精品解析：陕西省榆林市2026届高三下学期一模数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 由题意，得， 故． 2. 在直角坐标系xOy中，点A，B满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知是等边三角形，所以， 则． 3. 已知为纯虚数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先进行复数分母实数化的除法运算，再结合纯虚数的概念：实部为0，虚部不为0即可求解. 【详解】， 因为是纯虚数，所以且，解得． 4. 若函数是奇函数，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义域为R，结合，可得m值，即可得解析式，根据奇函数定义，代入检验，即可得答案. 【详解】由题意的定义域为R，由，解得， 当时，， 则，满足题意， 故选：B． 5. 一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥的高与母线、半径的关系，求出母线长和底面半径，进而得到轴截面周长为6. 【详解】设圆锥的母线长为，则底面半径为， 侧面积，解得， 则，故圆锥轴截面的周长为． 6. 若的展开式中常数项为180，则a的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，令的指数为0，求出，再由常数项为解得. 【详解】的展开式的通项为， 令，解得，所以，即，， 又，故． 7. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过解三角形求得点的坐标，代入方程求出，进而可求离心率. 【详解】因为，所以点在轴左侧， 如图，作轴，垂足为．由，得， 所以，即， 则，， 所以，即，则，则点的坐标为或， 结合，将代入到椭圆方程有， 解得，则，则. 8. 已知数列的首项为0，从第2项起，每一项减其前一项的差为1或2，记的前n项和为，则使一定成立的正整数k的最大值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】把握数列的递推关系，对极端情形下不等式的最大值最小值构造. 【详解】由，得，要求使该式一定成立的的最大值， 就要考虑尽量＂严格＂的情况，即要尽可能大，尽可能小， 令不等号前面后一项减前一项的差尽可能多的为2，不等号后面后一项减前一项的差尽可能多的为1． 当时，若前6项为0，2，4，6，8，10，则后4项为11，12，13，14，此时前6项之和为30， 后4项之和为50，符合条件； 若前6项为0，2，4，6，8，9，则后4项为10，11，12，13，此时前6项之和为29，后4项之和为46，符合条件． 因此，可以使一定成立． 当时，若前7项为0，2，4，6，8，10，11，则后3项为12，13，14，此时前7项之和为41，后3项之和为39， 不符合条件．因此，不能使一定成立． 综上，满足条件的的最大值为6． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 直线是曲线的对称轴 C. 在上单调递增 D. 在上的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据函数的最小正周期公式列方程求得，再根据诱导公式可判断A；对于BCD，整体法求得的值或范围即可判断BCD． 【详解】对于A，因为，所以的最小正周期，解得，所以，故A错误； 对于B，当时，，即在处取得最大值，所以直线是曲线的对称轴，故B正确； 对于C，当时，，结合正弦函数的单调性，可知是的单调递增区间，故C正确； 对于D，当时，，因为函数在上的值域为，所以在上的值域为，故D正确． 10. 某摄影比赛组委会为防止AI作品弄虚作假，请技术专家来检测AI作品，专家的漏判率（将AI作品判定为正常摄影作品的概率）为10%，误判率（将正常摄影作品判定为AI作品的概率）为10%，假设本次比赛中每幅作品实际为AI作品的概率为5%，且每幅作品相互独立，则下列说法正确的是（ ） A. 专家随机抽取两幅作品，这两幅作品实际都是AI作品的概率为0.0025 B. 专家随机抽取一幅作品，该作品的判定结果与实际情况不一致的概率为0.2 C. 专家随机抽取一幅作品，该作品被判定为AI作品的概率为0.15 D. 若一幅作品被专家判定为AI作品，则该作品实际也是AI作品的概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】着重注意条件概率的辨析，即发生一件事是否有前提或前置条件，由此结合条件概率与全概率公式求解即可. 【详解】设事件：作品实际为AI作品，则事件：作品实际为正常作品； 事件：作品被专家判定为AI作品，则事件：作品被专家判定为正常作品． 由已知得，，． 对于A，因为每幅作品实际为AI作品的概率为0.05，所以两幅作品实际都是AI作品的概率为，故A正确； 对于B，设 判定结果与实际情况不一致的概率为， ，故B错误； 对于C，根据全概率公式，一幅作品被判定为AI作品的概率为 ，故C错误； 对于D，，故D正确． 11. 已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是的必要不充分条件 D. 的零点个数为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】抽象函数的性质，通过取特殊值解决前三个选项，选项D将抽象函数具体化. 【详解】 对于A，令，得，所以， 再令，，得，所以，故A正确； 对于B，首先定义域关于原点对称，其次令，得， 即，所以是奇函数，故B正确； 对于C，令，得，令，得， 所以，由，得，解得或， 即只是解集的一部分，则是的充分不必要条件，故C错误； 对于D，设， 不难验证， 所以，所以，将代入，可得， 所以，的零点为0，，2，故D正确． 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由辅助角公式结合三角函数的图像性质即可求解. 【详解】 ， 其中，故的最大值为． 13. 已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________． 【答案】8 【解析】 【分析】设正四棱台的高为，上底面的面积为，根据正棱台的体积公式列方程求出，进而可求得三棱锥的体积． 【详解】如图，设正四棱台的高为，上底面的面积为， 因为，所以下底面的面积为， 所以正四棱台的体积，解得， 所以三棱锥的体积． 14. 已知P为抛物线上任意一点，，，若存在实数k，点满足，则m的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】向量的方向与的内角平分线相同，利用角平分线定理将表示为的函数，再求该比值在抛物线上的最大值，代入即得的最大值. 【详解】如图．设，则有， 则，． 因为，为单位向量，向量的方向与的内角平分线相同， 由于在轴上，故为内角平分线与轴的交点， 由角平分线定理，可得，其中，， 因为在线段上，则有， 设， 当且仅当时，等号成立．因为， 所以，则随单调递增，所以当取最大值时，也取最大值， 故的最大值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市文旅部门在电商平台推广当地的某种特产，并设置了该特产的客服热线，每月统计一次消费者投诉次数，得到下表所示的数据. 月份序号x 1 2 3 4 5 投诉次数y 120 100 80 70 55 （1）若关于的经验回归方程为，求； （2）从表中5个月份中任选3个，以表示所选月份中投诉次数小于100的月份个数，求的分布列与数学期望. 【答案】（1）133 （2） 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据回归直线过样本中心点列方程即可求解； （2）根据题意先判断的所有可能取值，再根据超几何分布求出相应的概率即可. 【小问1详解】 由题可知， 因为回归直线过点， 所以，则． 【小问2详解】 由题可知，投诉次数小于100的月份有3个， 则X的所有可能取值为1，2，3， ，，． 故的分布列为 1 2 3 所以． 16. 已知数列的前n项和，等比数列满足，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）， （2）． 【解析】 【分析】（1）由，并验证首项，即可求得，由于已知是等比数列，则求出任意两项即可得到公比. （2）符合等差乘以等比的形式的数列前项和使用错位相减求和法即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 也满足， 所以． 因为，所以的公比， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 所以①， ② 两式相减，得， 所以． 17. 如图，直四棱柱内接于圆柱，且底面为矩形，B是圆柱底面圆O的圆周上一动点，AC是圆O的直径，且，E是AB的中点，Q是的中点． （1）证明：平面； （2）设，求平面与平面ABC的夹角的正弦值.（用表示） 【答案】（1） 如图，取的中点，连接， 则，且． 因为底面为矩形，所以，，且， 所以，且， 则四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，根据中位线的性质可证四边形为平行四边形，得到，根据线面平行的判定定理可证；（2）以为坐标原点，直线，分别为轴建立空间直角坐标系，求得平面与平面ABC的法向量，即可求得面面夹角的余弦值，进而根据同角三角函数的关系式可求得其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，直线，分别为轴，过点且在底面内与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设，则，，， 所以，． 设平面的法向量为， 则， 令，得. 易知平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则． 所以， 即平面与平面的夹角的正弦值为． 18. 已知双曲线的右焦点为F，左顶点为，离心率为2，过点F且斜率存在的直线l与E的右支交于P，Q两点（点P在第一象限），M是PQ的中点，O为坐标原点． （1）求E的方程； （2）证明：； （3）过点F且与l垂直的直线m交直线OM于点N，证明：的面积大于． 【答案】（1） （2） 设点的坐标为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 则，，要证，即证， 由题意得，即证， 即证． 因为，所以， 因为点在上，所以， 所以，得证， 综上，可得． （3） 设的方程为，，， 联立方程得，整理得， 所以，， 所以 ， 设，则，， 直线的方程为． 因为，所以的方程为， 由可得即， 则有， 代入，则有， 所以， 所以，设，则， 设， 令，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 所以，故， 所以，即的面积大于． 【解析】 【分析】（1）由双曲线的参数关系结合离心率即可求解； （2）将角度关系转化为直线斜率关系，利用点在双曲线上满足的方程进行代数推导，证明成立； （3）联立直线与双曲线方程求得弦长和中点的坐标，再通过直线与垂线的交点得到点的坐标，计算三角形面积表达式后通过换元与导数分析证明其大于​即可. 【小问1详解】 因为左顶点为，所以． 因为离心率，所以半焦距，则． 所以的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知函数，. （1）若，证明：. （2）若曲线与关于直线对称，关于x的方程恰有三个不等实根，，，其中. （ⅰ）求a的取值范围； （ii）证明：． 附：若，则当时，． 【答案】（1） 设， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 当时，，所以， 即． （2）（ⅰ）； （ii）由（ⅰ）知． 当时，，所以． 要证明，即证明， 由，得，代入待证不等式， 得，整理得． 设，则， 故在上单调递增，故，即． 故命题得证． 【解析】 【分析】（1）构造函数，求导分析单调性得最大值，由知该最大值小于0，从而原不等式成立； （2）（i）由对称性得，将方程化为，通过导数讨论的符号及二次判别式，确定当时有3个零点；（ii）利用根的关系及消去，将欲证不等式转化为关于的对数不等式，构造函数并求导证明恒正. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （ⅰ）因为曲线与关于直线对称， 所以，则． 令，则， 当时，，在上单调递增， 不存在三个不等实根． 当时，令，其判别式， 若，即，则恒成立，即， 在上单调递减，不存在三个不等实根． 若，即，则存在两个不等正实根，，且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又因为，且，故，． 又当时，，当时，， 所以在和内各恰有一个零点，又， 所以有三个零点，符合题意． 所以的取值范围是． （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在直角坐标系xOy中，点A，B满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 已知为纯虚数，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 若函数是奇函数，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 若的展开式中常数项为180，则a的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 7. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，点M在C上，且，，，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的首项为0，从第2项起，每一项减其前一项的差为1或2，记的前n项和为，则使一定成立的正整数k的最大值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的最小正周期为，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 直线是曲线的对称轴 C. 在上单调递增 D. 在上的值域为 10. 某摄影比赛组委会为防止AI作品弄虚作假，请技术专家来检测AI作品，专家的漏判率（将AI作品判定为正常摄影作品的概率）为10%，误判率（将正常摄影作品判定为AI作品的概率）为10%，假设本次比赛中每幅作品实际为AI作品的概率为5%，且每幅作品相互独立，则下列说法正确的是（ ） A. 专家随机抽取两幅作品，这两幅作品实际都是AI作品的概率为0.0025 B. 专家随机抽取一幅作品，该作品的判定结果与实际情况不一致的概率为0.2 C. 专家随机抽取一幅作品，该作品被判定为AI作品的概率为0.15 D. 若一幅作品被专家判定为AI作品，则该作品实际也是AI作品的概率为 11. 已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是的必要不充分条件 D. 的零点个数为3 三、填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最大值为_______． 13. 已知正四棱台的体积为28，其中，则三棱锥的体积为________． 14. 已知P为抛物线上任意一点，，，若存在实数k，点满足，则m的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某市文旅部门在电商平台推广当地的某种特产，并设置了该特产的客服热线，每月统计一次消费者投诉次数，得到下表所示的数据. 月份序号x 1 2 3 4 5 投诉次数y 120 100 80 70 55 （1）若关于的经验回归方程为，求； （2）从表中5个月份中任选3个，以表示所选月份中投诉次数小于100的月份个数，求的分布列与数学期望. 16. 已知数列的前n项和，等比数列满足，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 17. 如图，直四棱柱内接于圆柱，且底面为矩形，B是圆柱底面圆O的圆周上一动点，AC是圆O的直径，且，E是AB的中点，Q是的中点． （1）证明：平面； （2）设，求平面与平面ABC的夹角的正弦值.（用表示） 18. 已知双曲线的右焦点为F，左顶点为，离心率为2，过点F且斜率存在的直线l与E的右支交于P，Q两点（点P在第一象限），M是PQ的中点，O为坐标原点． （1）求E的方程； （2）证明：； （3）过点F且与l垂直的直线m交直线OM于点N，证明：的面积大于． 19. 已知函数，. （1）若，证明：. （2）若曲线与关于直线对称，关于x的方程恰有三个不等实根，，，其中. （ⅰ）求a的取值范围； （ii）证明：． 附：若，则当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $