精品解析：江苏省丹阳高级中学2025-2026学年高三下学期一模数学试卷

2026年省丹中高三数学一模卷 2026.3 满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知复数在复平面内对应点的坐标为，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 已知是等比数列，则“”是“是增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知向量，，若，则（ ）. A. B. C. D. 6. 从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则 （ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在某校文艺汇演中，六位评委对某小品节目进行打分，得到一组分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.9，若去掉一个最高分和一个最低分，则（ ） A. 这组分值的极差变小 B. 这组分值的均值变大 C. 这组分值的方差变小 D. 这组分值的第75百分位数不变 10. 如图点 是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 当 为的中点时， B. 当 在面上，且直线与所成的角为 时，点 的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当平面时，线段长度最大值为 11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段 的长度与点到直线 的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______． 13. 已知，若在区间上存在两个不相等的实数 ，，满足，则的最小正整数为________. 14. 以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% （1）从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； （2）从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 16. 如图，在多面体 中，底面是平行四边形， ，，，为的中点，， ，. （1）证明：平面 ； （2）若，求平面 与平面 夹角的余弦值. 17. 在中，角，，所对的边分别为 ，，，满足. （1）求角； （2）若恒成立，求实数的最小值. 18. 已知双曲线（，）的焦距为，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点． （1）求双曲线E的方程； （2）是否存在直线l，使得与 的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由； （3）若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：为定值． 19. 设 ，. （1）求证： 在上恒成立； （2）若曲线上存在一点 （不同于坐标原点），使得曲线在点 处的切线与圆 （其中）相切，求实数 的取值范围； （3）设 ，点在函数的图像上，且的横坐标， .曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年省丹中高三数学一模卷 2026.3 满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则 的元素个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，根据集合交集运算求解 ，可判断 的元素个数. 【详解】因为集合， 集合， 所以， 所以 的元素个数为5. 故选：C 2. 已知复数在复平面内对应点的坐标为，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的几何意义和复数的四则运算，结合复数的概念即可求解. 【详解】由题意知，， ∴ ， ∴复数的虚部为． 故选：B 【点睛】本题考查复数的几何意义、复数的四则运算及复数的概念；考查运算求解能力；属于基础题. 3. 设，则曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 4. 已知是等比数列，则“”是“是增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果 【详解】由数列是等比数列，可假设， 则， 可知，但数列不是递增数列， 若数列是递增等比数列，由定义可知，，故 “”是“是递增数列”的必要不充分条件 故选：B 5. 已知向量，，若，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行列式可求 ，再利用二倍角的余弦公式求值即可. 【详解】因为，所以 . 所以. 故选：A 6. 从编号1~10的10张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件A：“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数”，事件B：“第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型的计算方法和分步乘法概率计算公式，求出事件的概率和积事件的概率，依据条件概率公式求出条件概率即可. 【详解】由题意，在1~10这10个数字中，5的倍数有5、10，共2个， 所以事件A发生的概率， 记事件AB表示“第一次抽到的卡片编号数字为5的倍数且第二次抽到的卡片编号数字小于第一次”， 若第一次抽到5，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法； 若第一次抽到10，那么第二次从剩下9张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法； 所以. 根据条件概率公式，. 故选：B. 7. 已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上，当该圆锥的侧面积最大时，它的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用球半径相等条件，建立圆锥母线、高、底面半径的关系等式，再根据侧面积公式，构造函数求导分析最值，确定高和底面半径，最后根据体积公式求得圆锥体积. 【详解】如图，圆锥顶点为，底面圆心为，底面圆周与顶点均在球心为的球面上. 先设参数确定圆锥侧面积，记，，，由，圆锥侧面积为， 由直角三角形 和直角三角形 可得，， 于是， 令，. 求导，令，解得（舍去），，所以在上单调递增；在上单调递减. 所以时，取得最大值，即圆锥的侧面积最大， 此时，所以圆锥体积. 8. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的性质得到，利用相似三角形的性质得到，再结合余弦定理得到，进而得到，最后构建齐次方程求解离心率即可. 【详解】如图，连接，因为为椭圆的上顶点，所以， 因为，所以，故， 解得，设，，则， ，由余弦定理有， 即，解得， 因为，所以， 化简得，即， 整理得，解得，故B正确. 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在某校文艺汇演中，六位评委对某小品节目进行打分，得到一组分值7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.9，若去掉一个最高分和一个最低分，则（ ） A. 这组分值的极差变小 B. 这组分值的均值变大 C. 这组分值的方差变小 D. 这组分值的第75百分位数不变 【答案】AC 【解析】 【分析】根据极差、百分位数、平均数和方差的定义求解，即可判断选项． 【详解】原始数据：7.7，8.1，8.2，8.7，9.4，9.9， 去掉一个最高分和一个最低分后： 8.1，8.2，8.7，9.4， 极差分别为，极差变小，故A正确； 均值分别为， ，均值变小，故B错误； 方差分别为 ， ，方差变小，故C正确； ，， 第75百分位数分别为，，第75百分位数变小，故D错误． 10. 如图点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 当为的中点时， B. 当在面上，且直线与所成的角为 时，点的轨迹长度为 C. 三棱锥体积的最大值为 D. 当平面时，线段长度最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理可判断A；由题意作出点的轨迹，计算可判断B；根据等体积法确定点的位置计算可判断C；取，，，，，的中点分别为，，，， ，，连接， ，，，， ，， ， ，根据题意确定轨迹，计算可判断D. 【详解】对于A，当为的中点时， 因为是线段的中点，所以， 在正方体中，平面， 因为 平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为 平面，所以，故A正确； 对于B，连接，，以为圆心，为半径画，如图1所示， 当点在弧上时，直线与所成的角为 ， 长度，故点的轨迹长度为 ，故B错误： 对于C，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 易知点是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为， 所以，故C正确； 对于D，取，，，，，的中点分别为，，，， ，， 连接， ，，，， ，， ， ，如图2所示， 易知，面，平面， 故平面，，平面， 平面， 故平面，又，，平面， 故平面平面，又，，， 故平面与平面是同一个平面，则点的轨迹为该正六边形，； 故，故长度的最大值为，故D正确. 11. 数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（ ） A. 曲线由两条抛物线的一部分组成 B. 线段的长度与点到直线 的距离相等 C. 若线段的长度为，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据题干列出等式即可判断；对于选项B，利用抛物线的定义即可判断，对于选项C，利用焦半径公式列出等式即可判断，对于选项D，由焦半径，又因为可得，即可得到结果. 【详解】 对于A选项，设曲线上任意一点， 由定义可知， 满足， 移项，平方可得：， 即，为两条抛物线，故A正确； 对于B选项，和直线 分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确 对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，， ， 解得，则，故C错误. 对于D选项，易知为抛物线和的焦点， 前者 ，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此 ，由于， 则，因此，所以，故D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：抛物线的求解，一般利用定义和二级结论直接能够列出等式求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件结合正态分布的性质求出，再利用赋值法求出系数和. 【详解】因为，所以，解得， 代入可得， 令，可得展开式各项系数和为 . 故答案为：. 13. 已知，若在区间上存在两个不相等的实数，，满足，则的最小正整数为________. 【答案】5 【解析】 【详解】因为，所以， 又函数在区间上存在两个不相等的实数，使得， 且， 所以函数在区间上至少存在两个最大值点， 所以，解得， 所以的最小正整数为：5. 14. 以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先得出的规律，再根据等差数列的和求解. 【详解】由题意 【点睛】方法点睛：非常见数列的求和的突破在于找到规律，由特殊到一般是找规律的常用方法． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. AI幻觉，是指AI模型生成看似合理但实际不正确或毫无事实依据的信息的现象，AI幻觉率是指AI模型产生AI幻觉的概率.现抽取了某公司研发的14个使用率较高的AI模型，其幻觉率如下表所示： AI模型 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 幻觉率 1.3% 1.8% 2.9% 1.5% 1.9% 2.9% 0.7% 0.9% 1.6% 2.4% 0.8% 1.6% 2.4% 2.8% （1）从表中提供的AI模型中任取一个，求该模型幻觉率小于2%的概率； （2）从表中提供的幻觉率小于的AI模型中任取3个，用随机变量表示其中幻觉率小于的模型个数，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）通过列举法，结合古典概型概率公式求解； （2）首先列举幻觉率低于2%的AI模型的个数，以及低于1.3%的模型个数，再根据超几何分布公式求概率和分布列，以及数学期望. 【小问1详解】 14个AI模型，幻觉率高于2%的有2.9%，2.9%，2.4%，2.4%，2.8%，共有5个， 所以幻觉率低于的概率为. 【小问2详解】 幻觉率低于2%的AI模型中共9个，其中低于1.3%的模型有3个，故 ， ， ， , 故分布列为 0 1 2 3 故. 16. 如图，在多面体 中，底面是平行四边形， ，，，为的中点，， ，. （1）证明：平面 ； （2）若，求平面 与平面 夹角的余弦值. 【答案】（1） 在 中，，，， 由余弦定理可得， 所以，所以，所以 ， 又因为 ，，平面 ， 所以 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）证明 ，再根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，利用向量法即可求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知 平面 ，平面 .所以 ， 由于，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以 ， 又因为，，平面， 所以平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 易知平面 的一个法向量， 设平面 的一个法向量， 因为，， 所以，令，则，， 所以， 设平面 与平面 夹角为， 所以， 所以平面 与平面夹角的余弦值为. 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，满足. （1）求角； （2）若恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据及三角恒等变换即可求解； （2）根据题意可得恒成立，利用三角形面积公式及余弦定理可将右式化为，利用基本不等式求出最大值即可求出答案. 【小问1详解】 由， 由正弦定理得，， 又， 所以， 即， 又因为，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 恒成立， 即恒成立，即求的最大值， 由余弦定理得 ， 所以， 因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 所以实数的最小值为. 18. 已知双曲线（，）的焦距为，右顶点为A，直线l与双曲线E相交于P，Q两点，且与E的一条渐近线相交于点． （1）求双曲线E的方程； （2）是否存在直线l，使得与 的面积相等？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由； （3）若直线AP，AQ分别与y轴相交于M，N两点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由焦距可得，由渐近线方程可得，据此可得双曲线方程； （2）由题可得B为PQ中点，设，，由点差法可得直线PQ斜率为渐近线斜率，据此可完成判断； （3）方法1，设直线，将其与双曲线联立，由韦达定理结合题意可得MN的中点为，据此可完成证明；方法2，设，，由题可得，，将双曲线的方程化为，将其与直线联立，然后由韦达定理可得，据此可完成证明. 【小问1详解】 由题，设双曲线E的焦距为2c，则，即， 根据双曲线的性质可知，点在渐近线上， 所以，即①， 又，所以② 又①②解得， ， 所以E的标准方程为． 【小问2详解】 不存在，理由如下： 假设存在直线l，使得 与 的面积相等， 则点B为PQ的中点，设，，代入E的方程得：， 两式作差得， 因为点为PQ的中点，所以，， 故，即直线l的斜率为， 故直线，即， 此时，直线l与E的渐近线重合，与E没有交点，与已知矛盾， 所以不存在直线l，使得 与 的面积相等 【小问3详解】 证明：由题可知，直线l的斜率存在，设直线，与E的方程联立，得， 由题，，得，且， 设，，则，， 设，，又，所以， 令得，同理可得， 故， 又 ， ，所以， 所以MN的中点为， 因为，所以， 所以为定值．得证． 另解：设，，又，所以， 令得，同理可得， 双曲线的方程化为：，即， 设直线，即， 联立得， 所以， 等式两边同时除以得：， 设，，易得满足方程， 则为方程两根，由韦达定理可得 ，故， 所以MN的中点为， 因为，所以， 所以为定值．得证 【点睛】关键点睛：对于存在性问题，常假设相关条件成立，然后得到相关方程，不等式，通过判断方程，不等式是否有解来解决问题，或利用反证法；对于定值问题，常利用所设参数得到所研究数学量的表达式，随后设法消去参数来解决问题. 19. 设 ，. （1）求证： 在上恒成立； （2）若曲线上存在一点（不同于坐标原点），使得曲线在点处的切线与圆 （其中）相切，求实数的取值范围； （3）设 ，点在函数的图像上，且的横坐标， .曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 【答案】（1）令 ， ， ， ， 在上为单调递增函数， ， ，所以 在上恒成立，即 在上恒成立. （2） （3） ，， 当 时，；当 时，； 则点 在曲线 上，点 在 上， 当 ， ， ， ， 线段的方程为 ， 即， 在 上任取一点 ， 设， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在 上是单调递增函数， ， ， ， 线段均在曲线 下方， ， 直线与的交点都在轴的上方. 令 ，则， 当时， ，则在 上是单调递增函数， 当时， ，则在 上是单调递减函数， 当时，取最小值，且最小值为 . 当时， ，故 ，即直线在曲线 上方，与折线段无交点； 当时直线 与曲线 相切于点 ，与折线段无交点； 当时， ，在范围内的根不影响交点个数， 故存在唯一使得 . 当时，直线在曲线 上方，与折线段无交点； 当 时，在这段区间上只有有限条线段，交点个数有限. 综上，直线与的交点不可能有无穷多个. 【解析】 【分析】（1）构造函数 ，通过导数法得到单调性，得到 ，从而得证； （2）设 ，利用导数的几何性质求出曲线在点 处的切线的方程，由曲线在点 处的切线与圆 相切，则有圆心 到切线方程 的距离 得到 ，令，由得到，解出，得到，利用二次函数的图像和性质得到实数 的取值范围. （3）求出，通过讨论 和 得到点 在曲线 上，点 在 上，且 ，因此线段均在曲线 下方，因为，所以直线与的交点都在轴的上方.构造函数 ，通过导数法得到单调性，从而得到的最小值为 .讨论的最小值 与的大小得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在曲线上，，， 设 ， 不同于坐标原点， ， ，， 曲线在点 处的切线的斜率为， 切线方程为 ，即 ， 圆 的圆心为 ，半径为 ， 曲线在点 处的切线与圆 相切， 圆心 到切线方程 的距离 ， 即 ， 令， ， ， ，解得， 则， ，时 取最大值，且最大值为， ，， 实数 的取值范围 . 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $