0,所以两个方向向量垂直，故GF⊥MN, PO 所以以为直径的圆与直线相切于F点 【解析】 【分析】(1)根据实轴长求出a,根据所过的点求出b,故可求双曲线的方程； ,+V3 (2)设1：x=my+2√3，M(:,y)N(:2,乃2)联立直线方程和双曲线方程后化简x,-√5后可求 =2,故可证点p在定直线上 (3)结合(2)中的结果及韦达定理可证 mk0=-1,再由斜率公式可得am=-m,放可证以P吧为 直径的圆与直线相切于F点， 【小问1详解】 第26页/供27页 6学科网 命组卷网 由题意得，所以2a=2V3,a=V3 又因为双曲线过点(2，V3)】 代入解得b=3, x2 y =1 所以双曲线C的方程为39 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第27页/共27页