精品解析：浙江金华第一中学等校2025-2026学年高二下学期开学数学练习试题

高二数学练习 考生须知： 1.本卷满分150分，练习时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.练习结束后，只需上交答题卷. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 相切 D. 内含 5. 已知，q：直线与直线平行，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线右支于A，B，，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的前n项和为，，，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点.球体O为与正方体的所有棱都相切的球体，则三边与球体公共部分的长度总和是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则下列结论正确的是（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 10. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知平面内动点到定点的距离与到定直线的距离之和等于3，其轨迹为曲线，若过点的直线与曲线交于，两点，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 若，则 C. 的最小值为3 D. 若半径为的圆与曲线有且只有一个交点，且与轴切于点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则______. 13. 动直线与动直线相交于点，则的最小值为______. 14. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，且函数的最小正周期为. （1）求ω及的值； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数，求在区间上的值域. 16. 已知函数，其中a， （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，，求a的取值范围. 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，M是的中点. （1）求证：平面； （2）若，在线段上是否存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知正项数列的前n项和为，且，表示不超过x的最大整数，如，，. （1）求数列的通项公式： （2）记，求的值； （3）记，若，求n的最小值. 19. 已知椭圆：（）的焦点为，直线与轴交于点，与椭圆交于点，（在轴上方），且当线段轴时，其长度为3. （1）求椭圆的方程； （2）若为线段的中点，求点到直线的距离的最小值（其中O为坐标原点）； （3）若直线与轴交于点，直线与椭圆交于、两点，且满足.若过点的切线与直线交于点，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学练习 考生须知： 1.本卷满分150分，练习时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.练习结束后，只需上交答题卷. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，可得， 又，所以. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得. 所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为 ，则. 所以. 3. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 相交 C. 相切 D. 内含 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 所以， 即，所以圆与圆外离. 5. 已知，q：直线与直线平行，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求出的值，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，即，解得或. 当时，，满足平行条件. 当时，，满足平行条件. 所以，两直线平行时或. 因此是的充分不必要条件. 6. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线右支于A，B，，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及余弦定理，结合题意可得的关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】由，得. 又，所以. 因为，所以，. 设双曲线（，）的焦距为，则. 因为，所以， 即，所以，化简得， 所以双曲线的离心率为. 7. 已知数列的前n项和为，，，则的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整理得，令，进而证明数列为等比数列，再结合等比数列通项公式得，最后代入公式求解即可. 【详解】因为，， 所以，即， 等式两边同时除以得：，即， 令，则，， 所以，即数列为等比数列，公比为，首项为， 所以，即， 所以，即， 所以. 8. 已知正方体的棱长为2，点为棱的中点.球体O为与正方体的所有棱都相切的球体，则三边与球体公共部分的长度总和是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出平面截球所得截面圆的圆心及半径，在三角形中，以中点为坐标原点，所在直线为轴，建立直角坐标系，求出截面圆的方程，进而求出截面圆与三边的交点坐标，利用两点间距离公式即可求解. 【详解】根据已知棱切球的球心就是正方体中心，半径. 如图，设与的交点为，过球心作平面的垂线，垂足为， 斜边上高，所以， 所以平面截球所得截面圆（圆心是）的半径， 如图，在矩形中，作，交于点， 在中，，，所以， 所以， 在三角形中，如图建立直角坐标系， 所以，，，截面圆， 圆与三角形各边的交点分别为，，，，， 所以三角形三边与正方体的棱切球（与12条棱都相切的球）的公共部分长度总和为. 联立，求得，， 直线方程为， 联立，求得， 同理求得， 所以， 所以三边与球体O公共部分的长度总和是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若复数，则下列结论正确的是（ ） A. z的虚部为 B. z的共轭复数为 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用复数的概念及运算即可判断. 【详解】对于A，z的虚部为，故A错误； 对于B，z的共轭复数为，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 10. 已知正实数a，b满足，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A项，由基本不等式 ​，代入已知等式得：， 令则不等式化为，结合 ，解得， 即，得到，当且仅当 时，等号成立，故A正确； 对于B项，由基本不等式，令，则， 整理得到，结合 ，解得 ，即， 当且仅当 时，等号成立，故B错误； 对于C项，先化简得到，将代入得到， 由选项 A 知，则，故， 当且仅当 时，等号成立，故C正确； 对于D项，由得到，其中 ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确. 11. 已知平面内动点到定点的距离与到定直线的距离之和等于3，其轨迹为曲线，若过点的直线与曲线交于，两点，则下列结论正确的是（ ） A. 点的轨迹方程为 B. 若，则 C. 的最小值为3 D. 若半径为的圆与曲线有且只有一个交点，且与轴切于点，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用题目信息列方程，去绝对值即可求出轨迹方程，可判断A；对于B，利用抛物线的定义，结合图象即可判断；对于C，分为在左支和在左、右两支两种情况分别求最小值，即可判断；对于D，代数法：设切线方程，求出切点坐标，根据切线与圆相切列方程组，即可求出答案；几何法：设切点为，在圆上找到一点，根据抛物线的光学性质得到为等边三角形，从而得到方程，联立求出点坐标，即可得到答案. 【详解】由题意知，， 当时，可化为，当时，可化为，故A错误； 对于B选项，如图所示， 根据抛物线定义可知，，， 所以， ， 所以，所以，故B正确； 对于C选项，当交在左支，最小值为通径4，当交在两支时，最小值为3，故C正确； D选项代数法：设切线方程为， （*）， 则切点为， 由题意得圆的方程为， 则， 将（*）代入上式得，， 消得，解得， 所以. 几何法：【光学性质】设抛物线与圆相切于点, 为的角平分线，轴，， 又∵轴， ∴等边三角形， 所以方程为， 联立抛物线方程：， 易知与右支有一交点，且与x轴切于点F的圆不存在， 所以. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】直接代入函数解析式计算，再求和即可得答案. 【详解】因为函数， 所以，， 所以. 故答案为： 13. 动直线与动直线相交于点，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】易知动直线与动直线分别过定点，且两直线垂直，所以点的轨迹为以为直径的圆（不含两点).根据的几何意义（斜率），利用点到直线的距离公式可求得其取值范围，从而求得的最小值. 【详解】由，得，所以动直线过定点，不含直线； 由，得，所以动直线过定点，不含直线. 又直线与动直线垂直， 所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点）. 因为线段的中点为，， 所以点的轨迹方程为. 令，则，即. 可以看作上的点与点的连线的斜率， 设到直线（不过)的距离为，则， 即，即，解得且. 所以，且，所以，且. 故的最小值为. 14. 已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理可得，再利用辅助角公式可得出，可求出. 【详解】由正弦定理得，因此可知， 代入余弦定理，得， 同除以得，即，其中， 当且仅当，即时，等号成立； 故，即，因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，且函数的最小正周期为. （1）求ω及的值； （2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数，求在区间上的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式及辅助角公式将化简为的形式，根据最小正周期计算公式可得的值，从而求得的值； （2）先求得的解析式，再结合余弦函数在给定区间上的单调性求得在区间上的值域. 【小问1详解】 由题意，. ∵函数的最小正周期为，∴，所以； 所以，所以. 【小问2详解】 由题可知. 若，则， 令，. 因为在上单调递增，在上单调递减，且， 所以 所以在区间上的值域为. 16. 已知函数，其中a， （1）当时，求函数的单调区间； （2）若，，求a的取值范围. 【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）. 【解析】 【分析】（1）去除绝对值写出分段函数的表达式，再利用二次函数的单调性求解即可. （2）当时，先去除绝对值得到恒成立，再分离参数，利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 当时， 又因为抛物线开口向上，对称轴为， 开口向上，对称轴为， 所以当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 因为， 所以，对所有恒成立 化简得到 令，则， 令 当且仅当，即时等号成立. 所以. 17. 如图，四棱锥中，平面，，，，，，M是的中点. （1）求证：平面； （2）若，在线段上是否存在点Q，使得直线与平面所成角的正弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取的中点，根据中位线定理证明，利用平行四边形的性质证明 ，再由线面平行的判定定理证得平面. （2）假设在线段上是否存在点Q满足题意，建立空间直角坐标系，并设，，根据线面角的向量求法，列出关于的方程，求解可得. 【小问1详解】 取中点N，∵M为中点，∴，且. 又∵，，∴，且， ∴四边形为平行四边形，所以 . ∵平面，平面 ∴平面. 【小问2详解】 ∵平面，且，所以两两垂直. 以点A为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 得，，，，. ∴，，，，，. 假设存在点Q满足题意，设， . 设平面的法向量为 则，令，则 设直线与平面所成的角为，则 ， 化简得，解得或. 因为，所以，即. 18. 已知正项数列的前n项和为，且，表示不超过x的最大整数，如，，. （1）求数列的通项公式： （2）记，求的值； （3）记，若，求n的最小值. 【答案】（1） （2）2551 （3）316 【解析】 【分析】（1）利用递推关系可证明等差数列求通项公式； （2）利用分组求和，放缩求和可求值； （3）利用对数运算性质来估计项数，即可求解. 【小问1详解】 由，当时，可得， 两式相减可得： 所以，（），又因为， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，即； 【小问2详解】 由， 则， 因为， ， 所以， 即. 【小问3详解】 由，则，，，， 可得：当时，，， 当时，记 则 两式相减可得： 则， 因为时，，，所以 则 所以，因为，所以，所以. 19. 已知椭圆：（）的焦点为，直线与轴交于点，与椭圆交于点，（在轴上方），且当线段轴时，其长度为3. （1）求椭圆的方程； （2）若为线段的中点，求点到直线的距离的最小值（其中O为坐标原点）； （3）若直线与轴交于点，直线与椭圆交于、两点，且满足.若过点的切线与直线交于点，求的面积. 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）由题意可得的值，结合线段轴时，其长度为3即可求出，的值，进而确定椭圆方程. （2）设出点坐标及直线方程，与椭圆方程联立结合斜率公式求出，得到直线方程，根据点到直线的距离公式及二次函数的性质即可求出最小值. （3）求出点的坐标及过点的切线方程，设直线的方程，与椭圆方程联立结合已知条件得到，进而得到直线所过定点，并验证该定点在切线上，进而求三角形面积即可. 【小问1详解】 因为椭圆的焦点为，所以，则. 当轴时，，故，解得，. 所以，椭圆的方程为： 【小问2详解】 设，则：， 联立椭圆方程整理得，所以， 解得， 所以， 可得，进而：. 于是. 令，所以， 当时d取最小值. 所以点P到直线的距离d的最小值为. 【小问3详解】 由题意知，直线：，与联立可得（在轴上方）. 则椭圆在点处的切线方程为，即. 设直线的倾斜角为，因为直线的倾斜角为，且， 所以直线的倾斜角为. 所以. 设直线的方程为：，， 联立，消去x可得：， ，， 故 即， 也即 整理得，即 当时，直线的方程为，则恒过点， 又点在椭圆在点处的切线上，所以椭圆在点处的切线与直线的交点为，即. 当时，直线过点，结合图象可知，无法满足，不符合题意. 此时，点到直线的距离为，又， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $