第28章解直角三角形 专题训练-解直角三角形的应用2025-2026学年人教版九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数 专题训练 解直角三角形的应用 题型一 仰角、俯角问题 1.如图，某座山AB 的顶部有一座通信塔BC，且点 A，B，C在同一条直线上.从地面 P 处测得塔顶C 的仰角为 42°，测得塔底 B 的仰角为35°.已知通信塔 BC 的高度为32m，求这座山AB 的高度(结果取整数). 参考数据： 2.如图，学校数学兴趣小组同学计划测量建筑物AB 的高度，先在 D 处测得该建筑物顶端A的仰角为28°,然后从 D 处前进 40 m到达 C处，在C 处测得该建筑物顶端A 的仰角为60°,点 B,C,D 在同一条直线上,且AB⊥CD.求建筑物 AB 的高度(结果精确到0.1m). 参考数据： 3.亮亮同学用所学知识在自家阳台测对面大楼CD 的高度，如图，他利用自制的测角仪测得该大楼顶部C 的仰角是45°，底部D 的俯角是38°，又用绳子测得测角仪到地面的高度 AB 为31.6m ,求该大楼CD 的高度(精确到0.1m ). 参考数据： 4.位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一.某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面一条水平步道 MP 上架设测角仪，先在点M 处测得观星台最高点A 的仰角为22°，然后沿 MP 方向前进16 m到达点 N 处,测得点 A的仰角为45°，测角仪的高度为1.6 m. (1)求观星台最高点 A 距离地面的高度(结果精确到0.1m); (2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6m，请计算本次测量结果的误差. 参考数据： 题型二 方向角问题 1.如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的栈道 AB，栈道 AB 与景区道路CD平行.在C 处测得栈道一端A 位于北偏西45°方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏东32°方向.已知AC=60 m,CD=46 m,求栈道AB 的长度(结果保留整数). 参考数据： 2.如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 54°方向,距离灯塔90 n mile的 A 处,它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东45°方向上的 B 处.这时，B 处距离灯塔 P 有多远(结果取整数)? 参考数据： 3.如图,一艘小船以11 n mile/h的速度向正北方向航行，在A 处测得灯塔C 在北偏东37°方向，航行2 h后到达 B 处，测得灯塔C 在南偏东42°方向，求 B 处距离灯塔C 的距离BC(结果保留1位小数).参考数据： 4.如图，C地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由 A 地到C 地需要绕行B 地，已知 B 地位于A 地北偏东 67°方向,距离 A 地 520 km,C 地位于B 地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路AC 的长(结果保留整数). 参考数据： 1.732. 题型三 坡度、坡角问题 1.如图是东方货站传送货物的平面示意图，为了提高安全性，工人师傅打算减小传送带与地面的夹角，由原来的 45°改为36°，已知原传送带BC 长为4 米，求新传送带AC 的长及新、原传送带触地点之间AB 的长(结果精确到0.1米).参考数据：sin 36°≈0.59, cos 36°≈0. 81, 2.如图，为测量一座山峰CF 的高度，将此山的某侧山坡划分为AB 和BC 两段，每一段山坡近似是“直”的,测得坡长 AB=800米,BC=200米,坡角∠BAF=30°,∠CBE=45°. (1)求 AB段山坡的高度EF; (2)求山峰的高度 CF.(结果取整数， 1.414) 3.如图,已知斜坡 AB 长为 60 米，坡角(即∠BAC)为 45°,BC⊥AC.现计划在斜坡中点D 处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线AC 的休闲平台DE 和一条新的斜坡BE，若修建的斜坡 BE 的坡度为 : 1,求休闲平台DE 的长是多少米(结果保留根号). 4.如图,有一段斜坡 BC 长为10米,坡角∠CBD=12°，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把坡角降为5°. (1)求坡高CD; (2)求斜坡新起点 A 到原起点 B 的距离(精确到0.1米). 参考数据： 题型一 1.解:在 Rt△APB 中,∠APB=35°, ∴AB=AP·tan35°, 在 Rt△APC 中,∠APC=42°, ∴AC=AP·tan42°, ∵AC-AB=BC=32, ∴这座山 AB 的高度约为 112 m. 2.解:∵AB⊥CD,∴∠ABC=90°,在 Rt△ABC 中,∠ACB=60°, 在 Rt△ABD中, ∵BD-BC=CD=40, ∴建筑物AB 的高度约为30.6m . 3.解:如图,过点 A 作AH⊥CD,垂足为 H,则DH=AB=31.6m, 由题意得:∠CAH=45°,∠DAH=38°, 在 Rt△AHD 中, 在 Rt△AHC中,( ∴该大楼CD 的高度约为72.1m. 4.解:(1)如图,过点A 作AE⊥MP,交 MP 的延长线于点E,连接BC 并延长,交AE 于点 D. 则CD⊥AE,BM=CN=DE=1.6m,BC=MN=16m,∠ABC=22°,∠ACD=45°,在 Rt△ACD 中,AD=CD, 在 Rt△ABD中, ∴AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3(m). 即观星台最高点 A 距离地面的高度约为12.3m； (2)12.6-12.3=0.3(m). ∴本次测量结果的误差为0.3m. 题型二 1.解:如图,过C作CH⊥AB 于点H,过点 D 作DG⊥AB 于点G, ∵AB∥CD, ∴CH∥DG, ∴四边形CHGD 是矩形, ∴CH=DG,HG=CD. 在 Rt△ACH 中,∠ACH=45°,AC=60 m, 在 Rt△BDG 中,∠BDG=32°,DG=CH=30 ∴栈道AB 的长度约为115 m. 2.解:由题意得,∠A=54°,∠B=45°, AP=90 n mile, 在 Rt△APC 中, ∴PC=AP·sin54°, 在 Rt△BPC 中, ∴B 处距离灯塔 P 大约 103 n mile. 3.解:如图,过C作CH⊥AB 于 H. 由题意得,∠HBC=42°,∠HAC=37°, AB=11×2=22(n mile). 在 Rt△CBH 中, 在 Rt△ACH 中, ∵AB=BH+AH, =9.00(n mile). 在Rt△CBH 中, ∴B 处距离灯塔C 的距离 BC 约为13.4 n mile. 4.解:如图,过点 B 作 BD⊥AC 于点 D. 由题意得,∠ABD=67°,AB=520,∠CBD=30°, 在 Rt△ABD 中, AD=AB·sin67°,BD=AB·cos67°, 在 Rt△CBD 中, ∴A 地到C 地之间高铁线路AC 的长约为595 km. 题型三 1.解:如图,作CD⊥AB 于点 D. 由题意可得:∠A=36°,∠CBD=45°,BC=4, 在 Rt△BCD中, ∵∠CBD=45°,∴BD=CD=2 在 Rt△ACD 中 (米), (米), ∴新传送带AC 的长约为4.8米，新、原传送带触地点之间AB 的长约为1.0米. 2.解:(1)如图,作 BH⊥AF 于 H,在 Rt△ABH 中,∵∠BAF=30°, ∴EF=BH=400(米), ∴AB 段山坡的高度 EF 为400米; (2)在 Rt△CBE 中, ∴CE=BC·sin∠CBE=200×sin45°≈141.4, ∴CF=CE+EF=141.4+400≈541(米). ∴山峰的高度 CF 约为541米. 3.解:如图,延长 DE 交BC 于点F. ∵DF∥AC, ∴∠BDF=∠BAC=45°. D 是AB 的中点, 在Rt△BDF 中, ∴BF=DF=30, ∵斜坡 BE 的坡度为 即 ∴DE=DF-EF=(30-10 )米. ∴休闲平台 DE 的长是( 米. 4.解:(1)在 Rt△BCD 中, 1(米), ∴坡高CD 约为2.1米; (2)在 Rt△BCD 中, BD=BC· cos 12°≈10×0.98=9.8(米), 在 Rt△ACD中, (米), ∴斜坡新起点 A 与原起点 B 的距离约为13.5米. 学科网（北京）股份有限公司 $