1.1.1 函数的平均变化率课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

第1章 导数及其应用 1.1.1 函数的平均变化率 爬山能改善视力，增强心肺功能，锻炼四肢的协调能力，在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁．怎样用数学来刻画山坡的平缓与陡峭程度呢？ 如果山坡是平直的，我们可以用“坡度”来刻画山坡的陡峭程度． A B θ C 该动点在任何一个时间段[a，b]内的平均速度都等于0.5，是常数. 由此可见，该动点做匀速运动，且在任何时刻的速度都是0.5. 例1 设数轴上的动点P在任何时刻t的位置均可用函数f(t)=0.5t+1表示，求该点P在时间段[a，b] 内的平均速度v[a，b]. 所以点P在时间段 [a，b]内的平均速度为0.5. 它有怎样的几何意义呢? t y O y=0.5t+1 A B a b f(a) f(b) b-a f(b)-f(a) 图1.1-1 如果y=f(t)不是一次函数，则其图象不是直线而是曲线. 线段AB的斜率 仍然等于动点在时间段[a，b]内的平均速度. t y O y=f(t) A B a b f(a) f(b) b-a f(b)-f(a) 图1.1-2 解：物体在时间段[1，3]内的平均速度为 例2 某物体做自由落体运动，其运动方程为 ，其中t为下落的时间(单位：s)，g为重力加速度，大小为9.8 m/s2 . 求它在时间段[1，3]内的平均速度. x2－x1 y2－y1 _________(或 . ) 函数的平均变化率就是曲线的割线的斜率，这也是函数平均变化率的几何意义. 例3 已知函数f(x)=3x+2，g(x)=x2分别计算它们在区间[-2，-1]，[1，5]上的平均变化率. 解：函数f(x)=3x+2在[-2，-1]上的平均变化率为 函数f(x)=3x+2在[1，5]上的平均变化率为 例3 已知函数f(x)=3x+2，g(x)=x2分别计算它们在区间[-2，-1]，[1，5]上的平均变化率. 解：函数g(x)=x2在[-2，-1]上的平均变化率为 函数g(x)=x2在[1，5]上的平均变化率为 根据上述计算，你能总结计算平均变化率的步骤吗？这里算出的平均变化率有正有负，如何理解呢? 求平均变化率的主要步骤: (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1； 知识归纳 注意1：函数的平均变化率可正可负可为零，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快． 注意2： 例4 充满气的气球近似为球体. 在给气球充气时, 我们都知道,开始充气时气球膨胀较快, 随后膨胀速度逐渐缓慢下来，从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 解：气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是 若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么 当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了 气球的平均膨胀率为 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小 A C 4.已知函数f(x)＝2x2－4的图像上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为(　　) A．4　 B．4x　　 C．4.2　 D．4.02 C 　 B 割线 斜率 山坡陡 峭程度 平直 函数的 平均变化率 弯曲 坡度 以直 代曲 本节课我们是如何研究平均变化率的，谈谈你对平均变化率的理解. 1.函数的平均变化率可正可负可为零，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快． 坡面AB的坡度＝ eq \f(竖直高度,水平宽度)＝ eq \f(BC,AC) 解 由于v[a，b]＝ eq \f(f(b)－f(a), b－a) ＝ eq \f((0.5b＋1)－(0.5a＋1), b－a)＝0.5 画出例1中函数y=f(t)=0.5t+1的图象，如图1.1-1，则该图象是一条直线的一部分. 而平均速度v[a，b]＝ eq \f(f(b)－f(a), b－a)就是图象上两点A(a，f(a))，B(b，f(b))之间的线段AB的斜率，也是函数y=0.5t+1的图象(直线)的斜率. 函数的平均变化率 一般地，若函数y＝f(x)的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2， y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，则 (1)自变量的改变量Δx＝ ； (2)因变量的改变量Δy＝ (或Δf＝f(x2)－f(x1))； (3)f（x）在[x1，x2]上的平均变化率为 拓展：函数平均变化率的几何意义 如图所示，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，事实上kAB＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq \f(Δy,Δx). 在平均变化率中，Δx可正可负但Δx不可以为0；Δy可以为0；eq \f(Δy,Δx)可以为0. 当eq \f(Δy,Δx)＝0时，并不能说明函数在该区间上一定为常函数，如f(x)＝x2在区间[－2,2]上的平均变化率是0，但它不是常函数． 1．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是(　　) A.eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(st＋Δt－st,Δt) B.eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(sΔt,Δt) C. eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(st,t) D.eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(st＋Δt－sΔt,Δt) 解析：由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比． 所以eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(Δs,Δt)＝eq \f(st＋Δt－st,Δt). 2．如果函数y＝ax＋b在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a＝(　　) A．－3 B．2 C．3 D．－2 解析：根据平均变化率的定义，可知eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(2a＋b－a＋b,2－1)＝a＝3. 解析：Δy＝eq \f(2,1.5)－eq \f(2,2)＝eq \f(1,3). 3．已知函数y＝eq \f(2,x)，当x由2变为1.5时，函数的增量Δy＝(　　) A．1 B.eq \f(1,3) C．2 D.eq \f(3,2) B 解析：eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(f1.1－f1,1.1－1)＝eq \f(2×1.12－2×1,0.1)＝4.2 5．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实数m的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．6 解析：由已知，得eq \f(s3－s2,3－2)＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26， 解得m＝1，选B. 6.巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地 有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受， 下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较 轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学 语言来量化AB段、BC段曲线的陡峭程度吗？ 解析：山路从A到B高度的平均变化率为kAB＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(10－0,50－0)＝eq \f(1,5)，山路从B到C高度的平均变化率为kBC＝eq \f(Δy,Δx)＝eq \f(20－10,70－50)＝eq \f(1,2)，∴kBC>kAB，∴山路从B到C比从A到B陡峭． 2．函数平均变化率的几何意义和物理意义． (1)几何意义：平均变化率表示函数y＝f(x)图像上割线P1P2的斜率，若P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))，则kP1P2＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＝eq \f(fx1＋Δx－fx1,Δx)； (2)物理意义：把位移s看成时间t的函数，平均变化率表示s＝s(t)在时间段[t1，t2]上的平均速度，即eq \o(v,\s\up6(－))＝eq \f(st2－st1,t2－t1). $