专题09因式分解同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题09因式分解同步讲义 【题型01 判断是否因式分解】......................................3 【题型02 已知因式分解的结果求参数】..............................5 【题型03 公因式】................................................7 【题型04 提公因式分解因式】......................................8 【题型05 添括号法分解】..........................................9 【题型06 判断能否用公式法】.....................................11 【题型07 平方差公式分解因式】...................................13 【题型08 完全平方公式分解因式】.................................15 【题型09 综合运用公式法分解因式】...............................17 【题型10 综合提公因式和公式法分解因式】.........................19 【解答题5题】...................................................20 ★知识梳理★ 知识点01:因式分解的意义 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式。 2. 与整式乘法的关系 因式分解：和差化积（a2−b2→(a+b)(a−b)） 整式乘法：积化和差（(a+b)(a−b)→a2−b2） 二者是互逆的恒等变形。 3. 判断因式分解的要点 结果必须是整式的积的形式。 分解要彻底，直到不能再分解为止。 知识点02: 提取公因式法 1. 公因式 多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 系数：取各项系数的最大公约数。 字母：取各项相同字母的最低次幂。 2. 提取公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 步骤： (1)找出公因式。 (2)用多项式的每一项除以公因式，将商作为另一个因式。 (3)把公因式和商写成积的形式。 3. 添括号法则 a+b−c=a+(b−c) a−b+c=a−(b−c) 括号前是 “-” 号，括到括号里的各项都要变号。 知识点03:用乘法公式分解因式 1. 平方差公式 a2−b2=(a+b)(a−b) 结构特征：两项，符号相反，且都能写成平方的形式。 2. 完全平方公式 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2−2ab+b2=(a−b)2 结构特征：三项，首尾两项是平方项，中间项是首尾项底数乘积的 2 倍（符号可正可负）。 3. 综合运用 先提公因式，再用公式：如果多项式有公因式，先提取公因式，再看剩余部分能否用公式法分解。 多次运用公式：分解后如果某个因式还能继续分解，要继续分解，直到不能再分解为止。 知识点04:高频易错点 1.概念混淆：因式分解的结果必须是积，不能是和或差。 2.提公因式不彻底：公因式应提取到最大，包括系数和字母。 3.符号错误：提取 “-” 号或添括号时，括号内的各项都要变号。 4.公式误用： 混淆平方差和完全平方公式，如 a2+b2(a+b)2。 完全平方公式漏掉中间的 “2 倍项”。 5.分解不彻底：分解后的因式如果还能继续分解，必须继续分解。 知识点05:解题步骤总结 一提：先看多项式各项是否有公因式，若有则先提取。 二套：提取公因式后，观察剩余部分是否符合平方差或完全平方公式的形式，套用公式。 三查：检查结果是否分解彻底，是否有漏项或符号错误。 【题型1.判断是否因式分解】 【典例】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义：把含多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解；逐项判断，即可求解． 【详解】解：A.，不是因式分解，故不符合题意； B.，符合因式分解的定义，故符合题意； C.，不是因式分解，故不符合题意； D.，不是因式分解，故不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】观察①和②从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①和②都是因式分解 B．①和②都是整式乘法 C．①是整式乘法，②是因式分解 D．①是因式分解，②是整式乘法 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的意义，整式，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：是因式分解，是乘法运算， 即①是因式分解，②是整式乘法， 故选：D． 【跟踪专练2】下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______ （填序号） ①a（x＋y）＝ax＋ay； ②10x2－5x＝5x（2x－1）； ③y2－4y＋4＝（y－2）2； ④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t． 【答案】②③． 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：①a（x+y）=ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故不符合题意； ②10x2-5x=5x（2x-1），等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意； ③y2-4y+4=（y-2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解，符合题意； ④t2-16+3t=（t-4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解，故不符合题意； 即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③， 故答案为：②③． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【跟踪专练3】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将多项式写成几个整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，也叫因式分解，根据定义解答． 【详解】解：A、不是因式分解； B、不是因式分解； C、是因式分解； D、不是因式分解； 故选：C． 【点睛】此题考查因式分解，掌握因式分解的定义及因式分解的方法是解题的关键． 【题型2.已知因式分解的结果求参数】 【典例】若，则m的值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查公式法，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式解答．根据完全平方公式展开等号右边的式子，然后根据等号左右对应相等即可求得m的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】若关于x的多项式有一个因式是，则实数的值为（    ） A．－5 B．2 C．－1 D．1 【答案】D 【分析】设，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值． 【详解】解：根据题意设， ∴，， 解得：，． 故选：D． 【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 【跟踪专练2】因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____ 【答案】11 【分析】本题考查因式分解，由多项式相等，比较系数得和，其中、为整数．列举所有整数满足，计算的所有可能值，并求最大值． 【详解】由 ， ∴，， ∵、为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∵， ∴这样的的最大值是11． 故答案为：11． 【跟踪专练3】多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 【题型3.公因式】 【典例】多项式中，各项的公因式是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了公因式，先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】解：多项式的系数的最大公约数是2，各项的相同字母的最低指数次幂是， 所以公因式是， 故答案为：． 【跟踪专练1】小红和小华在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（    ） A．2 B．x C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了公因式的含义，解题的关键是掌握公因式的含义．根据公因式是指多项式中各项都含有的相同因式求解即可． 【详解】解：的公因式为． 故选：C． 【跟踪专练2】多项式，与的公因式为______． 【答案】 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， 所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）． 故答案：． 【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”． 【跟踪专练3】把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据找公因式的方法：系数取最大公约数，相同字母取最低次幂，进行求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解、找公因式的方法，熟练掌握确定公因式的方法是解题的关键． 【题型4.提公因式法分解因式】 【典例】分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解题的关键；直接提取公因式y即可分解因式． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，，则代数式的值为（   ） A． B．6 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值． 将代数式因式分解为，然后代入已知值计算． 【详解】解：． 故选：B． 【跟踪专练2】若，则的值为__________． 【答案】0或1 【分析】本题主要考查了分解因式，实数的运算，根据可得，则，再分解因式得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：0或1． 【跟踪专练3】将多项式提公因式后，另一个因式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先利用提公因式法法进行因式分解，即可确定公因式和另一个因式． 【详解】解： ， ∴公因式是，另一个因式为． 故选：B 【题型5.添括号法分解】 【典例】下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了添括号法则，注意掌握添括号法则：如果括号外的符号是正号，添括号后括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的符号是负号，添括号后括号内各项的符号与原来的符号相反． 根据添括号法则求解即可． 【详解】解：A．，故选项正确，本选项不符合题意； B．，故选项正确，本选项不符合题意； C．，故选项正确，本选项不符合题意； D．，故选项错误，本选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】若，则括号中应填入（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了添括号，添括号时，若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“”，添括号后，括号里的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪专练2】不改变式子的值，将括号前的符号变成与其相反的符号： （1）______________； （2）______________． 【答案】 【分析】本题考查添括号的方法，根据括号前的符号变成与其相反的符号则括号里面每一项都变号求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）， 故答案为：． 【跟踪专练3】在多项式中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如，，…．在所有可能的“加算操作”中，不同的运算结果共有（    ） A．8种 B．16种 C．24种 D．32种 【答案】B 【分析】根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，根据题意，画出示意图，即可求解． 【详解】解：依题意，根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，    共有16种不同结果， 故选：B． 【点睛】本题考查了去括号法则，列举法求所有可能结果，理解题意是解题的关键． 【题型6.判断能否用公式法】 【典例】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． 【详解】解：A．不能使用平方差公式分解因式，不符合题意； B．不能使用平方差公式分解因式，不符合题意； C． 不能使用平方差公式分解因式，不符合题意； D．能使用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了平方差公式分解因式，关键是正确把握平方差公式的特点：． 【跟踪专练1】在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 【跟踪专练2】下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法、公式法分解因式，根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可． 【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意； B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意； C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意； D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练3】下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【详解】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 【题型7.平方差公式分解因式】 【典例】分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解—公式法的运用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式因式分解的概念，掌握平方差公式的适用条件是解题关键． 根据平方差公式的结构特征，逐一判断多项式是否符合“二项式、两项符号相反、且两项均能表示为某个整式的平方”的条件． 【详解】解：可用平方差公式因式分解的结构是：二项式，两项符号相反，且两项均为平方形式， 选项：，两项符号相同，不符合； 选项：，非平方项，不符合； 选项：，符合平方差公式，可分解为； 选项：，两项符号相同，不符合． 故选：． 【跟踪专练2】分解因式：____． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解方法是解题的关键； 先将式子整理为，然后再根据完全平方公式，以及平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】先利用平方差公式对和进行因式分解，再化简等式两边，最后解出的值并与选项比对． 【详解】解：首先，利用平方差公式分解： ． 代入原等式：． 化简左边得：． 两边同时约去，得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用和等式的化简，解题关键是利用平方差公式简化计算，避免直接计算大数平方，提高效率． 【题型8.完全平方公式分解因式】 【典例】因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解． 先处理符号，再由完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】若多项式可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式与因式分解，多项式可以用完全平方公式分解因式，则可以写成的形式，由此可解． 【详解】解：， ∵多项式可以用完全平方公式分解因式， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】已知满足，，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，代数式求值，由，，，可得，则，，，然后代入求值即可，熟练掌握配方法的方法和步骤并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知一个两位数，将其个位数与十位数调换位置后，所得的新两位数与原两位数的乘积能被9整除．若这个两位数的个位数与十位数的和一定能被整数整除，则整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式，整式乘法的应用、因式分解，设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，则原数为，调换后的新数为．根据题意，两数的乘积能被9整除，由此推导出的性质，进而确定整数的值． 【详解】解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，则原数为，调换后的新数为． 原数和新数的乘积为： ∵能被9整除，且能被9整除， ∴也能被9整除， ∴能被3整数， 又∵这个两位数的个位数与十位数的和一定能被整数整除， ∴， 因此，整数为3， 故选：A． 【题型9.综合运用公式法分解因式】 【典例】因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了利用公式法进行因式分解．熟练掌握利用公式法进行因式分解是解题的关键．利用平方差、完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据提公因式法、公式法进行因式分解，逐项判断即可． 【详解】解：A、，因式分解正确，故不符合题意； B、，因式分解正确，故不符合题意； C、不能进行因式分解， D、，因式分解正确，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了因式分解；熟练掌握提公因式法和公式法正确进行因式分解是解题的关键． 【跟踪专练2】若a2＋2ab＋b2﹣c2＝10，a＋b＋c＝5，则a＋b﹣c的值是_____． 【答案】2 【分析】根据完全平方公式以及平方差公式将a2＋2ab＋b2﹣c2＝10进行因式分解，再整体代入求值即可． 【详解】解：a2＋2ab＋b2﹣c2＝10， （a＋b）2﹣c2＝10， （a＋b＋c）（a＋b﹣c）＝10， ∵a＋b＋c＝5， ∴5（a＋b﹣c）＝10， ∴a＋b﹣c＝2； 故答案为：2． 【点睛】本题考查代数式化简求值、因式分解、完全平方公式和平方差公式，熟记公式，利用整体代入思想求解是解答的关键． 【跟踪专练3】将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 【题型10.综合提公因式和公式法分解因式】 【典例】分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键，根据平方差公式，解答即可． 【详解】解： A、，为两平方项相加，无法用平方差公式分解，故本选项不符合题意； B、，符合平方差公式，可分解为，故本选项符合题意； C、，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； D、，提取公因式后剩余部分非平方差形式，无法进一步分解，故本选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】因式分解： （1）____________． （2）_________． （3）___________． 【答案】 【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式分解； （2）直接应用完全平方公式； （3）先提取公因式，再利用完全平方公式分解． 本题主要考查利用完全平方公式和平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 【详解】解：（1）==，其中是平方差形式，分解为； （2）=，因为该表达式符合完全平方公式，这里； （3）==，其中先提取公因式，然后是完全平方形式，分解为． 故答案为：；；． 【跟踪专练3】在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键． 对多项式先进行因式分解，再代值求出各因式的值，然后组合成密码． 【详解】， 当时，，，， 密码可能为14、13、15的组合，即141315． 故选：B． 【解答题】 1．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 2．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接利用完全平方公式分解因式即可； （4）直接利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．分解因式：． 解：． 以上分解过程是否正确？若不正确，请指出错在哪里，并给出正确的解题过程． 【答案】不正确．没有将项化为平方的形式而直接用平方差公式，正确的解题过程见解析 【分析】本题考查了平方差公式的应用及因式分解的相关知识，先判断原分解过程是否正确，若不正确则指出错误原因，再运用平方差公式进行正确分解． 【详解】解：不正确．没有将项化为平方的形式而直接用平方差公式． 正确的解题过程如下： 原式． 4．学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 【答案】错在分解不彻底，括号里还有公因数3．正确答案为 【分析】本题主要考查了分解因式，正确找到公因式是解题关键． 先观察式子中的各项，判断过程是否正确；再找出公因式为； 然后提取公因式分解因式即可． 【详解】解：错在分解不彻底，括号里还有公因数3． 正确的解题过程如下： ． 5．求证：当n为整数时，是8的倍数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由平方差公式可分解因式为，然后问题可求解 【详解】证明： ， ∴当n为整数时，是8的倍数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09因式分解同步讲义 【题型01 判断是否因式分解】......................................3 【题型02 已知因式分解的结果求参数】..............................4 【题型03 公因式】................................................4 【题型04 提公因式分解因式】......................................4 【题型05 添括号法分解】..........................................4 【题型06 判断能否用公式法】......................................5 【题型07 平方差公式分解因式】....................................6 【题型08 完全平方公式分解因式】..................................6 【题型09 综合运用公式法分解因式】................................6 【题型10 综合提公因式和公式法分解因式】..........................7 【解答题5题】....................................................7 ★知识梳理★ 知识点01:因式分解的意义 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式。 2. 与整式乘法的关系 因式分解：和差化积（a2−b2→(a+b)(a−b)） 整式乘法：积化和差（(a+b)(a−b)→a2−b2） 二者是互逆的恒等变形。 3. 判断因式分解的要点 结果必须是整式的积的形式。 分解要彻底，直到不能再分解为止。 知识点02: 提取公因式法 1. 公因式 多项式各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 系数：取各项系数的最大公约数。 字母：取各项相同字母的最低次幂。 2. 提取公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 步骤： (1)找出公因式。 (2)用多项式的每一项除以公因式，将商作为另一个因式。 (3)把公因式和商写成积的形式。 3. 添括号法则 a+b−c=a+(b−c) a−b+c=a−(b−c) 括号前是 “-” 号，括到括号里的各项都要变号。 知识点03:用乘法公式分解因式 1. 平方差公式 a2−b2=(a+b)(a−b) 结构特征：两项，符号相反，且都能写成平方的形式。 2. 完全平方公式 a2+2ab+b2=(a+b)2 a2−2ab+b2=(a−b)2 结构特征：三项，首尾两项是平方项，中间项是首尾项底数乘积的 2 倍（符号可正可负）。 3. 综合运用 先提公因式，再用公式：如果多项式有公因式，先提取公因式，再看剩余部分能否用公式法分解。 多次运用公式：分解后如果某个因式还能继续分解，要继续分解，直到不能再分解为止。 知识点04:高频易错点 1.概念混淆：因式分解的结果必须是积，不能是和或差。 2.提公因式不彻底：公因式应提取到最大，包括系数和字母。 3.符号错误：提取 “-” 号或添括号时，括号内的各项都要变号。 4.公式误用： 混淆平方差和完全平方公式，如 a2+b2(a+b)2。 完全平方公式漏掉中间的 “2 倍项”。 5.分解不彻底：分解后的因式如果还能继续分解，必须继续分解。 知识点05:解题步骤总结 一提：先看多项式各项是否有公因式，若有则先提取。 二套：提取公因式后，观察剩余部分是否符合平方差或完全平方公式的形式，套用公式。 三查：检查结果是否分解彻底，是否有漏项或符号错误。 【题型1.判断是否因式分解】 【典例】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】观察①和②从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①和②都是因式分解 B．①和②都是整式乘法 C．①是整式乘法，②是因式分解 D．①是因式分解，②是整式乘法 【跟踪专练2】下列由左边到右边的变形，是因式分解的有_______ （填序号） ①a（x＋y）＝ax＋ay； ②10x2－5x＝5x（2x－1）； ③y2－4y＋4＝（y－2）2； ④t2－16＋3t＝（t－4）（t＋4）＋3t． 【跟踪专练3】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【题型2.已知因式分解的结果求参数】 【典例】若，则m的值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【跟踪专练1】若关于x的多项式有一个因式是，则实数的值为（    ） A．－5 B．2 C．－1 D．1 【跟踪专练2】因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是_____ 【跟踪专练3】多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【题型3.公因式】 【典例】多项式中，各项的公因式是______． 【跟踪专练1】小红和小华在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（    ） A．2 B．x C． D． 【跟踪专练2】多项式，与的公因式为______． 【跟踪专练3】把多项式因式分解时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【题型4.提公因式法分解因式】 【典例】分解因式：________． 【跟踪专练1】已知，，则代数式的值为（   ） A． B．6 C．9 D．8 【跟踪专练2】若，则的值为__________． 【跟踪专练3】将多项式提公因式后，另一个因式为（　　） A． B． C． D． 【题型5.添括号法分解】 【典例】下列运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，则括号中应填入（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】不改变式子的值，将括号前的符号变成与其相反的符号： （1）______________； （2）______________． 【跟踪专练3】在多项式中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如，，…．在所有可能的“加算操作”中，不同的运算结果共有（    ） A．8种 B．16种 C．24种 D．32种 【题型6.判断能否用公式法】 【典例】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【跟踪专练2】下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型7.平方差公式分解因式】 【典例】分解因式：________． 【跟踪专练1】下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】分解因式：____． 【跟踪专练3】若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【题型8.完全平方公式分解因式】 【典例】因式分解：______． 【跟踪专练1】若多项式可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【跟踪专练2】已知满足，，，则的值为______． 【跟踪专练3】已知一个两位数，将其个位数与十位数调换位置后，所得的新两位数与原两位数的乘积能被9整除．若这个两位数的个位数与十位数的和一定能被整数整除，则整数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．9 【题型9.综合运用公式法分解因式】 【典例】因式分解：__________． 【跟踪专练1】下列因式分解错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若a2＋2ab＋b2﹣c2＝10，a＋b＋c＝5，则a＋b﹣c的值是_____． 【跟踪专练3】将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型10.综合提公因式和公式法分解因式】 【典例】分解因式：________． 【跟踪专练1】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】因式分解： （1）____________． （2）_________． （3）___________． 【跟踪专练3】在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为的值，当时，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（    ） A．141414 B．141315 C．131413 D．151415 【解答题】 1．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 2．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．分解因式：． 解：． 以上分解过程是否正确？若不正确，请指出错在哪里，并给出正确的解题过程． 4．学了提公因式后，王老师出了这样一道题：分解因式：，小刚同学是这样做的： 解： ． 王老师说他做错了，你认为小刚的解法错在哪里？请写出你的正确答案． 5．求证：当n为整数时，是8的倍数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $