精品解析：湖南省新高考教学教研联盟2025-2026学年高三上学期12月联考数学试题

新高考教学教研联盟2026届高三年级12月联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解出各个集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 因为，所以，故A正确. 故选：A 2. 已知复数，其中 为虚数单位，则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则求出复数 ，进而根据虚部的含义求出虚部即可． 【详解】由， 所以复数 的虚部为． 故选：C． 3. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角三角比的定义求出 ，再利用两角和的正切公式即可得出答案. 【详解】由角的终边过点，得， 所以. 故选：B. 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. 80 B. 40 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式的规则及分类计数原理可求解. 【详解】 个因式， 个因式中取， 个因式中取， 个因式中取， 即可得出含的项，其为， 故的系数为. 故选：D 5. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】计算出，结合，从而得到方程，求出答案. 【详解】，又， 所以，则 . 故选：D 6. 晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形 为矩形，， ， ，， 为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域 和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将区域 还原到圆柱中求得其面积，由区域和 全等可求得总面积. 【详解】由题意可知区域 和全等，且都是底面半径为，高为的圆柱的侧面的一部分， 将区域 还原到如图所示圆柱中. 由图可知，， ， 由扇形的弧长公式可知，的长为， 结合圆柱的侧面积公式可知， 所以， 所以被瓦片覆盖的区域 和的总面积为. 故选：B 7. 已知双曲线，有相同的渐近线，焦点分别在 轴、 轴上，离心率分别为，，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设，，可得，然后由不等式知识可得答案. 【详解】设双曲线，， ，， ，， 则对于，其半焦距为，实半轴为，则； 对于，其半焦距为，实半轴为，则， 则， 结合（当且仅当时取等号）及基本不等式， ， 当且仅当 时取等号. 故选：D 8. 若，，使得，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把问题转化成的区间长度要不小于的解集的区间长度求 的取值范围. 【详解】由，得，， 由，得，， 若，，使得， 则的区间长度要不小于的解集的区间长度， ， . 故选：A 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知点与点关于点对称，若，，，的平均数为 ，中位数为 ，方差为 ，极差为 ，则，，，这组数满足（ ） A. 平均数为 B. 中位数为 C. 方差为 D. 极差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平均数，中位数，方差和极差的定义求解. 【详解】因为点与点关于点对称， 所以，则， 又，，，的平均数为 ，中位数为 ，方差为 ，极差为 ， 所以，，，，这组数的平均数为，中位数为，方差为，极差为 ， 故BCD正确，A错误. 故选：BCD 10. 正方体中，点 分别为棱的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标表示公式、直线方向向量与平面法向量的关系逐一判断即可. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2. A：因为， 所以， 因为， 所以 不成立，故本选项说法不正确； B：因为， 所以， 因为， 所以，而平面， 所以 平面，因此本选项说法正确； C：设平面的法向量为， 因为，所以， 于是有，， 因为，平面， 所以平面，因此本选项说法正确； D：因为，所以，而， 显然不存在实数，使得成立，所以不成立，因此本选项说法不正确， 故选：BC 11. 已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，曲线交 于点，，若，则（ ） A. B. C. 面积的最小值为1 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设直线 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，可判断A的真假；利用抛物线焦点弦的性质，可判断B的真假；利用三角形的面积公式，结合韦达定理，可判断C的真假；利用两点间的距离公式结合韦达定理，可判断D的真假. 【详解】如图： 选项A：由题意知，曲线过点 ，延长 交抛物线于点， 由对称性可知点 与点关于 轴对称，则， 不妨设直线，则， 所以， ，， ，故A正确； 选项B：，则，故B错误； 选项C：，则的最小值为1，故C正确； 选项D：， ， ， ，故D正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】结合题意先求出和，再利用换底公式和对数的运算性质求解即可. 【详解】由知，，，同理可得. 得到. 故答案为：1 13. 在正项等比数列中，若，，则______. 【答案】1024## 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式即可求出公比，再求首项，最后可得通项，从而可求解. 【详解】由题意知，， 因为正项等比数列，所以， 由，可得， 所以，即. 故答案为： 14. 已知 ，若，不等式恒成立，则 的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式化简恒成立，则只需令的最小值大于等于 ，通过求导求出函数单调性即可找到最小值. 【详解】令，则， 令，， 在区间上单调递增，且， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， ， 令，易知在区间上单调递增， 又，，. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，. （1）求 ； （2）若 的角平分线交 边于点 ，，，求 的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件及正弦定理，再结合二倍角公式可得； （2）根据角平分线分三角形面积之间的关系及余弦定理可得. 【小问1详解】 由及正弦定理，得， ，， ， ，，，或. ，，，即. 【小问2详解】 如图： ， ，①， 又在 中，由余弦定理可得，即②， 将①代入②得，或（舍）, . 的周长为. 16. 如图，在四棱锥中，平面 ，且 ，，， ， 是 的中点.若四棱锥有外接球. （1）求四棱锥外接球的体积； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先得出四边形 的外接圆圆心为 的中点 ，进而得出 的中点 为外接球的球心，利用勾股定理求出外接球半径，最后利用球的体积公式即可求解； （2）法一：建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，再利用二面角的向量公式即可求解；法二：设所求二面角为，首先利用体积转化法求出点 到平面的距离 ，最后利用，进而求出 . 【小问1详解】 平面 ，四棱锥有外接球， 四边形 有外接圆， ， 为四边形 的外接圆的直径， 的中点 为圆心，且， 是 的中点，，， 取 的中点 ，连接，，则， 平面 ， 平面 ，， 外接球的球心即为点 ，半径为， 外接球的体积为. 【小问2详解】 法一：如图，以 为坐标原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知，，，，， ，，， 设平面的法向量，则， 令，则， 设平面的法向量，则， 令，则， ， 由图可得，二面角的余弦值为. 法二：，， 中，，，， ，， ，设点 到平面的距离为 ， ，，解得， 记大小为，，. 17. 将编号为 ， ，，的小球随机放入编号为，，，的盒子，每个盒子里仅放一个小球，设编号为的盒子里小球的编号为，若，则称该小球为“配球”. （1）当 时，求“配球”个数 的分布列和期望. （2）已知：若随机变量服从两点分布，且，，， ，， ，则. （i）求“配球”个数 的期望. （ii）若满足：当时，；当时，；当时，，且，则称该小球为“顶球”，求“顶球”个数 的期望. 【答案】（1）分布列见解析，期望为1 （2）（i） ；（ii） 【解析】 【分析】（1）首先写出 的取值，根据古典概率公式求出每个取值对应的概率，列出分布列，最后根据期望公式即可求解； （2）（ⅰ）首先得出，然后再利用题干所给公式即可求解； （ⅱ）首先得出，，，然后再利用题干所给公式即可求解. 【小问1详解】 ， ，，， 则 的分布列为 0 1 3 . 【小问2详解】 （ⅰ）记则，， . （ⅱ）记则， 设第 个球是“顶球”的概率为，则，，当时，， . 18. 已知椭圆 的离心率为，短轴长为，正的三边分别与 相切于，，三点， 为坐标原点. （1）求椭圆 的方程； （2）若直线的斜率不存在，求的中心坐标； （3）求证：点 不是的中心. 【答案】（1） （2） （3）由（2）可知，当三条切线，，中有一条直线斜率不存在时，的中心不是点 . 当三条切线，，的斜率都存在时， 设 ， ， ， ， 设， 则 ， 整理得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， 假设点 是的中心，则点 到，，的距离相等， ， ， ，， ，，中必有两点关于坐标原点对称，此时存在两条切线互相平行，，，不能围成三角形， 原假设不成立，即点 不是的中心. 【解析】 【分析】（1）由条件列出方程求出 即可得解； （2）当其中一条斜率不存在时，写出所在直线方程，求出另外两边所在直线的交点，利用正三角形性质求出外接圆的圆心即可； （3）分类讨论，当其中一条边所在直线斜率不存在时，由（2）分析，当三条边所在直线斜率都存在时，利用反证法证明即可. 【小问1详解】 由题意知解得 则椭圆 的方程为 . 【小问2详解】 不妨先设直线 ，如图， 为正三角形， 不妨设，分别在 轴的上、下方，则直线的斜率为， 设直线 ， ，联立 ， 直线与椭圆 相切， ，解得，即直线过点 ， 同理可得，直线过点 ， . 此时，关于 轴对称，的中心在 轴上，坐标为 ， 同理，当直线为 时，由对称性可知，的中心坐标为 ， 综上，的中心坐标为 . 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）若，求证：； （2）若数列满足，前 项和为，求证：； （3）若等差数列的公差，前 项和为，，求. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）代入函数化简后，用三角公式得，结合推得范围. （2）将裂项并求和，利用余弦范围放缩后，通过半角公式转化为正切形式的不等式. （3）拆分求和式为等差数列和加余弦和，用数列性质分组余弦和后，构造单调函数求得. 【小问1详解】 ， 故， ， ， ，，， 即，， . 【小问2详解】 ， ， ，， ，， . 【小问3详解】 为等差数列， ， 同理可得，，，， ， 令， ， ，， ， 在 上单调递增，则方程有且仅有一个解， ∵， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新高考教学教研联盟2026届高三年级12月联考 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，其中 为虚数单位，则复数 的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 的展开式中，的系数为（ ） A. 80 B. 40 C. D. 5. 已知向量与的夹角为，，，则（ ） A. B. 0 C. D. 2 6. 晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图1是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”.现使用图2简单模拟圣母殿的屋顶结构，其中四边形 为矩形，， ， ，， 为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为，圆心角为.已知区域 和是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线，有相同的渐近线，焦点分别在 轴、 轴上，离心率分别为，，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 8. 若，，使得，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知点与点关于点对称，若，，，的平均数为 ，中位数为 ，方差为 ，极差为 ，则，，，这组数满足（ ） A. 平均数为 B. 中位数为 C. 方差为 D. 极差为 10. 正方体中，点 分别为棱的中点，则（ ） A. B. 平面 C. 平面 D. 11. 已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，曲线交 于点，，若，则（ ） A. B. C. 面积的最小值为1 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______. 13. 在正项等比数列中，若，，则______. 14. 已知 ，若，不等式恒成立，则 的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，. （1）求 ； （2）若 的角平分线交 边于点 ，，，求 的周长. 16. 如图，在四棱锥中，平面 ，且 ，，， ， 是 的中点.若四棱锥有外接球. （1）求四棱锥外接球的体积； （2）求二面角的余弦值. 17. 将编号为 ， ，，的小球随机放入编号为，，，的盒子，每个盒子里仅放一个小球，设编号为的盒子里小球的编号为，若，则称该小球为“配球”. （1）当 时，求“配球”个数 的分布列和期望. （2）已知：若随机变量服从两点分布，且，，， ，， ，则. （i）求“配球”个数 的期望. （ii）若满足：当时，；当时，；当时，，且，则称该小球为“顶球”，求“顶球”个数 的期望. 18. 已知椭圆 的离心率为，短轴长为，正的三边分别与 相切于，，三点， 为坐标原点. （1）求椭圆 的方程； （2）若直线的斜率不存在，求的中心坐标； （3）求证：点 不是的中心. 19. 已知函数. （1）若，求证：； （2）若数列满足，前 项和为，求证：； （3）若等差数列的公差，前 项和为，，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $