第五章二次函数单元复习培优卷 2025—2026学年苏科版数学九年级下册

第五章二次函数单元复习培优卷苏科版2025—2026学年九年级下册 总分：120分 时间：90分钟 姓名：________ 班级：_____________成绩：___________ 一．单项选择题（每小题5分，满分40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 1．二次函数的最小值为（    ） A．2 B．0 C． D．−9 2．抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C． D． 4．已知抛物线，下列说法不正确的是（      ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 5．二次函数的对称轴为，点、在此函数的图象上，则有（   ） A． B． C． D．以上均有可能 6．已知点、均在二次函数的图象上，、、、 均为常数，则p、q的数量关系为（   ） A． B． C． D． 7．若是抛物线与轴交点的横坐标，则代数式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．定义平面内任意两点，之间的距离，称为之间的曼哈顿距离．若点在直线上，点为抛物线上一点，则之间的曼哈顿距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 二．填空题（每小题5分，满分20分） 9．已知二次函数与x轴交于点和，则二次函数的顶点坐标为_____． 10．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：则当时，y的值为____． x y 3 5 3 11．如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点，过点作轴，点在抛物线上，则________． 12．已知函数的图象和函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的解是___________． 三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程） 13．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，与y轴的交点为，与x轴的一个交点为． (1)求这个二次函数的解析式； (2)求该图象与x轴的另一个交点坐标； (3)观察图象，当时，直接写出y的取值范围． 14．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A点的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值． 15．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为x米，面积为y平方米． (1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)求矩形花圃的最大面积． 16．已知抛物线经过点，且当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴一个交点的横坐标． (1)求该抛物线的解析式； (2)求代数式的值． 17．在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图像经过、两点（如图）． (1)求该二次函数的函数表达式； (2)若点是在直线上方抛物线上的一个动点，求点到直线的距离的最大值及此时点的坐标； (3)若二次函数，当时，函数的最大值与最小值之差等于，请直接写出的值． 18．在平面直角坐标系中，对“横纵中点值”给出如下定义：点是函数图像上任意一点，横坐标与纵坐标的和的一半称为点的“横纵中点值”．函数图像上所有点的“横纵中点值”中的最大值称为函数的“完美横纵中点值”，最小值称为函数的“缺陷横纵中点值”．例如：点在函数的图像上，点的“横纵中点值”为，函数图像上所有点的“横纵中点值”可以表示为，当时，最大值为，最小值为，所以函数的“完美横纵中点值”为，“缺陷横纵中点值”为． (1)点的“横纵中点值”为 ． (2)已知二次函数，当时，求它的“完美横纵中点值”和“缺陷横纵中点值”． (3)若二次函数的图像顶点在“横纵中点值”为的函数图像上． ①二次函数的“完美横纵中点值”为，求该二次函数的表达式． ②当时，设二次函数的“完美横纵中点值”为，“缺陷横纵中点值”为，且，求的值． 参考答案 一、选择题 1．D 2．A 3．C 4．B 5．A 6．A 7．B 8．C 二、填空题 9． 10． 11．1 12． 三、解答题 13．【详解】（1）解：根据题意，设该二次函数的表达式为． 把，分别代入解析式，得 ， 解得， 该二次函数的表达式为． （2）解：设该图象与x轴的另一个交点坐标为， 根据题意，得， 解得． （3）解：∵， ∴抛物线开口向下，当时，函数有最大值， 且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴在这个范围内， ∴二次函数的最大值为４, ∵， ∴当时，取得最小值，且最小值为， 故的取值范围为． 14．【详解】（1）解：抛物线与x轴的交点，对称轴为直线， 抛物线与x轴的交点B的坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入，得：， 解得， 则抛物线解析式为； （2）解：根据题意，设点P的坐标为，则点P到的距离为． ， 即， 解得． 当时，点P的坐标为； 当时，点P的坐标为． 点P的坐标为或． （3）解：设的解析式为，将点A的坐标代入得：，解得， 直线的解析式为． 设点D的坐标为，则点Q的坐标为． ， 当时，有最大值，的最大值为． 15．【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， 解得， ∴； （2）解：， ∴当时，y随x的增大而减小． 又∵， ∴当时，y最大， ∴矩形花圃的最大面积为平方米． 16．【详解】（1）解：抛物线经过点， ，即， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 抛物线对称轴为直线， ∴， ， 该抛物线的解析式为； （2）解：是抛物线与轴一个交点的横坐标， ， ∴， ， 方程两边除以得，即， ， ， ． 17．【详解】（1）解：∵的图像与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，即：； 当时，，即：， ∵二次函数的图像经过、两点， ∴， 解得：，即：； （2）解：点是在直线上方的抛物线上的动点，不动， 当点到直线的距离最大值时，最大， 过点作于点交于点， 设， ∴， ∴ ∵， ∴开口向下，， ∴当时，最大，点到直线的距离的最大值，此时， ∵；设点到直线的距离， ∴，解得：， 即：点到直线的距离的最大值为：，此时； （3）解：∵， ∴对称轴， ①当时，即：， 当时，函数值最小：； 当时，函数值最大：； ∵函数的最大值与最小值之差等于， ∴， 解得：； ②当时，即：， 当时，函数值最大：， 当，函数值最小时：； ∵函数的最大值与最小值之差等于， ∴解得：（舍），（舍）， 当时，函数值最大：， 当，函数值最小时：； ∵函数的最大值与最小值之差等于， ∴，解得：（舍）； ③时； 当时，函数值最大：； 当时，函数值最小：； ∵函数的最大值与最小值之差等于， ∴， 解得：， 综上：或． 18．【详解】（1）解：∵， ∴点的 “横纵中点值”为， 故答案为：； （2）解：设二次函数上任意一点的“横纵中点值”为，则 ， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为， 当时，取得最大值， 当时，， 当时，， ∵， ∴的最小值为， ∴该函数的“完美横纵中点值”是，“缺陷横纵中点值”是； （3）解：①∵， ∴该函数的顶点坐标为， ∵二次函数的图像顶点在“横纵中点值”为的函数图像上， ∴， ∴， 设该函数的“横纵中点值”为，则 ， ∵， ∴， 则函数的图像开口向下，其最大值为 ∵二次函数的“完美横纵中点值”为， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， ∴， ∴该二次函数的表达式为； ②设二次函数的“横纵中点值”为，则 ， 由①知：， ∴， ∴该函数的图像开口向下，对称轴为， ∵该函数自变量范围为，且， 又∵， 当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴，， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值， ∴，， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $