重难点专题1.1 导数及其几何意义十种题型（高效培优专项训练）高二数学湘教版选择性必修第二册

重难点专题1.1 导数及其几何意义十种题型 题型一 求曲线切线的斜率（倾斜角） 题型二 根据图象比较导数（函数）值大小 题型三 求在曲线上一点处的切线方程 题型四 求过曲线上一点处的切线方程 题型五 曲线的切点坐标问题 题型六 已知切线（斜率）求参数 题型七 曲线的公切线问题 题型八：切线的平行、重合、垂直问题 题型九：导数几何意义应用于距离、面积问题 题型十：切线的条数问题 题型一 求曲线切线的斜率（倾斜角） 1．（25-26高二上·湖南郴州·期末）曲线在点处的切线倾斜角为（   ） A． B． C．或 D． 2．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东汕头·期末）函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 5．（25-26高二上·湖北武汉·期末）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二 根据图象比较导数（函数）值大小 7．（2026高二·全国·专题练习）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 8．（19-20高二上·辽宁盘锦·期末）已知函数在上的导函数为，且的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 题型三 求在曲线上一点处的切线方程 9．（25-26高二上·湖南长沙·月考）曲线 在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·全国·专题练习）曲线在点处的切线方程是 ；曲线在处的切线方程为 11．（25-26高二上·广东深圳·期末）设曲线． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若曲线在点处的切线与直线垂直．求的值． 题型四 求过曲线上一点处的切线方程 12．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程 . 14．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数，且经过点的直线与曲线相切，求的方程． 题型五 曲线的切点坐标问题 15．（25-26高二上·福建厦门·期末）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 16．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则的值为（   ） A． B． C．e D． 17．（25-26高三上·江苏扬州·月考）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 题型六 已知切线（斜率）求参数 18．（25-26高二上·河南郑州·期末）若直线与曲线相切，则n的值为（    ） A．ln2 B．ln2－3 C．－ln2 D．3－ln2 19．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为 . 20．（25-26高二上·福建福州·期末）已知曲线在处的切线方程为，则 ． 21．（26-27高二上·云南·期末）若直线是曲线（且）的一条切线，则 ． 题型七 曲线的公切线问题 22．（25-26高二上·吉林长春·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C．2 D．－2 23．（25-26高二上·广西贺州·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 24．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 25．（多选）（24-25高二下·甘肃张掖·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高三上·安徽·期中）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 27．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数 ． 28．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若曲线与曲线有公切线，则实数的最大值为 ． 29．（24-25高二下·云南·期中）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 题型八：切线的平行、重合、垂直问题 30．（25-26高二·全国·假期作业）若函数的图象上一点点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B．0 C． D． 31．（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知函数的图象在点和处的切线互相垂直，则（   ） A． B． C．0 D．1 32．（24-25高二下·上海黄浦·月考）函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围 是 （   ） A． B． C． D． 33．（多选）（2026高二·全国·专题练习）（多选）下列函数中，其图象在某点处的切线与直线平行的是（ ） （） A． B． C． D． 34．（25-26高二上·广东深圳·期末）若曲线在点处的切线与直线平行，则此切线的方程为 . 35．（25-26高三上·河南·月考）已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则 . 题型九：导数几何意义应用于距离、面积问题 36．（25-26高二上·安徽·期末）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．1 37．（多选）（25-26高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，设过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点，且抛物线在点，处的切线交于点，则（   ） A． B．直线，的斜率之积为 C． D． 38．（25-26高二上·广东惠州·期末）曲线上的点到直线的最短距离是 . 题型十：切线的条数问题 39．（26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高二上·福建厦门·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题1.1 导数及其几何意义十种题型 题型一 求曲线切线的斜率（倾斜角） 题型二 根据图象比较导数（函数）值大小 题型三 求在曲线上一点处的切线方程 题型四 求过曲线上一点处的切线方程 题型五 曲线的切点坐标问题 题型六 已知切线（斜率）求参数 题型七 曲线的公切线问题 题型八：切线的平行、重合、垂直问题 题型九：导数几何意义应用于距离、面积问题 题型十：切线的条数问题 题型一 求曲线切线的斜率（倾斜角） 1．（25-26高二上·湖南郴州·期末）曲线在点处的切线倾斜角为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】对进行求导得，再利用导数的几何意义求得切线的斜率，即可得到倾斜角. 【详解】由于，所以, 则曲线在点处的切线斜率为1，则倾斜角为, 故选：A 2．（25-26高二上·山西朔州·期末）已知点P在曲线上，设该曲线在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求导，得到导函数的范围，即切线斜率的范围，从而得到倾斜角的范围. 【详解】由题意得，即， 由倾斜角的范围，解得. 故选：D 3．（25-26高二上·江苏南通·期末）曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到倾斜角即可. 【详解】设，则， 设在处的切线的倾斜角为， 由导数的几何意义得， 而，可得，故C正确. 故选：C 4．（25-26高二上·广东汕头·期末）函数过点的切线斜率为（    ） A．1 B．9 C．0或9 D．或 【答案】C 【知识点】导数的运算法则、求过一点的切线方程 【分析】根据导数的几何意义，设切点为，再由切线方程为，把点代入计算得到切线方程即可． 【详解】设切点为， ，则切线方程为， 整理得， 又切线过点， 所以，即， 解得或， 所以切线方程为或，斜率为或． 故选：C． 5．（25-26高二上·湖北武汉·期末）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求导，结合基本不等式可得，即可根据求解. 【详解】， 由于，则，故， 故，由于，故， 故选：A 6．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求导，，结合基本不等式可得，再由导数的几何意义得到的范围即可． 【详解】解：由，得， ∵，∴，当且仅当，即时等号成立， 则，即，又， ∴的取值范围是． 故选：D． 题型二 根据图象比较导数（函数）值大小 7．（2026高二·全国·专题练习）函数的图象如下，是函数的导函数，下列大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、平均变化率 【分析】结合图象利用导数的几何意义以及割线斜率即可判断. 【详解】表示两点所在直线的斜率， 而分别表示在处的切线斜率， 由图可知，. 故选：B 8．（19-20高二上·辽宁盘锦·期末）已知函数在上的导函数为，且的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】利用导数的几何意义结合条件即得. 【详解】 分别作曲线在，和处切线， 设切线的斜率分别为，则， 又，，， . 故选：A. 题型三 求在曲线上一点处的切线方程 9．（25-26高二上·湖南长沙·月考）曲线 在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数的运算法则、基本初等函数的导数公式、求过一点的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先求出导函数，再得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程. 【详解】曲线 ，所以，在点处的切线方程的斜率为， 曲线 在点处的切线方程为，即得. 故选：C. 10．（2026高二·全国·专题练习）曲线在点处的切线方程是 ；曲线在处的切线方程为 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由，求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 故答案为：；. 11．（25-26高二上·广东深圳·期末）设曲线． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若曲线在点处的切线与直线垂直．求的值． 【答案】(1) (2)． 【知识点】已知直线垂直求参数、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用两直线垂直关系列式求解即可. 【详解】（1）若，则， 所以切线斜率， 故切线方程为即. （2）由可得， 所以在点处的切线斜率为， 又因为切线与直线垂直， 即可得，因此． 题型四 求过曲线上一点处的切线方程 12．（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数的运算法则、求过一点的切线方程 【分析】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数，进而确定切线方程. 【详解】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 13．（25-26高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数，请写出一条过点 且与的图象相切的直线方程 . 【答案】或（写出其中一条即可） 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程 【分析】设切点，利用导数求出切线斜率，得出切线方程，代入所过点坐标即可得解. 【详解】，设切点， 则切线方程为，即， 因为过点，所以， 解得或， 所以切线方程为或 故答案为：或（写出其中一条即可） 14．（25-26高二上·广东深圳·期末）已知函数， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数，且经过点的直线与曲线相切，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】求过一点的切线方程、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由导数的几何意义求出切点处的导数即可由点斜式求解； （2）先设切点为求出切点处的切线方程，代点求出切点即可求解切线方程. 【详解】（1）易知，所以切线斜率为 ∴函数在点处的切线方程为， 即； （2）由题，∴，设切点为， ∴切线方程为， 又切线过点，∴， 即，解得或， 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即， ∴的方程为，或． 题型五 曲线的切点坐标问题 15．（25-26高二上·福建厦门·期末）过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求过一点的切线方程、导数的加减法 【分析】设切点坐标为，则，利用导数求出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切点坐标. 【详解】设切点坐标为，则， 对函数求导得，切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得，解得，故切点坐标为. 故选：A. 16．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则的值为（   ） A． B． C．e D． 【答案】A 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】分别表示出，再根据在处的导数值和函数值分别相等可求结果. 【详解】因为， 所以， 因为在公共点处有相同的切线，则有， 即，所以. 故选：A. 17．（25-26高三上·江苏扬州·月考）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】分别计算函数和在点和点处的切线斜率，得到，再结合，化简即可求解. 【详解】对求导得：， 则在处切线斜率为，且 对于求导得：， 则在处切线斜率为，且 由题意可得：，即 又切线斜率， 可得：，即， 所以， 故选：A 题型六 已知切线（斜率）求参数 18．（25-26高二上·河南郑州·期末）若直线与曲线相切，则n的值为（    ） A．ln2 B．ln2－3 C．－ln2 D．3－ln2 【答案】D 【知识点】导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数 【分析】先利用导数的几何意义求出切点坐标，再将其代入切线方程中. 【详解】因为，所以， 令，解得或（舍）， 令，则， 将点代入中得. 故选：D 19．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期末）设函数，曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为 . 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】由导数的几何意义可得出，即可求得实数的值. 【详解】因为，所以， 直线的斜率为， 由题意可得，解得. 故答案为：. 20．（25-26高二上·福建福州·期末）已知曲线在处的切线方程为，则 ． 【答案】1 【知识点】基本初等函数的导数公式、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】利用切线过点求，求导，利用导数的几何意义求，进而合并求解． 【详解】点在切线上，即， ， 点处的切线为，则斜率为1，函数求导得， ， ． 故答案为：1． 21．（26-27高二上·云南·期末）若直线是曲线（且）的一条切线，则 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】设曲线，求导得，由切线方程得出，设，验证解的唯一性. 【详解】设切点坐标为，曲线， 求导得， 由题知， 显然，即， ，得， 即，则， 即，代入， 化简得，即，即 设，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又，故， 故． 故答案为：． 题型七 曲线的公切线问题 22．（25-26高二上·吉林长春·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C．2 D．－2 【答案】A 【知识点】简单复合函数的导数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，设曲线的切点可得，进而可根据得解. 【详解】由求导得，令得切线斜率， 故在点处的切线方程为，即， 由求导得， 设的切点为， 根据题意可得，即， 又，解得. 故选：A 23．（25-26高二上·广西贺州·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】简单复合函数的导数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设曲线上的切点为，曲线上的切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，从而得到方程组，求出、，即可得到切线方程，从而求出的值. 【详解】设曲线上的切点为， 曲线上的切点为， 由可得，则 ，所以切线方程为， 由可得，则， 所以，即，解得， 切线方程为，即，所以. 故选：C 24．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）两条直线的夹角指的是两条直线所形成的小于或等于的角.若曲线与曲线的两条公切线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、反函数的性质应用 【分析】根据反函数的对称性可分析出倾斜角更大的直线的斜率是，设出该公切线在，的切点，根据导数的几何意义，用两种方式表达出切线方程，然后根据两个方程的截距相等列出等式，进而求解. 【详解】 由题易知，曲线与曲线关于直线对称， 由两条切线的夹角是，根据对称性知曲线的切线的倾斜角为， 即切线的斜率为. 设直线与曲线的切点坐标为， ，所以， 直线的方程为，即， 设直线和的切点坐标是， ，所以， 直线的方程为，即， 于是， 即，即 由，两边取对数可得， 由，得到，两边取对数得， 分别把上述条件代回原等式，得到， 即， 整理可得. 故选：C 25．（多选）（24-25高二下·甘肃张掖·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，与曲线的切点坐标为，直线的方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程为， 直线为曲线与的公共切线，， 由①得，两边取自然对数，得，， 代入②，得，即，解得或， 当时，，，直线的方程为；当时，，，直线的方程为， 综上，直线的方程为或. 故选：AC. 26．（25-26高三上·安徽·期中）已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【知识点】导数的运算法则、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设直线与曲线的切点横坐标为，由导数的几何意义求得，得到切线方程，再设设直线与曲线的切点横坐标为，由导数的几何意义即可求解. 【详解】设直线与曲线的切点横坐标为， 由，得，解得 所以切点坐标为，代入直线方程得到. 设直线与曲线的切点横坐标为， 则， 且，联立得， 所以，即. 所以， 故答案为： 27．（25-26高三上·安徽合肥·月考）已知曲线和存在一条过坐标原点的公切线，则实数 ． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】先设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出两曲线在切点处的切线方程，再根据公切线过原点这一条件，联立切线方程求解切点坐标，进而求出实数的值. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，因为与曲线相切， 所以，消去，得，解得，所以， 设与曲线相切于点，由，得，即，解得， 因为是与曲线的公共点， 所以，消去，得，即，解得． 故答案为： 28．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若曲线与曲线有公切线，则实数的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得，整理得，利用导数研究函数的单调性求出得出结果即可. 【详解】令，则，令，则， 设在曲线上的切点为，则切线斜率为， 在曲线上的切点为，切线斜率为， 所以切线方程分别为、， 即、， 有，整理得， 设，则， 令，令， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 则在上，如图， 由图可知，即k的最大值为. 故答案为： 29．（24-25高二下·云南·期中）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点求出，利用公切线斜率相等求出表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解 【详解】由，得，， 故曲线在处的切线方程为； 由，得， 设切线与曲线相切的切点为，， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 故切线方程为，即 因两切线重合，则，解得． 故答案为：． 题型八：切线的平行、重合、垂直问题 30．（25-26高二·全国·假期作业）若函数的图象上一点点处的切线与直线垂直，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】根据导数求出切线斜率，再由直线的位置关系得出切线斜率，列方程求解即可. 【详解】，所以，即， 又在点处的切线与直线垂直， 所以，所以， 则． 故选：C 31．（25-26高二上·河南濮阳·期末）已知函数的图象在点和处的切线互相垂直，则（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求得，利用，即可求得结果. 【详解】因为 ，所以 ， 由题意有 ，即， 可得，即， 解得， 故选：B 32．（24-25高二下·上海黄浦·月考）函数 的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围 是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】由导函数几何意义和直线垂直的条件得方程一定有解，再由根的判别式和余弦函数的值域可得选项. 【详解】函数 ，则， 函数 的图象上存在两条相互垂直的切线， 不妨设在和处的切线互相垂直，则， 即， 则， 所以，， 又，所以或， 所以方程变为，即. 故选：B 33．（多选）（2026高二·全国·专题练习）（多选）下列函数中，其图象在某点处的切线与直线平行的是（ ） （） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的几何意义和常用函数的导数对选项一一分析即可. 【详解】对于A，由，可得，无解，所以A不符合题意； 对于B，由，可得，有解，所以B符合题意； 对于C，由，可得，有解，所以C符合题意； 对于D，由，可得，有解，所以D符合题意. 故选：BCD. 34．（25-26高二上·广东深圳·期末）若曲线在点处的切线与直线平行，则此切线的方程为 . 【答案】 【知识点】导数的加减法、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设点的坐标为，利用导数的几何意义可得出关于的等式，解出的值，可得出点的坐标，再利用斜截式方程可得出所求切线的方程. 【详解】设点的坐标为，对函数求导得， 所以曲线在点处的切线斜率为，由题意可得，解得， 故点的坐标为，故所求切线的方程为. 故答案为：. 35．（25-26高三上·河南·月考）已知曲线在处的切线与曲线在处的切线重合，则 . 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设，求导，结合两函数在处的切线重合，可得，求解即可. 【详解】设，得， 因为在处的切线重合， 则，解得，所以. 故答案为：. 题型九：导数几何意义应用于距离、面积问题 36．（25-26高二上·安徽·期末）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】基本初等函数的导数公式、求过一点的切线方程 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积. 【详解】函数，求导得，设切点为，则， 依题意，，解得，因此切点，切线斜率， 切线方程为，由得两直线交点，如图：    而切线与轴交于点，则， 所以所求三角形面积为. 故选：A 37．（多选）（25-26高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，设过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点，且抛物线在点，处的切线交于点，则（   ） A． B．直线，的斜率之积为 C． D． 【答案】ACD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求抛物线的切线方程、抛物线中的定值问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设，与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断AB；利用导数求出切线方程，联立求出，再计算即可判断C；利用两点间距离公式计算. 【详解】由题意得，，且直线的斜率存在，故可设， 联立，得， 则， 则，，故A正确； ，故B错误； 因为，所以， 则切线，即， 同理可得，， 联立，两式相减得， 两式相加得，则， 则 ， 则，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD 38．（25-26高二上·广东惠州·期末）曲线上的点到直线的最短距离是 . 【答案】 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、求点到直线的距离 【分析】将直线平移，当直线与相切时，切点到直线的最短距离，利用导数的几何意义求出切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】将直线平移， 当直线与相切时，切点到直线的最短距离，    设曲线在点处的切线与直线平行， 因为，则，解得， 所以，则切点坐标为， 切点到直线的距离， 即曲线上的点到直线的最短距离是， 故答案为： 题型十：切线的条数问题 39．（26-27高二上·重庆·期末）过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数研究函数的零点、求过一点的切线方程 【分析】设切点为，求出切线方程，代入点，得，将问题转化成函数与函数有两个不同的交点，求导判断函数的单调区间，作出其图象，结合题意即可求得参数的取值范围. 【详解】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为， 因切线经过点，则得，化简得，显然，则得， 又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点. 的定义域为，函数求导得， 则当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，，当时，，当时，，当时，. 作出函数的图象如下： 由图知，过作函数的切线恰好能作两条等价于或，解得或. 故选：D. 40．（25-26高二上·福建厦门·期末）若过可作曲线的三条切线，切点的横坐标分别为，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究方程的根、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、求过一点的切线方程 【分析】设出切点坐标，根据导数几何意义求出切线方程，由题意有三个不同的解，设，利用导数研究函数的单调性与极值并确定极值的取值范围，即可求解. 【详解】设切点坐标为，曲线的切线方程为， 代入，得  ，该方程有三个不同的解，，． 令，， 令，则或， 当和时，，当时，，知的增区间为，，减区间为， 所以函数在和处分别取得极大值和极小值，要想函数有三个不同零点， 则满足题意． 此时， 对比可得， 故选:． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $