专题04 二次函数与一元二次方程（6大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

专题04 二次函数与一元二次方程 目录 A题型建模・专项突破 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 3 题型三、抛物线与x轴的交点问题 4 题型四、图象法解一元二次不等式 5 题型五、利用不等式求自变量或函数值的范围 7 题型六、根据交点确定不等式的解集 10 B综合攻坚・能力跃升 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1．（24-25九年级上·北京·期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，把，代入，求出或，即可得出答案． 【详解】解：当时，， 解得：或， ∴抛物线与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或． 2．（24-25九年级上·广东汕头·期末）二次函数的图象与x轴的交点坐标是 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是求解抛物线与x轴的交点坐标，依据题意，令，从而或，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵令 ∴或， ∴二次函数的图象与x轴的交点坐标是，． 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·山东济南·期中）抛物线与轴的一个交点的坐标为，则与轴的另一个交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，正确记忆修改知识点是解题关键．先求出抛物线对称轴为：，再根据抛物线的对称轴进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点的坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，则抛物线与轴的另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，解题关键是明确二次函数的对称性，根据关于对称轴对称点的坐标特征解答．根据对称性可直接求出坐标． 【详解】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为、，且， 根据两个交点关于对称轴直线对称可知：， ∵抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 故答案是：． 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 5．（24-25九年级上·河南商丘·阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．把代入解析式求出y，根据y轴上点的坐标特征解答即可． 【详解】解∶当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为∶ ． 6．（24-25九年级上·广西柳州·期中）抛物线 与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据图象的性质与y轴的交点的横坐标是0，代入即可解决问题 【详解】解：令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为； 故答案为 7．（24-25九年级上·全国·期末）抛物线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求出时，的值即可得到抛物线与轴的交点坐标，根据轴上点的横坐标为求出交点的纵坐标是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）抛物线与轴的交点纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与纵坐标轴的交点，解题的关键是掌握轴上的点的横坐标为0． 将代入解析式求出y值即可． 【详解】解：将代入，得：， 抛物线与轴交点的纵坐标为． 故答案为：． 题型三、抛物线与x轴的交点问题 9．（24-25九年级上·全国·期末）如果函数的图像与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握时抛物线与x轴有公共点，是解题的关键． 由函数的图像与x轴有公共点，可知，解不等式即可得出答案． 【详解】解：函数的图像与x轴有公共点， ， 解得：； 故答案为：． 10．（2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛）抛物线与轴有交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由抛物线与轴有交点可得出方程有解，利用根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．本题考查了抛物线与轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式找出关于m的一元一次不等式是解题的关键． 【详解】抛物线与轴有交点， 关于的一元二次方程有解， ， 解得：． 故答案为：． 11．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴有交点，则a的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】抛物线与x轴有交点则，再根据二次函数解析式二次项系数不等于0，列出不等式求解即可． 本题考查二次函数图像与x轴的交点问题，熟记“当时，抛物线与x轴有交点”是解题的关键，还要注意二次项系数不等于0． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴且， 解得且． 故答案为：且． 12．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键． 根据抛物线与x轴没有交点，得到，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型四、图象法解一元二次不等式 13．（24-25九年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 14．（24-25九年级下·江苏盐城·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·山东日照·期中）如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】本题考查二次函数图像的应用，解题关键是运用数形结合的思想解决问题．由图像判断是对称轴，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图像即可求解． 【详解】解：由图像可知二次函数的对称轴是直线， ∵该函数图像与x轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是， ∴的解集为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，二次函数图象经过点、、．当时，x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了图象法解一元二次不等式，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 根据图象即可直接得出答案． 【详解】解：二次函数的图象经过点，， 由图象可知：当时，或， 故答案为：或． 题型五、利用不等式求自变量或函数值的范围 17．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）已知二次函数，时函数y的最大值是1，则 ． 【答案】或3 【分析】本题主要考查二次函数的最值，由函数解析式可知当时，函数有最大值为，且当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，根据x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为1，可分情况讨论a的值． 【详解】解：∵， ∴函数图象开口方向向下，对称轴为直线，顶点为， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∴当时，， 解得，，， 在时，当时，最大值为1，此时； 在时，当时，最大值为1， 综上，a的值为或3， 故答案为：或3． 18．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据函数图像特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数有最大值； ∵， ∴当时，函数值， 当时，函数值， ∴当时，函数值y的取值范围是：， 故答案为：． 19．（2024九年级上·全国·专题练习）已知二次函数． （1）若，则y的取值范围为 ； （2）若，则x的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程； （1）先将一般式化为顶点式，判断出抛物线的对称轴和开口方向，再根据二次函数的性质进行求解即可； （2）先通过解方程求出函数值为时，函数值为时，进而结合抛物线图象即可求解． 【详解】解：（1）， 对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向下， 当时，有最大值为， 当时， ∵, ∴当时，取得最小值，最小值为， ∴当时，， 故答案为：． （2）， 当时，即， 解得：， 当时，即， 解得：， ∴当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． 20．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）请在图中的表格里画出二次函数的图象，并结合图象回答下列内容： (1)与x轴的交点坐标是______，顶点坐标是______． (2)结合图象回答：当时，x的取值为______． (3)结合图象回答：当时，函数值y的取值范围是______． 【答案】(1)，； (2) (3)，详见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，求二次函数的函数值的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）画出函数图象，令，得到x的值即可得到与x轴交点坐标；然后找到对称轴即可得到顶点坐标； （2）借助图象得到抛物线在x轴下方时自变量x的取值范围解答即可； （3）根据函数图象得到y的取值范围求解即可． 【详解】（1）函数图象如图所示： 由图象可知当或时，， ∴与x轴的交点坐标是，； 当时，y有最大值，最大值为， 故顶点坐标为； 故答案为：，；； （2）解：由图可知当时，抛物线在x轴的下方， ∴当时，x的取值为， 故答案为：； （3）解：由图可知当，y的取值范围为， 故答案为：． 题型六、根据交点确定不等式的解集 21．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，直线和抛物线交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)求不等式的解集（直接写出答案）． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图象法求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入，到，利用待定系数法即可求解； （2）观察二次函数的图象在直线上方时对应的范围即可． 【详解】（1）解：代入，到，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由图象得，当或时，， ∴不等式的解集为或． 22．（2025九年级上·浙江·专题练习）二次函数的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题： (1)直接写出该二次函数的解析式为 ___________； (2)不等式 的解集是 ___________； (3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 ___________； (4)若关于x的方程有两个不相等的实根，则k的取值范围是 ___________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数图象的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）设抛物线交点式，将代入解析式求解． （2）根据抛物线与x轴交点坐标及开口方向判断． （3）由抛物线与x轴交点坐标可得抛物线对称轴为直线，然后根据开口方向进行判断． （4）将抛物线解析式化为顶点式求解． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 将代入，得， 解得， ∴， 故答案为：． （2）解：由图象可得或时，， 故答案为：或． （3）解：∵图象经过，， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴时，y随x的增大而减小， 故答案为：． （4）解：∵， ∴， ∴时，有两个不相等的实根， 故答案为：． 23．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题． (1)写出方程的两个根：__________； (2)写出不等式的解集：__________； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围__________； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围：__________． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数中取一个定值时，二次函数就转化为一个一元二次方程． （1）抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根； （2）的解集是抛物线在轴下方对应的x的取值，观察图形即可解答； （3）抛物线开口向上，在对称轴左侧时随的增大而减小，观察图形即可解答； （4）方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，从图象上可以看出当时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； 故答案为：， （2）解：由图象可知，当时，抛物线的图象在轴的下方， 不等式的解集为； 故答案为： （3）解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴为， 在对称轴的左侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 故答案为： （4）解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 故答案为： 24．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）已知二次函数的图象如下图，请根据函数图象完成以下问题： (1)该函数的对称轴为 　 　，方程的解为 　 　； (2)当时，y的取值范围为 　 　； (3)当时，x的取值范围为 　 　； (4)当时，x的取值范围为 　 　． 【答案】(1)；， (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，二次函数与不等式等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）利用的图象过点，，结合二次函数图象的对称性即可求出抛物线的对称轴，方程的解即为与直线的交点的横坐标，即可求解； （2）抛物线在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大，利用对称性求出点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为，利用函数增减性结合图象即可求解； （3）先求出对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论； （4）先求出和对应的自变量的值，然后结合函数图象即可得到结论． 【详解】（1）解：∵的图象过点，，其中，， ∴抛物线的对称轴为直线，与直线的交点为，， ∴方程的解为，， 故答案为：；，； （2）解：由图可知，又因为抛物线的对称轴为直线， ∴在对称轴直线右侧，函数值随的增大而增大， ∵， ∴点在抛物线上关于对称轴直线的对称点为， 又∵， ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：； （3）解：由图可知当时，或， 由图象知：当时，x的取值范围为或， 故答案为：或． （4）解：由上知，当时，对应的自变量的值为或；当时，对应的自变量的值为或， 由图可知当时，对应的x的取值范围为或． 故答案为：或． 一、单选题 1．（25-26九年级上·北京·开学考试）抛物线与x轴交点的横坐标是（   ） A．2， B．，3 C．2，3 D．， 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的相关知识点是解此题的关键． 令，则，计算即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得：或， ∴抛物线与x轴交点的横坐标是2，， 故选：A． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）二次函数的部分图象如图所示，对称轴方程为，图象与x轴相交于点，则方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，掌握抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解是解题的关键． 根据抛物线的对称性由抛物线与x轴的一个交点为且对称轴为直线，得抛物线与x轴的另一个交点为，从得出答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， 则抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的解为，，可得， 设，可得， ∴，， 由上可得，方程的两个根为，， 故选：C． 3．（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系． 仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得解． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，， 即这个数是的一个根， 的一个解的取值范围为． 故选：． 4．（24-25九年级上·甘肃武威·期中）二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．与轴的交点坐标为 C．与轴的交点坐标为和 D．当时，对应的函数值为 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线，则可得抛物线的顶点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的一个交点坐标为，结合抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为；结合抛物线的对称性可知，对应的函数值与对应的函数值相等，则可得当时，对应的函数值为． 【详解】解：由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为．故A选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 与轴的交点坐标为．故B选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线与轴的交点坐标为和，故C选项不正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 对应的函数值与对应的函数值相等， 由表格可知，当时，， 当时，对应的函数值为．故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 5．（2025·湖北孝感·三模）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可． 本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴, ∴, 故①正确； 根据抛物线的图象得，直线与抛物线的交点在第一象限， ∴， ∴, 故②正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 故的两个根分别是， 故多项式可因式分解为， 故③不正确； 根据题意，得，即， 根据题意，当时，抛物线有最大值，且为， 故当时，在抛物线顶点的上方， 故关于的方程无实数根． 故④正确； 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）抛物线与轴两交点间的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【详解】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为和， 抛物线与轴的两交点间的距离是． 故答案为：3． 7．（24-25九年级上·全国·期末）已知抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，先求解抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可． 【详解】解：由题可知，的对称轴为直线， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 根据抛物线的对称性知，与轴的另一个交点坐标为． 故答案为：． 8．（23-24九年级下·云南大理·阶段练习）二次函数的部分对应值如下表， 0 1 2 3 4 6 0 0 6 则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键，由表格直接求解即可． 【详解】解：方程的解即为二次函数图象与x轴交点的横坐标，观察表格可知，当时，x的值为或3， 因此方程的解为，； 故答案为，． 9．（2025九年级上·北京·专题练习）已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．先根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程的解． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为， 抛物线与x轴的一个交点坐标与对称轴距离为：． ∴根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标：． ∴抛物线与x轴的一个交点坐标为． 即或2时，． ∴一元二次方程的解为，． 故答案为：，． 10．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，二次函数与一次函数相交于、，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值较大． 找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可． 【详解】解：由图象交点可得，当时，， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）如图，已知抛物线经过点． (1)求m的值； (2)求出此抛物线的顶点坐标以及与x轴的两个交点坐标． 【答案】(1) (2)；， 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征： （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可求得m的值； （2）由（1）可得抛物线的解析式，进而可求抛物线的顶点坐标以及与x轴的两个交点坐标． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得． （2）解：由（1）可知， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴当时， 解得， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，． 12．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）抛物线（b，c为常数）的图像过点． (1)求抛物线的解析式； (2)方程的解是_______； (3)当时，y的取值范围是_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）把点A、B坐标代入进行求解即可； （2）由（1）可令进行求解即可； （3）由函数性质可知，二次函数图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据二次函数的增减性可进行求解． 【详解】（1）解：抛物线（b，c为常数）的图像过点， ∴， 解得， ∴； （2）解：二次函数， ∴当时，， ∴， 解得，； 故答案为：； （3）解：由函数性质可知，二次函数图像开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 在时，随的增大而增大， 当时，；当时，； ∴此时函数值的范围为； 在时，随的增大而减小， 当，则；当时，； 此时函数值的范围为； 综上所述，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·甘肃庆阳·期中）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出函数的顶点坐标； (2)写出方程的两个根； (3)写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握利用图象法求一元二次方程的解与不等式解集是解题的关键． （1）根据函数图象的最高点得到顶点坐标； （2）观察图形可以看出抛物线与轴交于(和，即可解题； （3）根据抛物线的图象，得到在x轴上方的自变量x的取值范围解答即可． 【详解】（1）解：由图象可得函数图象的最高点坐标为， ∴函数的顶点坐标为； （2）解：图中可以看出抛物线与轴交于(和， ∴方程的两个根为，； （3）解：通过图中可以看出：当时，图象在x轴上方， ∴不等式的解集为． 14．（24-25九年级上·湖北襄阳·期末）抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，过，两点的直线． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标为 ； (2)当时，函数值的取值范围； (3)当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，包括利用交点求函数解析式、求函数最值以及根据函数值大小确定自变量范围等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）对于求抛物线解析式，可利用抛物线与轴交点坐标，代入抛物线表达式求解系数，再将抛物线解析式化为顶点式求顶点坐标； （2）求函数值的取值范围，先分析抛物线的开口方向和对称轴，再根据给定的范围确定函数值的最值情况； （3）求时自变量的取值范围，先求出直线的解析式，再联立抛物线与直线方程，求出交点横坐标，结合图像确定范围． 【详解】（1）解：∵ 抛物线过、 ∴ 解方程组可得 ∴ 抛物线解析式为 ∵ ∴ 顶点坐标为 故答案为：，． （2）解：∵ 抛物线中 ∴ 抛物线开口向上，对称轴为 当时，取得最小值 当时， 当时， ∵ 距离对称轴的距离大于距离对称轴的距离 ∴ 当时，的取值范围是． （3）解：∵ 抛物线与轴交于点，令，则 ∴ ∵ 直线过、 ∴ 解得 ∴ 直线的解析式为 联立 即 解得， 由图像可知，当时，或． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线的图像与x轴交于A，B两点，A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为 ，顶点坐标为 ； (2)不等式的解集是 ； (3)当x满足时，y的取值范围是 ． (4)当y满足时，x的取值范围是 ． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与两坐标轴的交点及与不等式的关系，利用数形结合的思想解答是解题的关键． （1）把代入可得点坐标，把函数解析式转化为顶点式可得顶点坐标； （2）把代入求出点、坐标，再结合图象解答即可求解； （3）求出的函数值，再结合顶点坐标预计函数的图象即可求解； （4）把代入求出对应的的值，再结合图象解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：把代入得，， 解得：， ， 由图象可得，当时，，即， ∴不等式的解集是， 故答案为：； （3）解：由前面可知抛物线的顶点坐标为： 故当时，y取得最小值为． 当时，， 结合函数图像可知，当时，． （4）解：令，则，即， 解得：，， 又， 故结合函数图象可知：当或时，． 16．（25-26九年级上·浙江·课后作业）已知二次函数 (1)请你把已知的二次函数化成的形式： ，并在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)如果、是（1）中图象上的两点，且，请直接写出的大小关系为 ； (3)利用（1）中的图象表示出方程的根m，n（，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹； (4)观察（1）中的图象知，当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)图见解析 (4) 【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、用图象法求一元二次方程的近似根等知识与方法，正确地画出函数的图象是解题的关键． （1）将配成顶点式得，求出抛物线的顶点坐标、对称轴及抛物线与坐标轴的交点，再画出函数的图象即可； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，由图象可知，当时，y随x的增大而减小，所以当时，则； （3）当时，则，整理得，可知该方程的两个根即为抛物线与直线的交点的横坐标，画出这两个交点即可； （4）由函数图象可知，当时，函数图象的最低点为抛物线的顶点，所以． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； 当时，则， 解得， ∴该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，； 当时，， ∴该抛物线与y轴的交点的坐标为， 故答案为：， 画出该函数的图象如图所示． （2）解：由（1）得，抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：当时，则， ∴， 该方程的两个根即为抛物线与直线的交点的横坐标， 如图，点M、N的横坐标即为m、n的值． （4）解：由函数图象可知，当时，函数图象的最低点为抛物线的顶点， ∴y的取值范围是， 故答案为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 专题04二次函数与一元二次方程 目录 A题型建模·专项突破 题型一、求抛物线与X轴的交点坐标.1 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标… .3 题型三、抛物线与x轴的交点问题.. 题型四、图象法解一元二次不等式… 5 题型五、利用不等式求自变量或函数值的范围 .7 题型六、根据交点确定不等式的解集.10 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、求抛物线与x轴的交点坐标 1.(24-25九年级上·北京期中)抛物线y=x2-4x-5与x轴的交点坐标为」 2.(24-25九年级上·广东汕头期末)二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴的交点坐标是 3.(24-25九年级上山东济南·期中)抛物线y=ax2-8ax+c与x轴的一个交点的坐标为(2,0)，则与x轴的 另一个交点坐标是 4.(24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习)抛物线y=ax2+bx+ca≠0)与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，对 称轴为直线x=1,则抛物线与x轴的另一个交点坐标为」 题型二、求抛物线与y轴的交点坐标 5.(24-25九年级上·河南商丘·阶段练习)抛物线y=x2-2x-3与y轴的交点坐标是 6.(24-25九年级上广西柳州期中)抛物线y=x2-7x-5与y轴的交点坐标为 4 7.(24-25九年级上·全国·期末)抛物线y=(x-3)(x+1)与y轴的交点坐标是 8.(24-25九年级上·江苏扬州阶段练习)抛物线y=-2(x-1)2-3与y轴的交点纵坐标为_ 题型三、抛物线与x轴的交点问题 9.(24-25九年级上全国·期末)如果函数y=x2+4x-m的图像与x轴有公共点，那么m的取值范围是 10.(2023九年级上·黑龙江哈尔滨·竞赛)抛物线y=x2+2x-(m-1与x轴有交点，则m的取值范围为」 1/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.(24-25九年级下·四川内江·阶段练习)已知二次函数y=ax2-4x+1的图象与x轴有交点，则a的取值 范围是 12.(24-25九年级下·吉林长春开学考试)若抛物线y=x2-4x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是 题型四、图象法解一元二次不等式 13.(24-25九年级下·江苏宿迁阶段练习)己知二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图像如图所示，则一元二 次不等式ax2+bx+c<0的解集是 21 1 14.(24-25九年级下江苏盐城期中)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的图像 与x轴交于点(3,0)，顶点坐标为1,3)，则不等式ax2+bx+c>0的解集为一 (1,3) 2 15.(24-25九年级上·山东日照期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图像，由图像可知不等式 ax2+bx+c>0的解集是」 2 16.(24-25九年级上·广东东莞期末)如图，二次函数y=ax2+bx+c图象经过点A(0,6)、B(3,3)、C(4,6 .当y>6时，x的取值范围为一· 2/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6 B 1234567x 题型五、利用不等式求自变量或函数值的范围 17.(24-25八年级下湖南长沙阶段练习)已知二次函数y=-x ?术+x,0≤x≤0+2时函数y的最大佰透 3 1,则a= 18.(24-25九年级上甘肃武威期中)已知二次函数y=-2(x+1)2+3,当-2<x<3时，函数值y的取值范 围 19.(2024九年级上·全国.专题练习)已知二次函数y=-x2+4x-3. (1)若-3≤x≤3，则y的取值范围为】 (2)若-8≤y≤-3，则x的取值范围为 20.（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习)请在图中的表格里画出二次函数y=x2-x-2的图象，并结合图 象回答下列内容： 珠 5 3 2 -1 -3-2-10 1234 3 ()与x轴的交点坐标是，顶点坐标是 (②)结合图象回答：当y<0时，x的取值为 (3)结合图象回答：当-1<x<2时，函数值y的取值范围是 题型六、根据交点确定不等式的解集 21.(24-25九年级下·贵州黔东南阶段练习)如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c交于点A(1,0), 3/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B(3,2. B (I)求抛物线的表达式： (2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集（直接写出答案）. 22.(2025九年级上浙江·专题练习)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象直接回答下列问题： -20 4 (①)直接写出该二次函数的解析式为 (2)不等式ax2+bx+c≤0的解集是 (3y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是 (4)若关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则k的取值范围是 23.(24-25九年级上安徽毫州阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答 下列问题！ y个 2 -10 4 x (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根： (2)写出不等式ax2+bx+c<0的解集： (3)写出y随的增大而减小的自变量x的取值范围 (4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围： 24.(24-25九年级上湖北襄阳·期末)已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图象如下图，请根据函数图象 完成以下问题： 4/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A(-2,6)1 B(5,6) C(0,-4) (1)该函数的对称轴为，方程ax2+bx+c=6的解为 (2)当3≤x≤5时，y的取值范围为一： (3)当y>6时，x的取值范围为_： (4)当-4≤y≤6时，x的取值范围为 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26九年级上·北京·开学考试)抛物线y=x2+x-6与x轴交点的横坐标是（) A.2,-3 B.-2,3 C.2,3 D.-2,-3 2.(2025九年级上全国.专题练习)二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴方程为x=-1, 图象与x轴相交于点(1,0)，则方程cx2+bx+a=0的根为() A.x1=1,x2=-3 B.x1=-1,x2=3 C.x=1,x=3 1 D4=1,或月 3.(2025九年级上·北京·专题练习)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c为常数)的y与x的部 分对应值如表： 1.23 1.24 1.25 1.26 5/9 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -0.06 -0.08 -0.03 0.09 判断方程ax2+bx+c=0的一个解x的取值范围是( A.1<x<1.23 B.1.23<x<1.24 C.1.24<x<1.25 D.1.25<x<1.26 4.(24-25九年级上甘肃武威期中)二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如表：以下结论不正确的是() -2 0 3 5 y 0 -8 -9-5 7 A.抛物线的顶点坐标为1，-9) B.与y轴的交点坐标为0，-8) C.与x轴的交点坐标为-2,0)和(2,0)D.当x=-1时，对应的函数值y为-5 5.(2025·湖北孝感.三模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示，该函数图象经过点 (-l,0),对称轴为直线x=2.对于下列结论：①abc<0;②a+c>-b;③多项式ax2+bx+c可因式分解为 (x+1)(x-5);④当m>-9a时，关于x的方程ax2+bx+c=m无实数根.其中正确的个数有() 可02 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.(25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试)抛物线y=-x2+7x-10与x轴两交点间的距离为 7.(24-25九年级上·全国·期末)已知抛物线y=2x2+6x-m与x轴的一个交点的坐标为(1,0)，则此抛物线 与x轴的另一个交点的坐标是一· 8.(23-24九年级下·云南大理·阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表， -3 -2 -1 0 4 6 0 4 -6 -4 0 6 则方程ax2+bx+c=0的解是」 9.(2025九年级上北京·专题练习)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一元二次方程 ax2+bx+c=0的解是 6/9 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 02 x=-3 10.(2024甘肃定西模拟预测)如图，二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=mx+n相交于A(-1,2)、 B(2,),则关于x的不等式ax2+bx+c<mx+n的解集为_ A(-1,2) B(2,1) 三、解答题 11.（24-25九年级上·广东阳江阶段练习)如图，已知抛物线y=-x2+mx+3经过点M(-2,3). M (1)求m的值； (2)求出此抛物线的顶点坐标以及与x轴的两个交点坐标. 12.(25-26九年级上·浙江·阶段练习)抛物线y=-x2+bx+c(b,c为常数)的图像过点A(-2,0),B(-1,4). (1)求抛物线的解析式： (2)方程-x2+bx+c=0的解是 (3)当0<x<3时，y的取值范围是 13.(24-25九年级上甘肃庆阳·期中)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列 问题： 7/9 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)写出函数的顶点坐标； (2)写出方程ax2+bx+c=0的两个根： (3)写出不等式ax2+bx+c>0的解集 14.(24-25九年级上湖北襄阳期末)抛物线y,=ax2+bx-4与x轴交于A(-1,0)、B(4,0)两点，与y轴交于 点C,过B,C两点的直线y2=kx+b(k≠0). (1)求抛物线的解析式及顶点坐标为_： (2)当-1<x<6时，函数值的取值范围 (3)当，>2时，自变量x的取值范围. 15.(24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习)如图，抛物线y=x2-3x+2的图像与x轴交于A,B两点，A在 B左侧，与y轴交于点C (1)点C坐标为，顶点坐标为_； (2)不等式x2-3x+2<0的解集是_； (3)当x满足0<x≤2时，y的取值范围是_ (4)当y满足0<y<2时，x的取值范围是_· 16.(25-26九年级上·浙江·课后作业)已知二次函数y=x2-2x-3 8/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O f--------- (I)请你把已知的二次函数化成y=(x-h)+k的形式：一，并在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)如果A(x,y)、B(x2,y2是(1)中图象上的两点，且x,<x2<1,请直接写出y2的大小关系为- (3)利用（1)中的图象表示出方程x2-2x-1=0的根m,n(m<n,画在(1)的图象所在坐标系中即可， 要求保留画图痕迹 (④观察(1)中的图象知，当x>0时，y的取值范围是_ 9/9