精品解析：北京市第八十中学2025-2026学年高三下学期开学考试数学试题

北京市第八十中学2025-2026学年高三一模适应性练习 数 学 班级 姓名 考号 （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ）. A. B. C. D. 3. 已知双曲线，直线与的两条渐近线分别交于点，若，则的离心率为（） A. B. C. D. 4. 在等差数列中，，当取得最小值时，（ ） A. 27 B. 18 C. 6 D. 3 5. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（ ） A. 307 B. 308 C. 309 D. 310 8. 已知圆是以原点为圆心，半径为3的圆，点分别是上两个动点，且，则的取值范围是（ ） A. [1，16] B. [1，17] C. [9，16] D. [9，25] 9. 设是关于x的方程的正实数根．记，其中表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．在答题卡上写上每小题的正确答案） 10. 抛物线的焦点到准线的距离是__________；其准线方程是__________． 11. 在的展开式中常数项为80，则____________． 12. 已知函数．若非零实数，，使得对都成立，则满足条件的一组有序实数对可以是__________．（只需写出一组） 13. 设，关于的方程的实根个数记为 ①若，则______； ②已知，若存在使得，则的取值范围是_______． 14. 已知曲线：与轴交于，两点，点是上一个动点，给出下列四个结论： ①曲线关于x轴对称； ②曲线内存在面积为2的等腰三角形 ③面积的最大值为1； ④存在2个点，满足． 其中，所有正确结论的序号为__________． 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，已知，． （1）求的值； （2）若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 16. 为激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间 人数 类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 5 8 11 11 10 8 高中 6 13 12 7 5 4 （1）从该校随机抽取1名学生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率； （2）在随机抽取的100名学生中，从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中初、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为、．试比较、的大小．（结论不要求证明） 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使平面与平面所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 18. 已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求直线MN的斜率k． 19. 已知函数（）. （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和， （ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值. 20. 已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质． （1）当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由； （2）当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第八十中学2025-2026学年高三一模适应性练习 数 学 班级 姓名 考号 （考试时间120分钟 满分150分） 提示：试卷答案请一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色签字笔作答． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给的四个选项中，选出最符合题目要求的一项） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式划化简，即可根据并集的定义求解. 【详解】由或，又 ， 故选：C 2. 已知向量，，若，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量平行列式可求，再利用二倍角的余弦公式求值即可. 【详解】因为，所以. 所以. 故选：A 3. 已知双曲线，直线与的两条渐近线分别交于点，若，则的离心率为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，再求出直线与渐近线的交点的坐标，利用得到的关系，最后计算离心率. 【详解】双曲线的渐近线方程为. 将代入渐近线方程： 对于，解得，即点. 对于，解得，即点. 所以，解得. 双曲线的离心率，其中. 将代入得： 因此，离心率. 故选：A 4. 在等差数列中，，当取得最小值时，（ ） A. 27 B. 18 C. 6 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求得，根据均值不等式，求得当时，取得最小值，从而可得答案． 【详解】在等差数列中，设公差为， 由得 根据基本不等式，有， 当且仅当即，即时， 取得最小值， 故． 故选：D 5. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面，可知平面，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 6. 已知函数满足，且在上单调递减，对于实数a，b，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，可得函数是R上的偶函数，利用充分条件、必要条件的定义，结合偶函数性质及单调性判断即得. 【详解】由函数满足，得函数是R上的偶函数，而在上单调递减， 因此， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 7. 某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用对数衰减，初始学习率为，学习率随迭代次数的变化公式为.当学习率小于等于时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰减策略，学习率公式为，其中为第一阶段结束时的迭代次数，为总迭代次数.当学习率小于等于时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭代次数为（结果保留整数.参考数据：（，）（ ） A. 307 B. 308 C. 309 D. 310 【答案】C 【解析】 【分析】在第一阶段解出，在第二阶段解出. 【详解】在第一阶段，由， 即，得，而，所以解得， 即时第一阶段迭代结束，所以.在第二阶段， 由，即， 得， 而，所以解得，即时模型停止训练. 故选：C. 8. 已知圆是以原点为圆心，半径为3的圆，点分别是上两个动点，且，则的取值范围是（ ） A. [1，16] B. [1，17] C. [9，16] D. [9，25] 【答案】B 【解析】 【分析】设EF的中点为D，易得，，，，再由，根据同向和反向共线时求解. 【详解】如图所示： 设EF的中点为D，则,且， 因， 则， 于是，， 所以， ， ， 当同向共线时，，； 当反向共线时，，， 所以的取值范围是. 故选：B. 9. 设是关于x的方程的正实数根．记，其中表示不超过x的最大整数，设数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题需要先求解方程的正实数根 ，再根据得到数列的通项，最后利用分组求和法求前 2025 项和. 【详解】设，则， 记，显然在上单调递增， 且， ． 所以， 当，时，， 则； 当，时，， 则， 则 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．在答题卡上写上每小题的正确答案） 10. 抛物线的焦点到准线的距离是__________；其准线方程是__________． 【答案】 ①. ②. x=1 【解析】 【详解】抛物线的焦点，准线方程为；其焦点到准线的距离为2. 11. 在的展开式中常数项为80，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令的指数等于0，求出的值，即可建立等式求解. 【详解】的展开式的通项为， 令，得， 所以展开式中常数项为，解得. 故答案为： 12. 已知函数．若非零实数，，使得对都成立，则满足条件的一组有序实数对可以是__________．（只需写出一组） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可. 【详解】因为，且存在非零实数，，使得对都成立， 所以. 当时，，即. 因此当时，符合题意. 故答案为：. 13. 设，关于的方程的实根个数记为 ①若，则______； ②已知，若存在使得，则的取值范围是_______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【详解】令， 函数的值域为，并且函数是单调递增函数， 故方程只有一个解，故； 当时，即，如下图， 显然存在使得；． 当时，即，如下图， 要想存在使得，只需，即， 得． 综上所述，的取值范围是． 14. 已知曲线：与轴交于，两点，点是上一个动点，给出下列四个结论： ①曲线关于x轴对称； ②曲线内存在面积为2的等腰三角形 ③面积的最大值为1； ④存在2个点，满足． 其中，所有正确结论的序号为__________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】对于①，根据对称性代入验证；对于②，构造一个等腰三角形，使其面积为2即可判断；对于③，求出曲线上点到轴距离的最大值，根据三角形面积公式计算即可判断；对于④求出点的轨迹方程，与曲线的方程联立，求交点坐标判断. 【详解】对于①，若是曲线上的点，代入 ， 得，（除或） 所以曲线不关于轴对称，故①错误； 对于②，令，得，即，解得， 所以，，则， 因为点在曲线上，所以，所以. 因为满足曲线的方程，所以曲线关于轴对称， 在曲线上取关于轴对称的两点，， 则都是等腰三角形，如图， 则，到的距离为， 则， 当时，此时，， 所以曲线内存在面积为2的等腰三角形，故②正确； 对于③，点到轴的距离就是中边上的高，由于，所以， ，所以的最大值为1，故③正确； 对于④，坐标平面内满足的点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设椭圆的方程为，由已知，，故， 所以椭圆的方程为. 联立，得， 所以，即， 所以，所以， 解得，所以椭圆与曲线M的交点为和， 所以满足的点有两个，故④正确. 综上，正确结论的序号为②③④. 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，已知，． （1）求的值； （2）若为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2） 由（1）可知，，又为锐角，故，又； 若选择条件①：，由正弦定理可得，解得， 此时，可以为锐角，也可以时钝角，故此时三角形有两解，不满足题意，条件①不能选择； 若选择条件②：，则，由正弦定理，可得； 此时，两角均为锐角，故三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 若选择条件③：，又，解得， 因为，又为锐角，故也是锐角，此时，三角形唯一， 且， 故三角形的面积； 综上所述：条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为. 【解析】 【分析】（1）转化已知条件求得，解得正弦定理，即可求得； （2）对条件①：求得，由其可为钝角，也可为锐角，从而判定三角形不唯一；对条件②，由，判定角唯一，且三角形唯一，再由正弦定理求得，以及，即可求得其面积；对条件③，求得，由，判定为锐角，三角唯一，同理求得，即可求得三角形面积. 【小问1详解】 因为，则， 又，，故，也即； 又，由正弦定理可得：，解得. 【小问2详解】 略 16. 为激发学生的体育运动兴趣，助力全面健康成长，某中学组织全体学生开展以体育锻炼为主题的实践活动．为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育锻炼活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间 人数 类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 5 8 11 11 10 8 高中 6 13 12 7 5 4 （1）从该校随机抽取1名学生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率； （2）在随机抽取的100名学生中，从参加体育锻炼活动时间在和的学生中各随机抽取1人，其中初中学生的人数记为X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中初、高中学生参加体育锻炼活动时间的平均数分别记为、．试比较、的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）的分布列为： 的期望为 （3）＞ 【解析】 【分析】（1）利用频率来估计概率即可； （2）利用独立事件乘法公式来计算概率，即可得分布列求期望； （3）利用中点值来计算平均数，即可得到大小比较. 【小问1详解】 由上表可得，100名学生中，参加体育锻炼活动时间在的学生有名， 所以从该校随机抽取1名学生，估计该学生参加体育锻炼活动时间在的概率为； 【小问2详解】 依题意，的所有可能值为0，1，2， 参加体育锻炼活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 参加体育锻炼活动时间在的学生总人数为，其中初中生人， 记事件为“从参加体育锻炼活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件为“从参加体育锻炼活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到的是初中学生”， 事件相互独立，且， 则， ， ， 所以的分布列为： 的数学期望； 【小问3详解】 ＞, 由表可知：根据利用中点值来估计，可得初中生的体育锻炼活动平均时间：， 根据利用中点值来估计，可得高中生的体育锻炼活动平均时间：， 即＞. 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使平面与平面所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 因为分别为的中点，所以在中，， 因为平面，平面，所以平面. （2） 因为平面，且，所以平面， 因为四边形为正方形，所以两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 由图可得， 由为的中点，则，由为的中点，则， 得，，设，其中. 在平面内，取，，设该平面的法向量， 则，即，令，解得， 所以平面的一个法向量，即为平面的一个法向量. 在平面内，取，， 设该平面的法向量，则， 即，令，解得， 所以平面的一个法向量. 可得，， ， 由题意可得， 化简得，因式分解得，解得或， 故存在坐标为或，使得平面与平面所成角为. 所以的长为或 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线性质，结合线面平行的判定定理，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，． （1）求的方程； （2）设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求直线MN的斜率k． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】第一问，先求出的值再结合椭圆中的关系，求出的值，最终得到椭圆的方程； 第二问，先设出点的坐标，因为在椭圆上，然后分别求出直线、直线的方程，联立两方程求出点的坐标；再求出直线的方程，令求出点的坐标；最后利用两点间的斜率公式计算直线的斜率，结合点坐标满足椭圆方程化简斜率表达式 【详解】 【小问1】依题意，得，则， 又分别为椭圆上下顶点，，所以，即， 所以，即，则， 所以椭圆的方程为. 【小问2】因为椭圆的方程为，所以， 因为为第一象限上的动点，设，则， 易得，则直线的方程为， ，则直线的方程为， 联立，解得，即， 而，则直线的方程为， 令，则，解得，即， 又，则，， 所以 ， 所以直线MN的斜率为. 19. 已知函数（）. （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和， （ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值. 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间 （2）（ⅰ）证明：当时，， 根据题意，零点分别在区间和内，不等于1，因此是方程的两个根， 故，，则，， 且有，则， ， 则， 同理 ， 故函数在两点，处的切线平行； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求导后因式分解，再构造函数，从而结合单调性讨论其正负，从而得到的正负，即可得单调性； （2）（ⅰ）由题意可得和是的零点，结合韦达定理与导数的几何意义计算即可得解；（ⅱ）借助导数的几何意义求切线方程，求出交点坐标，从而可表示出，结合、的关系计算即可得. 【小问1详解】 当时，， 则， 令，则，故在上递增， 又，则时，，又，故， 当时，，又，故， 故恒成立，故在上单调递增， 即函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知， 故在点处的切线为，， 令，则， 又，故， 故，又，且， 所以， 令，则，又， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以的最大值为. 20. 已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质． （1）当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由； （2）当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由见解析 （2）①具有性质，理由见解析 ；② 【解析】 【分析】（1）当时，集合，，根据性质的定义可知其不具有性质；，令，利用性质的定义可验证； （2）当时，则， ①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义即可验证； ②设集合有个元素，由①得，任取一个元素，则与中必有一个不超过，从而得到集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过，然后利用性质的定义进行分析即可求出，即，解此不等式即可得出答案. 【小问1详解】 当时，集合， 不具有性质， 因为对任意不大于的正整数，都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立， 集合具有性质， 因为可取，对于该集合中任一元素， 都有； 【小问2详解】 当时，则， ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质， 首先因为，任取，其中， 因为，所以， 从而，即，所以， 由具有性质，可得存在不大于的正整数， 使得对中任意一对元素，都有， 对于上述正整数，从集合中任取一对元素，其中，则有， 所以集合具有性质； ②设集合有个元素，由①得，若集合具有性质，那么集合一定具有性质， 任取一个元素，则与中必有一个不超过， 所以集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过， 不妨设中有个元素不超过，分别记为， 由集合具有性质，得存在正整数，使得对中任意两个元素 ，都有，所以都不是中的元素， 又，故都是中的元素， 即集合中至少有个元素不在子集中， 因此，所以，解得， 当时，取， 易得集合中的任意两个元素，都有， 即集合具有性质，此时集合中有个元素， 因此集合中元素个数的最大值为． 【点睛】本题考查集合之间包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义问题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $