精品解析：广东惠州市惠城区合生实验学校2026年九年级数学春季开学收心自测

合生实验学校2025−2026学年度第二学期 九年级数学寒假作业检测卷 （时间：120分 满分：120分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点 为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若一个等腰三角形的两边长分别为4和7，则这个三角形的周长为（　　） A. 15 B. 12或21 C. 15或18 D. 21 7. 如图，在中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 9. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接 ，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为______． 12. 分解因式：______． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：______． 14. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是________． 15. 如图，菱形 的面积为12，点E是的中点，点F是BC上一点．若的面积为2，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：； 17. 先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 四、解答题（一）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 20. 如图，内接于，（不是直径）与相交于点D，且 ，过点A作的切线交的延长线于点E． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 21. 背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车． 素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加． 问题解决 任务1 若某商场采购了辆购物车，求车身总长与购物车辆数的表达式； 任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输辆购物车，若要运输辆购物车，且最多只能使用电梯次，求：共有多少种运输方案？ 五、解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分、23题14分，共27分） 22. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与、分别交于点D、E，连结 ． （1）如图2，连结、 ，当的面积为2时： ① ______；②求的面积； （2）如图3，将沿 翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 23. 如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为． （1）当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）． （2）当点E与点C重合时，求t的值． （3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合生实验学校2025−2026学年度第二学期 九年级数学寒假作业检测卷 （时间：120分 满分：120分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 据统计，年我国新能源汽车产量超过万辆，其中万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，先把万转化为，再根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，然后根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：万， 故选：． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法与除法，幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法法则，幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不合题意； B、，故此选项不合题意； C、，故此选项不合题意； D、，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其它差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键在于掌握概率 所求情况数与总情况数之比． 根据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，即可解题． 【详解】解：画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， 两次都取到白色小球的概率为． 故选：D． 5. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点 ，点 为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 6. 若一个等腰三角形的两边长分别为4和7，则这个三角形的周长为（　　） A. 15 B. 12或21 C. 15或18 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，本题没有明确说明已知的边长哪个是腰长，则有两种情况：①腰长为4；②腰长为7．再根据三角形的性质：三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边判断是否满足，再将满足的代入周长公式即可得出周长的值． 【详解】解：①腰长为4时，符合三角形三边关系，则其周长； ②腰长为7时，符合三角形三边关系，则其周长． 所以三角形的周长为15或18． 故选：C． 7. 如图，在 中，点分别为边的中点．下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断；由相似三角形的判定和性质可判断，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为边的中点， ∴，，故正确； ∵， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故错误； 故选：． 8. 如果，，那么的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ； 故选D． 9. 如图， 是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理可进行求解． 【详解】解：∵ 是的直径， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查圆周角的相关性质，熟练掌握直径所对圆周角为直角是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，点P是边 上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接 ，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求 的最小值转化为其相等线段的最小值．连接，根据矩形的性质可知：，当 最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长． 【详解】解：中，，，， ， 连接，如图所示： ∵于点 ，于点 ， ， ∴， 四边形是矩形， ， 当 最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小， ∴此时． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先去分母，再解一元一次方程，最后再检验． 【详解】解：， ， 解得： ， 经检验： 是原方程的解， ∴原方程的解为： ， 故答案为： ． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法分解因式是解题的关键．提取公因式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的k的值：______． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解∶∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴当k取0时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：0（答案不唯一）． 14. 若抛物线（是常数）与 轴没有交点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴没有交点与没有实数根是解题的关键． 由抛物线与x轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴没有实数根， ∴，． 故答案为：． 15. 如图，菱形 的面积为12，点E是 的中点，点F是BC上一点．若的面积为2，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质及三角形的面积计算，根据同高三角形的底之比等于面积之比计算出空白部分三角形面积是解题的关键．连接 ，因为 是 的中点，所以，，根据，可得，故，故． 【详解】解：连接 ， 是 的中点， ， 连接， 同理可得， ， ， ， ， ． 故答案为：5． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：； 【答案】1 【解析】 【分析】利用乘方的意义、绝对值的意义、负整数指数幂，有理数乘法法则，计算即可． 本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值． 【答案】，取 ，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时分子分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴取 ，原式． 18. 如图，在 中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线 交 于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证： 与相切． 【答案】（1） 如图1， 即为所作； （2） 证明：如图2，作于 ， ∵ 是的平分线，，， ∴， ∵ 是半径，， ∴ 与相切． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键． （1）利用尺规作角平分线的方法解答即可； （2）如图2，作于 ，由角平分线的性质定理可得，由 是半径，，可证 与相切． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（一）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，有20名学生报名参加选拔．报名的学生需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小悦、小涵的三项测试成绩和总评成绩如下表，这20名学生的总评成绩频数直方图（每组含最小值，不含最大值）如下图 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小悦 83 72 80 78 小涵 86 84 ▲ ▲ （1）在摄影测试中，七位评委给小涵打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是__________分，众数是__________分，平均数是__________分； （2）请你计算小涵的总评成绩； （3）学校决定根据总评成绩择优选拔12名小记者．试分析小悦、小涵能否入选，并说明理由． 【答案】（1）69，69，70 （2）82分 （3） 结论：小涵能入选，小悦不一定能入选 理由：由频数直方图可得，总评成绩不低于80分的学生有10名，总评成绩不低于70分且小宁80分的学生有6名．小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【解析】 【分析】（1）从小到大排序，找出中位数、众数即可，算出平均数． （2）将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出的总评成绩即可． （3）小涵和小悦的总评成绩分别是82分，78分，学校要选拔12名小记者，小涵的成绩在前12名，因此小涵一定能入选；小悦的成绩不一定在前12名，因此小悦不一定能入选． 【小问1详解】 从小到大排序， 67，68，69，69，71，72， 74， ∴中位数是69， 众数是69， 平均数： 69，69，70 【小问2详解】 解：（分）． 答：小涵的总评成绩为82分． 【小问3详解】 略 【点睛】此题考查了中位数、众数、平均数，解题的关键是熟悉相关概念． 20. 如图， 内接于， （不是直径）与相交于点D，且 ，过点A作的切线交的延长线于点E． （1）求证： 平分； （2）若，，求 的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， 与相切于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （2）10 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质证明，由垂径定理证明 ，则，，所以，则 平分； （2）因为，，所以，由勾股定理得，求得，则，所以，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， 解得， ， ， ， 的长为10． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、等角的余角相等、锐角三角函数与角直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 21. 背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车． 素材 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加． 问题解决 任务1 若某商场采购了辆购物车，求车身总长 与购物车辆数的表达式； 任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输辆购物车，若要运输辆购物车，且最多只能使用电梯 次，求：共有多少种运输方案？ 【答案】任务：；任务 ：一次性最多可以运输台购物车；任务：共有 种方案 【解析】 【分析】本题考查了求函数表达式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 任务1：根据一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加，且采购了辆购物车， 是车身总长，即可作答； 任务2：结合“已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车”，得出，再解不等式，即可作答； 任务3：根据“该商场扶手电梯一次性可以运输辆购物车，若要运输辆购物车，且最多只能使用电梯 次”，列式，再解不等式，即可作答． 【详解】解：任务1：∵一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加 ∴ 任务2：依题意，∵已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车， 令， 解得： ∴一次性最多可以运输辆购物车； 任务3：设 次扶手电梯，则次直梯， 由题意∵该商场扶手电梯一次性可以运输辆购物车，若要运输辆购物车，且最多只能使用电梯 次 可列方程为：， 解得：， ∵ 为整数， ∴， 方案一：直梯次，扶梯 次； 方案二：直梯 次，扶梯次； 方案三：直梯次，扶梯 次； 方案四：扶梯 次． 答：共有四种方案. 五、解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分、23题14分，共27分） 22. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在坐标轴上，且，，反比例函数的图象与 、 分别交于点D、E，连结 ． （1）如图2，连结、 ，当的面积为2时： ① ______；②求的面积； （2）如图3，将沿 翻折，当点B的对称点F恰好落在边上时，求k的值． 【答案】（1）①4；②； （2）k的值为． 【解析】 【分析】（1）①根据反比例函数的几何意义解答即可； ②根据解析式代入得出点 和 的坐标，进而利用割补法求三角形面积，即可解题； （2）过点D作轴于点G，类比于②用表示出，根据反比例函数的性质和折叠的性质以及相似三角形的判定和性质用表示出，再结合勾股定理建立等式求解，即可解题. 【小问1详解】 解：①的面积为2，反比例函数图象在第一象限， 即有， ， 故答案为：4； ②在矩形中，，， ， 反比例函数的解析式是：， ， 即点D的纵坐标是3， 令， 解得：， D， 同理，当时，， ， ，，，， ； 【小问2详解】 解：过点D作轴于点G，则， ，即点D的纵坐标是3， 令， 解得：， ， 同理可得，当时，， ， ，，，， 由折叠的性质可知： ， ，， ， 轴， ， ， ， ， ， 即， ， 轴， 是直角三角形，， ， 解得：， 即k的值为． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质、反比例函数的几何意义，折叠的性质，勾股定理，相似三角形性质和判定，三角形的面积公式，解题的关键是根据待定系数法得出解析式进行解答． 23. 如图，在 中，，，， 是 的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交 于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与 重合部分图形的面积为． （1）当点P在线段 上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）． （2）当点E与点C重合时，求t的值． （3）求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】（1）等腰三角形， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点Q作于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到，由，得到，解得到； （2）由为等边三角形得到，而，则，故，解得； （3）当点P在 上，点E在 上，重合部分为，过点P作于点G，，则，此时；当点P在 上，点E在 延长线上时，记与 交于点F，此时重合部分为四边形，此时，因此，故可得，此时；当点P在 上，重合部分为， 此时，，解直角三角形得，故，此时，再综上即可求解． 【小问1详解】 解：过点Q作于点H，由题意得： ∵，， ∴ ， ∵ 平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴在中，； 【小问2详解】 解：如图， ∵为等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 即， ∴； 【小问3详解】 解：当点P在 上，点E在 上，重合部分为，过点P作于点G， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（2）知当点E与点C重合时，， ∴； 当点P在 上，点E在 延长线上时，记与 交于点F，此时重合部分为四边形，如图， ∵是等边三角形， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 当点P与点D重合时，在中，， ∴， ∴； 当点P在 上，重合部分为，如图， ∵， 由上知， ∴， ∴此时， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点P与点B重合时，， 解得：， ∴， 综上所述：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $