精品解析：河北省衡水市桃城区2025-2026学年高二上学期暑假开学考试数学试卷

高二暑假开学考试 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：假期作业． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. 20 B. C. D. 25 2 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 设，则（ ） A. B. C D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. 8 D. 5. 在直三棱柱中，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 7. 不透明口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（ ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片都为绿色． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图所示，表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8，则该系统的可靠性（3个开关只要一个开关正常工作即可靠）为（ ） A. 0.504 B. 0.994 C. 0.996 D. 0.964 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题不正确的是（ ） A 过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直 B. 过平面外一点有无数个平面与这个平面平行 C. 过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直 D. 过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行 10. 已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 11. 三棱锥中，已知平面，垂足为，连接，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的外心 B. 若，则为的垂心 C. 若，则为的重心 D. 若，则为的内心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，17，15，11，16，17，18，16，15，13，则众数为__________． 13. 若一个圆台的上、下底面圆的半径分别为3和8．母线长为13，则该圆台的体积为__________． 14. 有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），其底面半径为8cm，高度为120cm，现往里面装半径为4cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装________个球．（附：，，） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）若，求值． 16. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别为的中点，且． （1）证明：平面． （2）求点到平面的距离． 17. 已知函数的最小正周期为π. （1）求的单调递减区间； （2）将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象关于原点对称，求的值； （3）若，求的值域. 18. 某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组（，，，，），其中第二组的频数是第五组的频数的8倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题． （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰的学生，仅留的学生进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：．已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． （3）从样本数据在，，这三个组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的2人来自不同组的概率． 19. 如图1，在中，，，的垂直平分线与，分别交于点，，且，沿将折起至的位置，得到四棱锥，如图2. （1）设. ①证明：. ②已知，是否存在实数，使得平面？若存在，请求出；若不存在，请说明理由. （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二暑假开学考试 数 学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：假期作业． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. 20 B. C. D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数虚部的含义可得答案. 【详解】的虚部是20. 故选：A 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再由数量积的公式求解． 【详解】， 由，得， 即，解得． 故选：C 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性与0及1比较即可得出大小关系． 【详解】，，所以， 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求得，化为二次齐次式，再化为的代数式，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 5. 在直三棱柱中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，利用空间向量的线性运算即可表示出. 【详解】如图所示： ， 故选：B 6. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】将根式表示为分数指数幂，得，利用基本不等式求的最小值. 【详解】，所以， 因为a，b为正数， 所以， 当且仅当时，即，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 7. 不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（ ） ①2张卡片都不红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片都为绿色． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐一判断即可得解. 【详解】6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”、“2张都为绿色”、“2张都为蓝色”、“1张为红色1张为绿色”、“1张为红色1张为蓝色”、“1张为绿色1张为蓝色”. 给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件有:“2张都不是红色”,“2张恰有一张红色”,“2张都为绿色”. 而事件“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”,二者并非互斥．所以符合题意的事件为①②④，一共3个. 故选：C. 8. 如图所示，表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.8，则该系统的可靠性（3个开关只要一个开关正常工作即可靠）为（ ） A. 0.504 B. 0.994 C. 0.996 D. 0.964 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意可知，当三个开关都不正常工作时，系统不可靠，再根据对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式即可求出． 【详解】由题意知，所求概率为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式和相互独立事件同时发生的概率公式的应用，属于容易题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直 B. 过平面外一点有无数个平面与这个平面平行 C. 过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直 D. 过平面外一点有且只有一条直线与这个平面平行 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面位置关系逐一验证． 【详解】过平面外一点仅有一条直线与这个平面垂直，所以A错误； 过平面外一点仅有一个平面与这个平面平行，所以B错误； 过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直，所以C正确； 过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，所以D错误． 故选：ABD. 10. 已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由偶函数及在上是减函数，即可判断各项的正误. 【详解】为偶函数，且在上是减函数， 有，即，选项A正确； 有，即，选项B错误； 有，选项C错误； 有，选项D正确； 故选：AD 11. 三棱锥中，已知平面，垂足为，连接，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为的外心 B. 若，则为的垂心 C. 若，则为的重心 D. 若，则为的内心 【答案】AB 【解析】 【分析】由可判断A和C；由数量积运算可得B和D条件相同，进而可判断B和D. 【详解】对于选项A：若，则为的外心， 故A正确； 对于选项B：由得，即， 所以，又，且，所以平面，从而； 同理可得，所以为的垂心，故B正确； 对于选项C：因为平面，则由得， 所以为的外心，故C错误； 对于选项D：由，，且，所以平面， 从而，又，且，所以平面，从而； 同理可得，所以为的垂心，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知10名工人生产同一零件，生产的件数分别是16，17，15，11，16，17，18，16，15，13，则众数为__________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据众数的定义，一组数中出现次数最多的数值叫做众数，即可得解. 【详解】根据题意，出现次数最多的数为16，所以众数为16. 故答案为：16. 13. 若一个圆台的上、下底面圆的半径分别为3和8．母线长为13，则该圆台的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆台的高，再由圆台的体积公式求解即可． 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为3和8，母线为13， 所以圆台的高为：， 由圆台的体积公式， 求得圆台体积为：． 故答案为： 14. 有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），其底面半径为8cm，高度为120cm，现往里面装半径为4cm的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装________个球．（附：，，） 【答案】40 【解析】 【分析】首先要分析出相邻两层球之间的空间关系，再从两层球推导到装n层球时，求出最上层球面上的点与桶底最远的关于n的距离表达式，最后通过与铁皮桶的高度相比即可得到正确答案． 【详解】圆柱状铁皮桶底面半径为8cm，装半径为4cm的球时，一层最多装两个球， 若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻两层的4个球两两相切，如图所示， 这样相邻的4个球球心的连线构成棱长为8cm的正四面体DBEG，其中设D、B为下层球心，E、G为上层球心， 则， 图中将正四面体放置在正方体中，则正方形的边长为， 所以正四面体相对棱间的距离，也即图中EG和DB间的距离为，每装2个球称为“一层”， 这样装n层球，则最上层球面上的点距离桶底最远为， 若想要盖上盖子，则需要满足，解得， 所以最多可以装20“层”球，即最多可以装40个球． 故答案为：40． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式对已知等式进行化简可得，又 ，即可得解． （2）利用平面向量数量积的运算可得，进而由余弦定理即可求解． 【小问1详解】 由已知， 所以， 所以， 因为，所以． 因为，所以． 【小问2详解】 由已知可得，所以． 因为， 所以，所以． 16. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别为的中点，且． （1）证明：平面． （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过取的中点，构造辅助线，利用中位线和平行线的传递性，结合面面平行的判定定理证明面面平行，进而得到线面平行． （2）取中点，将点到平面的距离转化为点到直线的距离，点到直线的距离即为点到平面的距离，利用线面垂直的性质和三角形面积公式进行计算． 【小问1详解】 证明：取的中点，连接，如图所示． 因为分别为的中点，所以． 因为四边形是正方形，所以，所以． 因为在平面外，平面， 所以平面，平面． 因为都在平面内且相交，所以平面平面． 因为平面，所以平面． 【小问2详解】 取的中点，连接，如图所示． 因为分别为的中点，所以， 所以平面即为平面． 因为平面，平面，所以． 因为四边形为正方形，所以． 因为，所以平面， 所以点到直线的距离即为点到平面的距离． 因为，且平面，， 所以四边形矩形，所以， 所以点到直线的距离为． 因为为的中点，所以点到平面的距离为． 17. 已知函数的最小正周期为π. （1）求的单调递减区间； （2）将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象关于原点对称，求的值； （3）若，求的值域. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦型函数的周期性求得，再利用余弦型函数的单调性求解即可； （2）根据函数图象的变换得到新函数，利用余弦型函数的性质求解即可； （3）根据题意，逐步计算求余弦型函数的值域. 【小问1详解】 由，得，所以. 令，，解得，， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的图象. 因为的图象关于原点对称，所以，，即，. 因为，所以. 【小问3详解】 由，得. 则，所以. 所以的值域为. 18. 某校举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，高一年级学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分成五组（，，，，），其中第二组的频数是第五组的频数的8倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题． （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰的学生，仅留的学生进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （2）李老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：．已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84这2个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． （3）从样本数据在，，这三个组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的2人来自不同组的概率． 【答案】（1）分合理 （2）平均数90，方差2225． （3） 【解析】 【分析】（1）利用百分位数的定义求解； （2）利用平均数和方差的定义求解； （3）利用古典概型的概率公式求解． 【小问1详解】 由题意知，第二组的频数是第五组的频数的8倍，所以， 又，所以． 因为成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 所以第90百分位数在内． 设第90百分位数为，则，解得， 所以晋级分数线划为分合理． 【小问2详解】 因为，所以， 所以，所以． 剔除其中的96和84这2个分数，设剩余8个分数为， 平均数与标准差分别为， 则剩余8个分数的平均数， 方差． 【小问3详解】 由图可知，按分层抽样法，这三组应分别抽取4人，2人，1人，分别记为． 所有的抽样情况 ，共21个样本点，“选出的2人来自于不同组”，则 ，共14个样本点， 所以． 19. 如图1，在中，，，的垂直平分线与，分别交于点，，且，沿将折起至的位置，得到四棱锥，如图2. （1）设. ①证明：. ②已知，是否存在实数，使得平面？若存在，请求出；若不存在，请说明理由. （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值. 【答案】（1）①证明见解析；②存在， （2）. 【解析】 【分析】（1）①用正弦定理求得各边长度，再用勾股定理逆定理判定垂直；②构造平行四边形，进而求得；（2）构造出二面角的平面角，再通过解三角形求解角的余弦值 【小问1详解】 ①证明：如图，在中，记的中点为，连接. 由题意，是的中位线， 因为，，所以，， 在中，由正弦定理得， 即，解得. 因为，且，所以. 因为是的垂直平分线，所以是等腰直角三角形，所以. 在翻折后，，. 因，有，所以是等腰直角三角形. 故，，与相交于，且平面，所以平面. 因为平面，平面，所以. ②解：由①知在四棱锥中，，，两两垂直， 延长至点Q，使得，则. 延长至点P，使得，则. 因为，，所以， 不在平面内，平面， 所以平面， 因为，，所以， 不在平面内，平面， 所以平面， 因为与相交于，且平面， 所以平面平面. 因为平面，所以平面. 此时，即. 【小问2详解】 过作于，过作，交于，连接. 则即为二面角的平面角. 因为，，与相交于，且平面.所以平面.又因为平面，所以平面平面. 所以是直线在平面的投影，故即为与平面所成角，所以. 因为，所以. 因为，，且为的中点，所以. 因，，故. 在中，，，， 所以，. 在中，，，，所以. 在中，，，， 由余弦定理得， 即二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $