第五章二次函数单元复习拔尖卷 2025—2026学年苏科版数学九年级下册

第五章二次函数单元复习拔尖卷苏科版2025—2026学年九年级下册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．二次函数的图象的顶点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 2．将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为（      ） A． B． C． D． 3．关于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．最大值为4 B．最小值为4 C．最大值为6 D．最小值为6 4．函数，下列结论中正确的是（    ） A．若，函数图象过点 B．若，函数图象与轴没有交点 C．若，则当时，随的增大而减小 D．若，则当时，随的增大而增大 5．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的图象经过点．如果，那么的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 7．已知二次函数（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①；②方程的两根是；③；④函数的最大值是．其中正确的是（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 8．已知抛物线（a，b都是常数，且）经过点，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．若关于的二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则实数的值是________． 10．已知二次函数的、部分对应值如下表，则该二次函数图象的对称轴为直线_____． 11．在等腰直角三角形中，，点在抛物线上，点在轴上，两点的横坐标分别为1和的值为__________． 12．已知二次函数：． （1）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最小值是，则a的值为______； （2）若对于该抛物线上的两点，当时，均满足，则的取值范围是___________． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．已知抛物线与x轴的一个交点为点，与y轴的交点为点． (1)求抛物线的解析式； (2)求y的最值． 14．已知，二次函数． (1)若该图象过点，求函数的顶点坐标； (2)当时，y的最大值与最小值的和是4，求a的值． 15．受疫情的影响，果园里成熟的柑橘出现了滞销现象，小红和爷爷打算将柑橘（数量充足）运到城里零售，经过一段时间的调查发现，当售价为4元/千克时，每天可卖出500千克，且售价每涨1元/千克，则少卖出25千克，为了能将柑橘卖出去，又要让顾客获得实惠 (1)小红和她的爷爷希望第一天能卖出3500元的柑橘，请问售价应该定为多少？ (2)售价定为多少时可使每天的销售额最大，最大是多少？ 16．已知二次函数（是常数且）． （1）若，该函数图象的顶点坐标为_____． （2）若函数图象经过原点，当时，函数的最大值恰好是，则的值为_____． 17．已知二次函数（其中、为常数）． (1)若，判断二次函数的图象与轴公共点的个数，并说明理由； (2)若点，都在二次函数的图象上，试比较、的大小． (3)若该函数图象经过点和，若点在轴上，过作轴的垂线，交直线于点，以为斜边作等腰直角．当点落在抛物线上时，求此时的横坐标． 18．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若函数的最大值与最小值的差为，求出的值； (4)若点是坐标平面内一动点，请直接写出的最小值及此时点的坐标． 参考答案 一、选择题 1．D 2．C 3．C 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 二、填空题 9． 10． 11．2 12． 三、解答题 13．【详解】（1）解：与x轴的一个交点为点，与y轴的交点为点 ， 解得， ； （2）解：，， 当时，y取最小值为． 14．【详解】（1）解：点代入中得，解得 ∴ 故函数的顶点坐标为：； （2）解：∵函数对称轴为直线，，， ∴当时，最大值为； 当时，最小值为； ∵y的最大值与最小值的和是4 ∴ ， 解得. 15．【详解】（1）解：设售价定为x元/千克，则销量为千克， 根据题意得：， 解得， 因为要让顾客获得实惠，选择较低售价． 所以售价应定为10元/千克； （2）设每天的销售额为y元，售价为x元/千克． 根据题意得：， 该函数开口向下，对称轴为， 当时， ， 答：售价定为12元/千克时，每天销售额最大，最大值为3600 元． 16．【详解】（1）解：将代入中， 得， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）解：由题意得， 将点代入中， 得， 解得， ∵， ∴， ∴该函数解析式为． 当时，， 当时，． ①当时，最大值为12， ∴，解得； ②当时，最大值为， ∴，解得或（舍去）． 综上所述，的值为3或8． 17．【详解】（1）解：∵， ∴， ∴二次函数的图象与轴有个公共点； （2）∵的对称轴为， ∴，， ∵开口向上，越靠近对称轴的函数值越小， 又∵， ∴； （3）将点和代入， 得， 解得，， ∴， ∵设直线的解析式为：， 将点和代入，得：， 解得，， ∴， ∵设，轴，点在直线上， ∴， ∴的中点为， ∵为斜边，根据等腰直角三角形的性质，点在直线上，点到的距离， ①当时，，点到的距离， 当在的左侧，，当在的右侧， ∴或， ∵点在抛物线上， ∴当时，， 解得(舍)或； 当时，， 当时， 解得或(舍)； 当时，， ②当时，，点到的距离， 当在的左侧，，当在的右侧， ∴或， ∵点在抛物线上， ∴或， 当时，， 解得(舍)或(舍)； 当时， 解得(舍)或(舍)； 综上所述：点横坐标为或． 18．【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点是该抛物线上一动点， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴点在下方， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值； （3）解：在抛物线中，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ①当区间在对称轴左侧，即时， ∵， ∴， 在上，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 当时，取得最小值， ∴， 解得； ②当区间在对称轴右侧，即时， ∴ 在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴， 解得； ③当区间包含对称轴，即时， ∴， 此时二次函数在顶点处取得最小值，即的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时， ∵， ∴在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 当时， 同理，在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 综上所述，或． （4）解：∵， ∴，， 两式相加得，即， ∴点在直线上， 如图，作直线，交轴于点，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接、、， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴，，， ∴，即， ∴点的坐标为， ∵， 又∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即， 在直角中，， ∴的最小值为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，的最小值为，此时点的坐标为． 学科网（北京）股份有限公司 $