湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期自主练习卷（开学考试）数学试题

长沙市第一中学高二自主练习卷 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为虚数单位，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 2. 在等比数列中，，则公比 （ ） A. B. C. 3 D. 13 3. 已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 将名男生名女生共名同学分配到甲、乙、丙三个社区参加社会实践，每个社区至少一名同学，则恰好一名女生和一名男生分到甲社区的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的一条渐近线与圆相交所得弦长为1，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 7. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为（ ） A. B. C. D. 8. 若过点可以作曲线的三条切线，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 若，则函数的值域为 D. 函数的单调递减区间为 10. 已知函数，则（ ） A. 为的极大值点 B. 的图象关于中心对称 C. ， D. 函数的三个零点成等差数列 11. 我们把既有对称中心又有对称轴的曲线称为“优美曲线”，“优美曲线”与其对称轴的交点叫作“优美曲线”的顶点.对于“优美曲线”，则（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线有4个顶点 C. 曲线与直线有4个交点 D. 曲线上动点到原点距离的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，且函数是偶函数，若，则______ 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于，两点（，分别在第一、四象限），连接并延长交椭圆于点.若，，则椭圆的离心率为_______________. 14. 已知，函数恒成立，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求的大小； （2）若，，直线PQ分别交AB，BC于P，Q两点，且把的面积分成相等的两部分，求的最小值． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，E为的中点，点F满足，其中 （1）若平面，求的值； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数，其中为常数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若恒成立，求的值. 18. 已知是抛物线的焦点，过焦点的最短弦长为. （1）求抛物线的方程； （2）过动点作抛物线的两条切线，切点为，，直线与抛物线交于在第一象限）. ①求证：点在定直线上； ②记的面积分别为，当时，求点的坐标. 19. 设为正整数，集合，集合为的一个非空子集，记，其中. （1）若，，求的取值的集合； （2）证明：的所有可能取值个数为； （3）是否存在，使得的所有可能取值从小到大排列成等差数列，若存在，求；若不存在，说明理由. 长沙市第一中学高二自主练习卷 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】## 【14题答案】 【答案】7 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）递减区间为，递增区间为； （2）. 【18题答案】 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【19题答案】 【答案】（1） （2）设集合，，与中相同的元素不予考虑， 其中，， 假设，则， ， ， ，即 不存在两个不同的子集，，使得， 的所有可能取值个数为的非空子集个数，为. （3）存在， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $