专题07整式的乘除同步讲义（2）(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年浙教版七年级数学下册

专题07整式的乘除同步讲义（2） 【题型01 多项式乘多项式计算】....................................2 【题型02 (x+p)(x+q)型乘法】........................................3 【题型03 已知多项式乘积不含某项求字母的值】.......................5 【题型04 多项式乘法化简求值】.....................................7 【题型05 多项式乘多项式与图形面积】...............................9 【题型06 多项式乘法规律探究】....................................11 【题型07 整式乘法混合运算】......................................14 【题型08 平方差公式运算】........................................16 【题型09 平方差公式与几何图形】..................................17 【题型10 完全平方公式运算】......................................19 【题型11 完全平方公式在几何图形中的应用】........................21 【题型12 求完全平方式中的字母系数】..............................23 【 解答题5题】...................................................25 ★知识梳理★ 知识点01:多项式的乘法 1. 单项式 × 多项式 m(a+b+c)=ma+mb+mc 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 多项式 × 多项式 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 法则：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所有积相加。 口诀：逐项相乘，再相加，不重不漏。 知识点02:乘法公式（重点必考） 1. 平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 结构：相同项 ² − 相反项 ² 2. 完全平方公式 和的完全平方 (a+b)2=a2+2ab+b2 差的完全平方 (a−b)2=a2−2ab+b2 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看前方。 知识点03:高频易错点 1.多项式相乘时别漏项，别少乘。 2.去括号时注意符号：负号乘进去每一项都变号。 3.完全平方是三项，千万别写成 a2+b2。 4.平方差是两项，别中间多出 2ab。 【题型1.多项式乘多项式计算】 【典例】计算：__________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握多项式乘多项式、合并同类项是解题关键． 根据多项式乘以多项式法则、合并同类项法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】若等式成立，m，n，p为常数，则的值为（　 　） A．22 B．14 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据多项式与多项式的乘法法则把左边化简，并比较等式两边对应项的系数，求出m、n、p的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键，利用多项式乘以多项式法则计算，由结果不含的一次项确定出的值即可． 【详解】解：由题意得，， 由结果中不含的一次项，得到， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式求值，熟练掌握乘法运算法则和整体代入思想是解题的关键，将给定方程展开并变形，得到的值，然后代入代数式求值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴. ∴. 故选：C 【题型2.(x+p)(x+q)型乘法】 【典例】若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出与的值，再代入计算即可求解．本题应用了一一对应思想． 【详解】解：， 可得， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 【答案】C 【详解】解：∵ ∴， 【跟踪专练2】若，则_____． 【答案】3 【分析】本题考查多项式乘多项式，展开等式左边建立关于m，n的方程组是求解本题的关键．将等式左边展开，建立关于m，n的方程，然后解方程求得m、n即可解答． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练3】若，则的值是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代入消元法，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先根据多项式乘以多项式法则，得到关于，的方程组求解，再将方程组的解代入代数式求值． 【详解】解：， 又， 所以， 解得：， 所以， 故选：D． 【题型3.已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例】若使式子中不含项，则的值为______． 【答案】 【分析】先合并同类项可得，再利用不含项，可得，从而可得答案． 【详解】解： ， ∵式子中不含项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是多项式不含某项的知识点，掌握“多项式不含某项，则合并同类项后某项的系数为0”是解本题的关键． 【跟踪专练1】若关于的多项式乘积不含的二次项，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式中的无关型问题，展开多项式乘积，合并同类项后，令项的系数为零，求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由 ， 又∵乘积不含的二次项， ∴， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为___________ 【答案】 【分析】由题意列式为，利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，再根据积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为求得，的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：， 代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 【跟踪专练3】使的积中不含和的p，q的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式中不含某项的条件；先按多项式乘以多项式法则运算得，再由多项式中不含某项的条件即可求解，理解多项式中不含某一项的条件就是使得这一项的系数为零是解题的关键． 【详解】解： 不含和， ， 解得：， 故选：C． 【题型4.多项式乘法化简求值】 【典例】已知，，则_____． 【答案】1 【分析】根据多项式乘以多项式的法则将原式展开，然后条件即可求出原式的值． 【详解】解：当m+n=2，mn=-2， (3−m)(3−n)=9+mn-3（m+n） =9-2-6 =1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． 【跟踪专练1】若且，则式子的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式化简求值，先将式子 展开，再把已知条件代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴原式， 故选：． 【跟踪专练2】当时，代数式的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的整体代入求值，先把要求的式子变成已知式子的形式，再整体代入求出答案即可； 【详解】解： ， ， ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为： 【跟踪专练3】当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式的乘法，求代数式的值．解题的关键是掌握多项式的乘法运算法则，将展开再合并，然后将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴的值是． 故选：B． 【题型5.多项式乘多项式与图形面积】 【典例】如图，图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】根据题意和图形，可以用代数式表示出图中阴影部分的面积，即可得出结果． 【详解】解：图中阴影部分的面积是： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，找到大长方形的长宽和空白部分的长宽是解此题的关键． 【跟踪专练1】有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是关键．根据多项式乘多项式法则求出拼成的长方形的面积，从而可得所用的B类卡片的总面积，由此即可得解． 【详解】解：∵拼成的长方形的长为：、宽为：， ∴长方形的面积为： ， ∴需要B类卡片的张数为（张）． 故选：C． 【跟踪专练2】兴化莲溪湖公园拟采用长方形瓷砖辅装农产品展馆地面，瓷砖长为，宽为，每块瓷砖的面积为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，二元一次方程组的解法；由题意可得，可得，再解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为： 【跟踪专练3】如图，长方形中的阴影部分是两个边长分别为a，的正方形，若空白部分的面积与阴影部分的面积相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是整式的乘法运算与图形面积，含参数的一元一次方程的解法，根据空白部分的面积与阴影部分的面积相等，列方程解答即可； 【详解】解：∵空白部分的面积与阴影部分的面积相等， ∴， ∴， ∴； 故选B 【题型6.多项式乘法规律探究】 【典例】我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） 1…………………………………………1 …………………………………1         1 ………………………1       2        1 ………………1     3          3       1 ……1     4        6        4       1 A．15 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二项和的乘方的展开，运用杨辉三角来确定展开式中各项系数是解决本题的关键．根据上面规律，先找出的展开式中各项系数，再确定展开后的各项系数，即可确定展开后的各项系数，从而得出答案． 【详解】解：根据上面的规律，得，各项系数为：1，5，10，10，5，1 展开后的各项系数为：1，6，15，20，15，6，1， 展开后的各项系数为：1，，15，，15，，1． 含项的是奇数次方， 含项的系数是． 故选：B． 【跟踪专练1】我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，这个图形揭示了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出的展开式中含项的系数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题．关键是找到规律；由杨辉三角归纳的项数与所有项的系数规律，即可求解． 【详解】解：由题意得， 共项，所有项按字母的降幂排列系数为； 共项，所有项按字母的降幂排列系数为； 共项，所有项按字母的降幂排列系数为；……； 共项，所有项按字母的降幂排列系数为， 其中是第二项系数为， 故答案为：． 【跟踪专练2】我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如右图所示的三角形解释二项和的乘方规律，我们称之为“杨辉三角”．仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出展开式所缺的系数（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了乘方及数字变化规律，通过观察、分析、归纳发现其规律，解题的关键是能够发现其中的规律．根据图形中的规律，即可求出的各项系数 【详解】解：∵ ∴， 故选：C． 【跟踪专练3】观察下列各式： … 根据上面各式的规律，写出的各项的系数和为_______． 【答案】256 【分析】本题考查二项式展开式的系数和规律问题．通过观察已知展开式的系数和，归纳出一般规律，再代入计算即可． 【详解】解：观察已知展开式可得， 的各项系数和为， 的各项系数和为， 的各项系数和为， 的各项系数和为， 归纳可得规律：的各项系数和为， 当时，， 故答案为：256． 【题型7.整式乘法混合运算】 【典例】若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为________． 【答案】 【分析】根据题目给出的算法计算即可． 【详解】解：由题意得， =， = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算和整式运算，解题关键是准确理解题意，得出正确的整式运算算式，熟练进行计算． 【跟踪专练1】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形．剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出矩形的长和宽，根据面积公式，即可求解， 本题考查了列代数式，整式的乘法，解题的关键是：列出长方形的长和宽． 【详解】解：由题意得：矩形的长为：，矩形的宽为：，则矩形的面积为：， 故选：D． 【跟踪专练2】要使多项式化简后不含x的二次项，则m的值是______． 【答案】4 【分析】此题考查了多项式不含项问题，单项式乘以多项式，整式的混合运算，根据整式混合运算法则先化简整式，根据多项式化简后不含x的二次项，得，求出m的值，正确掌握整式的混合运算法则是解题的关键 【详解】解： ∵多项式化简后不含x的二次项， ∴， 解得， 故答案为4 【跟踪专练3】等式 中的括号内应填入（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用整式的乘法运算法则、乘除法互为逆运算及幂的运算法则求解． 【详解】由原式，得 ∴括号中式子应为． 故选C． 【点睛】本题主要考查整式的乘法运算、乘除法互为逆运算、幂的运算法则等知识；能够运算乘、除法互为逆运算的性质，对原等式进行变形是解题关键． 【题型8.平方差公式运算】 【典例】计算的结果等于______． 【答案】 / 【分析】利用平方差公式计算即可；本题考查平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，，则计算的结果为（   ）． A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，利用平方差公式进行化简是解题的关键． 首先利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】小明将展开后得到 ，小亮将展开后得到 若两人计算过程无误，则的值为___________． 【答案】4047 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式． 根据完全平方公式将两式展开后得到、的值，进而根据平方差公式计算即可． 【详解】解：，即， ，即， ∴． 故答案为：4047． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了运用平方差公式和完全平方公式进行计算，根据平方差公式和完全平方公式对各选项逐一计算判断即可，熟练掌握运用平方差公式和完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【题型9.平方差公式与几何图形】 【典例】已知正方形的边长为a，如果它的边长增加8，那么它的面积增加 _____． 【答案】16a+64/64+16a 【分析】根据正方形的面积公式得到面积的增加值为，然后利用平方差公式计算． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景：运用平方差公式计算两正方形的面积差．解题关键是熟记平方差公式． 【跟踪专练1】从边长为的大正方形纸板的右下角剪去一个边长为的小正方形后，将其裁剪成两个完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个长方形（如图2），那么通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的等式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积，熟练掌握平方差公式是解题关键．图1中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，即为，图2中阴影部分的面积等于长为、宽为的长方形的面积，即为，由此即可得． 【详解】解：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 因为图1中和图2中阴影部分的面积相等， 所以可以验证的等式是， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，从边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形．剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，可以拼成一个长方形（如图所示），则该长方形的面积可表示为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了图形变换，掌握变换前后阴影部分面积不变是关键． 根据图形变换（拼图法），阴影部分的面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即可求出答案． 【详解】解：左边阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积，即，右边变换后的图形面积不变，即为， 故答案为：. 【跟踪专练3】从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分是由四个相同的等腰梯形拼成的平行四边形，根据平行四边形面积公式：平行四边形面积=底高，观察图形可知，该平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，即，高为大正方形边长与小正方形边长之差，即，得阴影部分的面积为， ∵甲乙两图中阴影部分的面积相等， ∴， ∴可以验证成立的公式为． 故选：C． 【题型10.完全平方公式运算】 【典例】若，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．将题中等式变形为，利用完全平方公式进行运算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 【跟踪专练2】已知多项式．若，则A的值为________． 【答案】2 【分析】本题考查了整式的混合运算、完全平方公式的运用，利用整体代入的方法进行求值是解题的关键． 先根据完全平方公式化简多项式 ，合并同类项后，利用已知条件 ，整体代入求值． 【详解】解： ∵ ∴ 故答案为：2． 【跟踪专练3】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． 先由平方差公式进行两次计算，再由完全平方公式计算． 【详解】解： ， 故选：B． 【题型11.完全平方公式在几何图形中的应用】 【典例】如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式：______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，利用数形结合的思想是解题关键．根据大正方形的面积=较大正方形的面积+小正方形的面积+2个长方形的面积解答即可． 【详解】解：由图可知大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为． 又∵大正方形的面积=较大正方形的面积+小正方形的面积+2个长方形的面积， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个无缝小长方形，则该长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，掌握完全平方公式是解题的关键． 根据长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，进行计算即可． 【详解】解：由图可知，长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积， ∴长方形的面积为 ． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为______． 【答案】72 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 列代数式表示休闲区的面积与两个喷泉区的面积，由题意得，再根据完全平方公式求出的值，即可求解绿地的面积． 【详解】解：由题意得， 休闲区的面积为， 两个喷泉区的面积为， ， ， ． ， ， ， 绿地的面积为． 故答案为72． 【跟踪专练3】现有边长如图所示的甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张，小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式的特点是解此题的关键，完全平方式有和两个． 先分别求出甲、乙、丙纸片的面积，再根据完全平方式求出答案即可． 【详解】解：取甲纸片1张，取乙纸片4张， 面积为， 小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，丙纸片的面积为， 还需4张丙纸片，即， 故选：A． 【题型12.求完全平方式中的字母系数】 【典例】若是一个完全平方式，那么m的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方式，根据完全平方式的特点进行求解即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式．根据完全平方公式，表达式应为的形式，比较系数进行列式求解，即可作答． 【详解】解：∵是某个整式的平方的展开式， ∴， ∴， ∴， ∴或 解得m的值为4或， 故选：C． 【跟踪专练2】若二次三项式是一个完全平方式，则m的值是_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了完全平方式．熟练掌握完全平方公式的特征一次顶系数一半的平方等于常数项，平方数的特征．是此题解题的关键． 先根据一次顶系数一半的平方等于，再根据平方数求解m即可． 【详解】∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练3】小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ∴， 故选D． 【解答题】 1．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先进行积的乘方运算，再用单项式乘以单项式计算即可 （2）用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，最后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，最后合并同类项 【详解】（1）解：      ； （2）解： ； （3）解： ． 2．定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________； (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）先计算出，则，，即可得到，由此即可得到结论； （2）先计算出，再根据题意得到，则，即可求出； （3）先求出当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意；当时， 则，即可得到，则，综上所述，或． 【详解】（1）解：B是A的“好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴B是A的“好多项式”； 故答案为：是． （2）解：∵，， ∴ ， ∵，B是A的“极好多项式”， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）解：∵，， ∴ ， 当时，则，，此时B是A的“极好多项式”，符合题意； 当时，， ∵B是A的“极好多项式”， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 3．先化简，再求值：，其中． 【答案】，－7 【分析】此题考查整式的混合运算和化简求值，注意利用整式的乘法计算方法计算．直接利用整式的乘法计算，进一步合并同类项，再代入求得数值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 4．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ． 5．在多项式的乘法公式中，完全平方公式是其中重要的一个． (1)请你补全完全平方公式的推导过程： ____________________________________； (2)如图，将边长为的正方形分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分．请结合图形给出完全平方公式的几何解释． 【答案】(1)，，； (2)见解析． 【分析】（1）依据多项式乘多项式法则，即可得到结果； （2）依据边长为的正方形分割成四部分，即可得到完全平方公式的几何解释． 【详解】（1）解：． 故答案为：,,； （2）解：边长为的正方形的面积，等于边长分别为和的两个小正方形的面积，再加上两个长为，宽为的长方形的面积的和． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，解决本题的关键是通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07整式的乘除同步讲义（2） 【题型01 多项式乘多项式计算】....................................2 【题型02 (x+p)(x+q)型乘法】.........................................2 【题型03 已知多项式乘积不含某项求字母的值】.......................2 【题型04 多项式乘法化简求值】.....................................3 【题型05 多项式乘多项式与图形面积】...............................3 【题型06 多项式乘法规律探究】.....................................4 【题型07 整式乘法混合运算】.......................................5 【题型08 平方差公式运算】.........................................6 【题型09 平方差公式与几何图形】...................................6 【题型10 完全平方公式运算】.......................................7 【题型11 完全平方公式在几何图形中的应用】.........................7 【题型12 求完全平方式中的字母系数】...............................8 【 解答题5题】....................................................9 ★知识梳理★ 知识点01:多项式的乘法 1. 单项式 × 多项式 m(a+b+c)=ma+mb+mc 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 多项式 × 多项式 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 法则：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所有积相加。 口诀：逐项相乘，再相加，不重不漏。 知识点02:乘法公式（重点必考） 1. 平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 2. 完全平方公式 和的完全平方 (a+b)2=a2+2ab+b2 差的完全平方 (a−b)2=a2−2ab+b2 知识点03:高频易错点 1.多项式相乘时别漏项，别少乘。 2.去括号时注意符号：负号乘进去每一项都变号。 3.完全平方是三项，千万别写成 a2+b2。 4.平方差是两项，别中间多出 2ab。 【题型1.多项式乘多项式计算】 【典例】计算：__________． 【跟踪专练1】若等式成立，m，n，p为常数，则的值为（　 　） A．22 B．14 C． D． 【跟踪专练2】若与的乘积中不含x的一次项，则m的值为______． 【跟踪专练3】已知，则代数式的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【题型2.(x+p)(x+q)型乘法】 【典例】若，则________． 【跟踪专练1】若，则p、q的值是（   ） A．3，10 B．10，3 C．， D．3， 【跟踪专练2】若，则_____． 【跟踪专练3】若，则的值是（   ） A．7 B． C． D． 【题型3.已知多项式乘积不含某项求字母的值】 【典例】若使式子中不含项，则的值为______． 【跟踪专练1】若关于的多项式乘积不含的二次项，则的值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为___________ 【跟踪专练3】使的积中不含和的p，q的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型4.多项式乘法化简求值】 【典例】已知，，则_____． 【跟踪专练1】若且，则式子的值等于（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】当时，代数式的值为________． 【跟踪专练3】当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【题型5.多项式乘多项式与图形面积】 【典例】如图，图中阴影部分的面积是________． 【跟踪专练1】有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为、宽为的长方形，需要B类卡片（　　） A．5张 B．6张 C．7张 D．8张 【跟踪专练2】兴化莲溪湖公园拟采用长方形瓷砖辅装农产品展馆地面，瓷砖长为，宽为，每块瓷砖的面积为，则的值为______． 【跟踪专练3】如图，长方形中的阴影部分是两个边长分别为a，的正方形，若空白部分的面积与阴影部分的面积相等，则（    ） A． B． C． D． 【题型6.多项式乘法规律探究】 【典例】我国宋代数学家杨辉所著《详解九章算法》中记载了用如图所示的三角形解释了二项和的乘方展开式中的系数规律，我们把这种数字三角形叫做“杨辉三角”，请你利用杨辉三角，计算的展开式中，含项的系数是（    ） 1…………………………………………1 …………………………………1         1 ………………………1       2        1 ………………1     3          3       1 ……1     4        6        4       1 A．15 B． C．6 D． 【跟踪专练1】我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，这个图形揭示了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）： 请依据上述规律，写出的展开式中含项的系数是___________． 【跟踪专练2】我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如右图所示的三角形解释二项和的乘方规律，我们称之为“杨辉三角”．仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出展开式所缺的系数（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【跟踪专练3】观察下列各式： … 根据上面各式的规律，写出的各项的系数和为_______． 【题型7.整式乘法混合运算】 【典例】若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为________． 【跟踪专练1】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形．剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】要使多项式化简后不含x的二次项，则m的值是______． 【跟踪专练3】等式 中的括号内应填入（    ） A． B． C． D． 【题型8.平方差公式运算】 【典例】计算的结果等于______． 【跟踪专练1】已知，，则计算的结果为（   ）． A． B．1 C．5 D．6 【跟踪专练2】小明将展开后得到 ，小亮将展开后得到 若两人计算过程无误，则的值为___________． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型9.平方差公式与几何图形】 【典例】已知正方形的边长为a，如果它的边长增加8，那么它的面积增加 _____． 【跟踪专练1】从边长为的大正方形纸板的右下角剪去一个边长为的小正方形后，将其裁剪成两个完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个长方形（如图2），那么通过计算图1和图2中阴影部分的面积，可以验证的等式是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，从边长为的大正方形中，剪去一个边长为的小正方形．剩余部分（阴影部分）沿虚线剪开，可以拼成一个长方形（如图所示），则该长方形的面积可表示为_____ ． 【跟踪专练3】从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【题型10.完全平方公式运算】 【典例】若，则_________． 【跟踪专练1】若，则代数式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知多项式．若，则A的值为________． 【跟踪专练3】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【题型11.完全平方公式在几何图形中的应用】 【典例】如图中的四边形均为长方形或正方形，根据图形的面积关系，写出一个等式：______． 【跟踪专练1】如图，从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个无缝小长方形，则该长方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，某街心公园有一块长为，宽为的长方形绿地，绿地的北侧是一个长为，宽为的长方形休闲区，绿地的东、西两侧各有一个边长为的正方形喷泉区．已知休闲区的宽与绿地的宽的和为，休闲区的面积与两个喷泉区的面积的和为，那么绿地的面积为______． 【跟踪专练3】现有边长如图所示的甲、乙、丙三种不同的长方形纸片若干张，小刚要用这三种纸片紧密拼接成一个没有缝隙的大正方形，他选取甲纸片1张，再取乙纸片4张，还需要取丙纸片的张数为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【题型12.求完全平方式中的字母系数】 【典例】若是一个完全平方式，那么m的值为_______． 【跟踪专练1】已知是某个整式的平方的展开式，则的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．或2 【跟踪专练2】若二次三项式是一个完全平方式，则m的值是_____． 【跟踪专练3】小明利用完全平方公式进行因式分解“ ”时，“ ”中的运算符号被墨迹染黑了，则的取值是（   ） A． B． C． D． 【解答题】 1．计算： (1) (2) (3) 2．定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________； (3)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 3．先化简，再求值：，其中． 4．边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 5．在多项式的乘法公式中，完全平方公式是其中重要的一个． (1)请你补全完全平方公式的推导过程： ____________________________________； (2)如图，将边长为的正方形分割成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四部分．请结合图形给出完全平方公式的几何解释． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $