精品解析：湖北襄阳市2026届高三年级3月统一调研测试数学试题

2026年3月襄阳市高三年级统一调研测试 数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由得， 又集合，所以. 2. 设i是虚数单位，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法计算公式求解. 【详解】由得. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 由得，故. 4. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像平移和伸缩的性质即可求解. 【详解】把函数图象向右平移个单位长度，得到，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据 的形式构造函数，利用导数求解函数的单调性即可得解. 【详解】由于， 故构造函数，则， 令， 故，因此在上单调递增， 故，故在恒成立，故在上单调递增，因此，即. 6. 已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆及双曲线的方程，根据椭圆及双曲线的离心率公式及定义，求得，进而得，，利用余弦定理即可求得，根据双曲线的渐近线方程，即可求得答案． 【详解】设椭圆的方程：，双曲线的方程：，， 焦点，， 由，，由，则，则， 由定义：，， 则，， 由余弦定理可知：， 则， ，，则， 双曲线的渐近线方程， 7. 在一次游泳比赛结束后，甲、乙、丙、丁进入前4名，且这4人无并列名次．赛完他们出场后，场外一个未看到比赛结果的游泳爱好者跟他们了解比赛结果： 甲说：我是第四名 乙说：我不是第二名或第四名 丙说：我排在乙前面 丁说：我是第一名 他们4人中只有一个人说的是假话，下列正确的是（ ） A. 丙是第一名 B. 乙是第二名 C. 甲是第三名 D. 丁是第四名 【答案】A 【解析】 【详解】若甲说假话，其余三人真，则丁第1名，由乙不是第2或第4名，得乙只能是第3名， 又丙排在乙前面，于是丙只能为第2名，推出甲为第4名，与甲说假话矛盾，甲说真话，甲确实是第4名； 若乙说假话，其余三人真，则丁第1名，甲第4名，由丙排在乙前面，得丙第2名， 乙第3名，与乙说假话矛盾，乙说真话； 若丙说假话，其余三人真，则丁第1名，甲第4名，由乙不是第2或第4名， 得丙第2名，乙第3名，与丙说假话矛盾，丙说真话； 若丁说假话，其余三人真，则甲第4名，由乙不是第2或第4名，丙排在乙前面， 得乙只能为第3名，因此丙第1名，丁第2名，丁说假话. 8. 已知数列为等差数列，首项（m为整数），公差，前项和，则满足题意的的所有取值的和为（ ） A. 3720 B. 4320 C. 2940 D. 1736 【答案】D 【解析】 【分析】通过等差数列前项和公式，的取值是700的因数求解. 【详解】，， 所以n的取值为的所有因数， 所以所求和为． 故选D 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，，，则 B. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为8 C. 一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D. 1，2，3，，2024，2025，2026这2026个数的上四分位数是507 【答案】AC 【解析】 【分析】运用独立事件概率公式、方差性质、互斥事件定义和百分位数计算方法，来判断各说法的正确性. 【详解】选项A：事件与相互独立，则， 又，，则，选项A 正确； 选项B：设原数据的方差为，新数据为， 因为（为常数）， 则，选项B错误； 选项C：记“至少有一个红球”为事件，“两个球颜色相同”为事件： 事件的样本点：(红,黑)、(红,白)、(黑,红)、(白,红)； 事件的样本点：(黑,黑)、(白,白)； 事件与无公共样本点，不可能同时发生，故与互斥，选项C 正确； 选项D：对于个按从小到大排列的数据，上四分位数的位置为：， 根据百分位数定义，位置为小数时，取第个数作为上四分位数，而非 ，因此选项D 错误. 10. 已知菱形中，，，现将沿对角线折起至，连接，形成三棱锥，则下列说法正确的是（ ） A. 二面角的大小为时，平面平面 B. 在折起的过程中，存在某个位置使 C. 时，三棱锥的体积为 D. 三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可建立适当空间直角坐标系，设，则可表示出各点坐标；对A：由二面角定义可得，则可求出平面与平面的法向量，再利用数量积公式判断其数量积是否为即可得；对B：表示出、后，通过数量积公式判断其数量积能否为即可得；对C：表示出、后，利用可得点坐标，再利用体积公式计算即可得解；对D：表示出体积后即可得三棱锥的体积最大时的点坐标，再设出三棱锥外接球的球心，借助外接球定义计算即可得外接球球心坐标及其半径，再利用球体表面积公式计算即可得解. 【详解】由，四边形为菱形， 则、、均为等边三角形， 取中点，以为原点，建立如下图所示空间直角坐标系，设， 则、、、、； 对A：由、均为等边三角形，则 、， 由 平面 平面 ，故即为二面角的平面角， 即，故， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为、， 则，， 取 ，则，，， 故、， 则，故与不垂直， 故平面与平面不垂直，故A错误； 对B：，， 令，则， 故在折起的过程中，存在某个位置使，故B正确； 对C：，， 时，有，则， 则，即， 则三棱锥的体积为，故C正确； 对D：三棱锥的体积为， 则当时，三棱锥的体积最大，此时， 设其外接球的球心为，半径为， 则有，解得， 故其外接球的表面积为，故D正确. 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. 若存在两个极值点、，且，则与有3个交点 C. 若，，则 D. 若，， 有三个不等实根，，，且，则实数a的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A．∵，∴， ∴，∴的对称中心为；所以A对 对于B．证明：设， 则, 利用方程左右两边的系数相等，得到 又，为，所以 所以：， 由于是的极大值点，且 故与有两个交点，所以B错 对于C，由题意知，1和2是的两根，设 则，C 正确， 对于D．， 而, 所以：， ，解得 又有三个不等实根，所以极大值大于0，极小值小于0 ∴ 又实数a为正，所以在为增，在为减，在为增，所以， 所以，且，所以，所以D对. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 曲线在点处的切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解切线方程. 【详解】由得,故， 所以在点处的切线方程为,即. 13. 已知等比数列满足，，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由可得， 又，所以，故 ，故，其中为公比. 14. 已知，若，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用，根据和差化积公式得，即可由万能公式求解. 【详解】．∵ ∴ ∴, 由于，故，则， ∴ ∴. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，正三角形和平行四边形 在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角 为120°，设CE的中点为H． （1）求证：平面 平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）因为四边形为平行四边形，F、G分别为 的中点， 所以四边形 为平行四边形，所以 ． 因为 平面， 平面，所以 平面， 又H、G分别为 的中点，所以 ． 平面， 平面，所以 平面， 因为FD、 平面 ， ， 所以平面 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行，进而根据面面平行的判定求证， （2）证明线面垂直，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为三角形为正三角形，，F为的中点， 所以， ， 所以为二面角 的平面角， 又 ， 平面 ， 所以 平面 ，因为 平面，所以平面 平面． 作 平面于O，则O在直线上． 又二面角 的平面角为 ， 所以O在线段的延长线上．由已知得，则，． 以F为原点， 所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于 的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图， 因为， ，所以， 则， ， ， ， ， 则 ， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则由，，得， 令，得 ． 易得平面的一个法向量， 所以平面 与平面的夹角的余弦值为． 16. 在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． （1）若，AM平分∠BAC，，，求的周长； （2）若，且，求的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值；最小值4 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解； （2）根据三角形面积公式可得，根据余弦定理化简可得，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大值，利用基本不等式可得最小值. 【小问1详解】 由题意得 所以① 又② 由①②解得 ，所以的周长为； 【小问2详解】 ∵， 又，∴ ∴ 当且仅当，即时取“”， 又，当且仅当 时取“”， 所以的最大值，最小值4． 17. 已知函数． （1）若 恒成立，求a的取值集合； （2）当时，证明：当 时，恒成立． 【答案】（1） （2） ，且 时，则故. 要证明即证， 而， 令，下证 即可． ，再令，则， 由于函数在上递增，故在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，得证． 【解析】 【分析】（1）对的正负进行讨论，利用导数求解函数的单调性，求解的最小值，进而构造函数，由导数即可求解， （2）原不等式即为，利用放缩法将问题转化为，构造函数，由导数求解函数的单调性后可证即可. 【小问1详解】 的定义域为． ①若，因为，所以不满足题意； ②若，由知，当时，； 当时，，所以在单调递减，在单调递增， 故在时取得最小值，所以， 令，则 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 又 ，故，当且仅当时取到等号， 所以的解为，故． 【小问2详解】 略 18. 如图，设抛物线方程为，点P为直线 上任意一点，过P作抛物线的切线，切点分别为，． （1）若的坐标为，求证：直线的方程为； （2）已知P点的坐标为，，求此时抛物线的方程； （3）是否存在点，使得点 关于直线的对称点D在抛物线上，其中点 满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）由得， 当时，， 所以，则的方程为：， 则，又， 故 ； 当时，， 所以，则的方程为：， 则，又， 故 ； 综上可得， ； （2） 或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）设 ，则可得 的方程为 ，结合点坐标及、 在抛物线上，可得，是方程 的两根，则可得与，有关韦达定理，再表示出直线的斜率后，利用弦长公式计算即可得解； （3）设 ，结合（1）、（2）中所得，可得，再利用 在抛物线上，可得 或，即有 或 ，再分 及讨论即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 ，由（1）可得 的方程为 ， 又P点的坐标为 ， ，则 ， 又，所以 ，同理 ， 所以，是方程 的两根， 因此 ，，又， 由弦长公式得， 化简得 ，即 ， 所以 或 （负值舍去），因此所求抛物线方程为 或； 【小问3详解】 设 ，由题意得 ， 则 的中点坐标为 ， 由（1）（2）可知：直线的方程为 ， 由点 在直线上，中点 也在直线上， 则 ， ， 作差得，即， 若 在抛物线上，则， 因此 或，即 或 ； ① 时，则 ，此时，点 适合题意； ②当，对于 ，此时 ，， 又，由 ，所以 ， 即，矛盾，故不符； 对于 ，因为 ，此时直线DH平行于x轴， 又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾； 所以时，不存在符合题意的P点； 综上所述，仅存在一点 适合题意. 19. 集合，，对T中的两个不同元素和， 若存在一个函数f：满足： ①， ②， ③， 则称：X与Y是T中的一对“友好元素”． （1）当时，若，写出X对应的一个“友好元素”； （2）若和是T中的一对“友好元素”，且满足 ，规定：随机变量服从分布，当时，试写出的分布列及其对应的一对“友好元素”X与Y； （3）当时，若且满足，证明：若存在B使得A与B是T中的一对“友好元素”，则A中有且仅有个0． 【答案】（1） （2）分布列见解析，， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，由题意，写出满足的条件，写出函数值，即可得答案. （2）取，，写出函数值，完成分别列，求出期望即可. （3）根据所给定义，不妨令，讨论A中有个0、个0和小于等于个0三种情况，求出B，分析讨论，综合即可得证. 【小问1详解】 当时，由，需构造满足 ①， ② ③， 设 ，，，，，则满足①②③， 此时；故满足题意． 【小问2详解】 取，满足且满足 ，， ，，，， 的分布列为 0 2 4 6 p 0 ， 所以， （其他合理答案，同样给分，如：，等）． 【小问3详解】 当时，若且满足，不妨令 ①由于，所以，，…，不可能都是0． ②若A中有个0，不妨设，，则，此时， 根据题意，则，， 但是当时与矛盾，所以不成立； 当时，， 与矛盾． 所以A中不可能有个0． ③若A中有个0，不妨设，，则，其中， 则存在函数f使得： ，，，，， ， 即存在使得A与B是T中的友好元素． ④若A中0的个数小于等于个，不妨设， 其中，，，，，…， ，则． 假设存在B，则有两种可能： 第一种：，其中若，， 则；若，，则，此时， ， 不符合题意； 第二种：，则 ． 即这两种情况都有，矛盾． 综上可知，当时，若存在序列B使得A与B为一对“友好元素”，则A中有个0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年3月襄阳市高三年级统一调研测试 数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设i是虚数单位，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在一次游泳比赛结束后，甲、乙、丙、丁进入前4名，且这4人无并列名次．赛完他们出场后，场外一个未看到比赛结果的游泳爱好者跟他们了解比赛结果： 甲说：我是第四名 乙说：我不是第二名或第四名 丙说：我排在乙前面 丁说：我是第一名 他们4人中只有一个人说的是假话，下列正确的是（ ） A. 丙是第一名 B. 乙是第二名 C. 甲是第三名 D. 丁是第四名 8. 已知数列为等差数列，首项（m为整数），公差，前项和，则满足题意的的所有取值的和为（ ） A. 3720 B. 4320 C. 2940 D. 1736 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，，，则 B. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为8 C. 一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D. 1，2，3，，2024，2025，2026这2026个数的上四分位数是507 10. 已知菱形中，，，现将沿对角线折起至，连接，形成三棱锥，则下列说法正确的是（ ） A. 二面角的大小为时，平面平面 B. 在折起的过程中，存在某个位置使 C. 时，三棱锥的体积为 D. 三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的对称中心为 B. 若存在两个极值点、，且，则与有3个交点 C. 若，，则 D. 若，， 有三个不等实根，，，且，则实数a的取值范围是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 曲线在点处的切线方程为_______． 13. 已知等比数列满足，，则_______． 14. 已知，若，且，则_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，正三角形和平行四边形 在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G．将沿直线AB翻折到，使二面角 为120°，设CE的中点为H． （1）求证：平面 平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 16. 在中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一点． （1）若，AM平分∠BAC，，，求的周长； （2）若，且，求的最大值和最小值． 17. 已知函数． （1）若 恒成立，求a的取值集合； （2）当时，证明：当时，恒成立． 18. 如图，设抛物线方程为，点P为直线 上任意一点，过P作抛物线的切线，切点分别为，． （1）若的坐标为，求证：直线的方程为； （2）已知P点的坐标为，，求此时抛物线的方程； （3）是否存在点，使得点关于直线的对称点D在抛物线上，其中点满足（为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 集合，，对T中的两个不同元素和， 若存在一个函数f：满足： ①， ②， ③， 则称：X与Y是T中的一对“友好元素”． （1）当时，若，写出X对应的一个“友好元素”； （2）若和是T中的一对“友好元素”，且满足 ，规定：随机变量服从分布，当时，试写出的分布列及其对应的一对“友好元素”X与Y； （3）当时，若且满足，证明：若存在B使得A与B是T中的一对“友好元素”，则A中有且仅有个0． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $