精品解析：北京中国人民大学附属中学朝阳学校2026届高三第二学期假期作业验收数学试题

人大附中朝阳学校2025~2026学年度 第二学期高三年级假期作业验收 一､单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C D. 2. 复数的共轭复数为，则（ ） A B. 1 C. D. 2 3. 下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数（）的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为 A. B. C. (D) 5. 已知为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 设函数，已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直于l于点Q、直线QF与抛物线C相交于M、N两点，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数．，为常数）．若该食品在的保鲜时间是202小时，在的保鲜时间是52小时，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. 25小时 B. 26小时 C. 27小时 D. 28小时 10. 如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则下列错误的是（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C. 当直线与所成的角为时，点P的轨迹长度为 D. 当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 二､填空题 11. 设双曲线C经过点，且与具有相同的渐近线，则C的方程为________． 12. 已知，则实数_____ 13. 如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________． 14. 已知圆，点P为直线上一动点，过P作圆M的两条切线，切点分别为A、B．线段PA长度的最小值为_______，直线AB所经过的定点的坐标为_______． 15. 关于定义域为的函数是偶函数，且，，给出下列四个结论： ①函数的图象关于对称； ②函数的图象关于对称； ③函数是以6为周期的周期函数； ④函数是以4为周期的周期函数． 其中正确结论的序号是___________． 三､解答题 16. 在中，． （1）证明：； （2）若的面积为为边BC上的一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求AD的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 17. 如图，在直三棱柱中，已知，分别和中点. （1）求证：平面； （2）判断与是否垂直，并说明理由； （3）求与平面所成角的正弦值. 18. 某科技公司统计了过去连续30个月两个小组每月所需专用服务器台数，获得数据如下表： 小组所需专用服务器台数 11 12 13 14 15 16 17 月数 1 1 2 3 18 4 1 B小组所需专用服务器台数 6 8 10 12 14 16 18 月数 1 2 6 11 6 2 2 为了更好地支持自主研发，该公司计划给小组长期租赁台专用服务器，给小组长期租赁台专用服务器. 假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立，用频率估计概率. （1）估计小组某个月所需专用服务器不超过14台概率； （2）若，在未来的某个月，为满足小组的需求，该公司还需要为小组临时租赁台专用服务器.特别地，当该月不需要为小组临时租赁专用服务器时，记.估计的数学期望； （3）经公司讨论，有以下三种备选租赁方案： 方案一：，； 方案二：，； 方案三：，. 在未来的某个月，为满足这两个小组各自的需求，一共还需要临时租赁台专用服务器，特别地，当该月不需要临时租赁专用服务器时，记.在上述三种方案中，的数学期望估计值最小的方案是哪种？（结论不要求证明） 19. 已知椭圆：的右顶点为，焦距为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过作直线交椭圆E于不同两点，设直线，分别与直线交于点，，比较与的大小，并给出证明． 20. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时， （i）求的极值； （ii）若，求证：关于的方程在上无解． 21. 已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质． （1）当时，试判断集合和否具有性质？并说明理由； （2）当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中朝阳学校2025~2026学年度 第二学期高三年级假期作业验收 一､单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以. 2. 复数的共轭复数为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念求解. 【详解】因为的共轭复数为， 所以，所以， 故选：C 3. 下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的奇偶性、函数奇偶性的定义、函数导数判断函数单调性和特殊值判断函数单调性，针对各个选项判断即可； 【详解】对于A，函数是奇函数，A错误； 对于B，函数，所以函数为偶函数，， 令，得，当时，在上单调递减，B正确； 对于C，函数为偶函数，在上单调性有增也有减，C错误； 对于D，函数，所以函数为偶函数， ，，函数在上一定不是减函数，D错误； 故选：B. 4. 将函数（）的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为 A. B. C. (D) 【答案】C 【解析】 【详解】将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象， 可得，求得的最小值为， 故选C． 5. 已知为等差数列，为等比数列，，则（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】设出公差与公比，由题中所给条件列方程组即可求出公差与公比，即可得解. 【详解】设的公差为，的公比为， 则由题可知，有，解得或（舍去），则， 因此. 故选：B. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】必要性：若，则可得，所以可得，必要性成立； 若，则，而，故充分性不成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B 7. 设函数，已知，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用的性质，得到和，从而得到，即可求解. 【详解】因为，且， 所以，得到① 又，则，得到②， 由①②得到，，即，又，所以的最小值为， 故选：B. 8. 已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在抛物线C上，PQ垂直于l于点Q、直线QF与抛物线C相交于M、N两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用图形，结合抛物线定义求出，再由抛物线定义得出求得答案. 【详解】如图， 过点N作于点H，设准线l与x轴的交点为K， 由，得， 由抛物线定义知，，则， 在中，，则， 由，得， 又由抛物线定义知，则， 所以. 故选：C 9. 某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数．，为常数）．若该食品在的保鲜时间是202小时，在的保鲜时间是52小时，则该食品在的保鲜时间是（ ） A. 25小时 B. 26小时 C. 27小时 D. 28小时 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件，先将不同温度下的保鲜时间代入函数关系式，求出常数和的值，进而得到完整的函数表达式，再将代入函数求出此时的保鲜时间． 【详解】已知食品在的保鲜时间是202小时， 将，代入函数，即， 故，已知在的保鲜时间是52小时，故， 即，且， 所以，则， 对两边同时取自然对数，可得，即， 当时，代入函数，即，． 又，所以， 则（小时）， 故该食品在的保鲜时间是小时. 故选：C． 10. 如图，点P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，F是线段的中点，则下列错误的是（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 若点P满足，则动点P的轨迹长度为 C. 当直线与所成的角为时，点P的轨迹长度为 D. 当P在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】显然三棱锥体积的最大值即为正四面体，求出正四面体体积可判断A；利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，求出其周长可判断B；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，求出其轨迹长度可判断C；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为线段，可判断为直角三角形，易知长度的最大值为，计算可判断D. 【详解】A，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点P到平面的距离最大， 易知点C是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为， 所以，A正确； B，取中点中点K，连接， 因为分别为中点， 所以，又， 所以，则， 因为，所以， 即，又平面， 所以平面，因为， 所以点P的轨迹为，所以动点P的轨迹长度为，故B正确； C：连接以B为圆心，为半径画，如图1所示， 当点P在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 长度，故点P的轨迹长度为，故C正确； D，取的中点分别为， 连接，如图2所示， 易知面平面， 故平面平面平面， 故平面，又平面， 故平面平面，又， 故平面与平面是同一个平面， 则点P的轨迹为线段， 在三角形中，； ； 则， 故三角形是以为直角的直角三角形， 故，故长度的最大值为，故D错误． 故选：D 二､填空题 11. 设双曲线C经过点，且与具有相同的渐近线，则C的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设与具有相同渐近线的双曲线方程可设为将点代入方程即可求得，从而确定C的方程. 【详解】与具有相同渐近线的双曲线方程可设为与， 双曲线C经过点， ， 即双曲线方程为：. 故答案为： 12. 已知，则实数_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 13. 如图，四边形是正方形，延长至E，使，若点P是以点A为圆心，为半径的圆弧（不超出正方形）上的任一点，设向量，则的最小值为________最大值为________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】设，由得到，再令，代入上式，结合判别式即可求解. 【详解】解：假设， 由已知可得， ， ，即， 令， 则，代入可得， 有，解得， ， 的最小值为1，最大值为， 故答案为：1； 14. 已知圆，点P为直线上一动点，过P作圆M的两条切线，切点分别为A、B．线段PA长度的最小值为_______，直线AB所经过的定点的坐标为_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意可得，则当取得最小值时，线段长度的最小，利用点到直线的距离公式求出的最小值即可得解. 可得四点共圆，求出以为直径的圆，与圆方程联立即可求出直线的方程，进而可求出定点的坐标； 【详解】圆的圆心，半径， 由题意可得，则， 则当取得最小值时，线段长度的最小值， 则，所以. 因为都是圆的切线，所以，所以四点共圆， 且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径圆的方程为， 两圆方程相减得直线的方程为，令，则， 所以直线过定点． 故答案为：①；②. 15. 关于定义域为的函数是偶函数，且，，给出下列四个结论： ①函数的图象关于对称； ②函数的图象关于对称； ③函数是以6为周期的周期函数； ④函数是以4为周期的周期函数． 其中正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用已知条件以及函数的对称性、周期性的定义逐项推导，可得出合适的选项. 【详解】对于①，因为为偶函数，所以， 由，可得，则， ，所以函数的图象关于直线对称，故①正确； 对于②，因为，所以， 又，可得， 所以函数的图象关于点对称，故②正确； 对于③，由，且，所以， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数，故③错误； 对于④，因为，且，所以， 由，所以，又， 所以，所以， 所以，因此，函数是周期为4的周期函数，故④正确. 故答案为：①②④. 三､解答题 16. 在中，． （1）证明：； （2）若的面积为为边BC上的一点，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求AD的长． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】（1）证明见解析； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解，再应用余弦定理可证明； （2）若选择①：由已知求解可得不存在；若选择②：结合余弦定理计算可求；若选择③：计算边长结合正弦定理计算可求. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 因为，所以，，， ，由余弦定理得，得 即； 【小问2详解】 由，得，故， ，解得， 若选择条件①：，与三角形内角和为矛盾，故选择条件①时不存在； 若选择条件②：由（1）可得，， 在中，由余弦定理可得； 若选择条件③：由， 则，结合，解得， 在中，所以， 在中，由正弦定理可得 ； 17. 如图，在直三棱柱中，已知，分别和的中点. （1）求证：平面； （2）判断与是否垂直，并说明理由； （3）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2）垂直，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设的中点为，证明平行于，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出与所在直线方向向量，判断它们的数量积是否为0即可； （3）分别求出与平面的方向向量、法向量，由向量夹角的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 由于是对角线的中点. 设中点为，则分别是的中点，故， 这就说明是平行四边形，故平行于， 而在平面内，不在平面内， 故平行于平面； 【小问2详解】 记的中点为，由于，故， 又由于该三棱柱是直三棱柱，且，故平行于. 而垂直于平面，故垂直于平面， 而均在平面内，故两两垂直. 现在以为原点，分别为轴正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，， 故，，从而， 这就说明垂直于； 【小问3详解】 由于，，故. 而，，，故， 设是平面的法向量，所以， 则. 所以，，从而可以取. 而， 故与平面所成角的正弦值是. 18. 某科技公司统计了过去连续30个月两个小组每月所需专用服务器台数，获得数据如下表： 小组所需专用服务器台数 11 12 13 14 15 16 17 月数 1 1 2 3 18 4 1 B小组所需专用服务器台数 6 8 10 12 14 16 18 月数 1 2 6 11 6 2 2 为了更好地支持自主研发，该公司计划给小组长期租赁台专用服务器，给小组长期租赁台专用服务器. 假设两个小组每月所需专用服务器台数相互独立，用频率估计概率. （1）估计小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率； （2）若，在未来的某个月，为满足小组的需求，该公司还需要为小组临时租赁台专用服务器.特别地，当该月不需要为小组临时租赁专用服务器时，记.估计的数学期望； （3）经公司讨论，有以下三种备选租赁方案： 方案一：，； 方案二：，； 方案三：，. 在未来的某个月，为满足这两个小组各自的需求，一共还需要临时租赁台专用服务器，特别地，当该月不需要临时租赁专用服务器时，记.在上述三种方案中，的数学期望估计值最小的方案是哪种？（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） （3）方案三的数学期望最小 【解析】 【分析】（1）根据题中数据，可得在30个月的数据中，小组所需专用服务器不超过14台的月数，从而可估计概率；（2）当时，随机变量的所有可能取值集合为，根据频率估计概率，可得，从而可求；（3）首先理解，求出三种方案的比较大小即可. 【小问1详解】 根据题中数据，在30个月的数据中， 小组所需专用服务器不超过14台的月数为， 故小组某个月所需专用服务器不超过14台的概率可估计为； 【小问2详解】 由题意知，当时，随机变量的所有可能取值集合为， 根据题中数据，由（1）知可估计为， 可估计为， 可估计为， 可估计为， 因为， 所以可估计为； 【小问3详解】 方案三的数学期望最小. 提示：对于小组，当时，由（2）知； 当时，，所以； 当时，，所以. 对于小组，当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 综上，方案一：，，此时； 方案二：，，此时； 方案三：，，此时. 因为，所以方案三的数学期望最小. 19. 已知椭圆：的右顶点为，焦距为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过作直线交椭圆E于不同两点，设直线，分别与直线交于点，，比较与的大小，并给出证明． 【答案】（1）； （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用已知得，又利用即可求椭圆的方程，利用离心率的公式即可求解； （2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，设，由韦达定理得，求直线的方程，进而得，同理得，求出和即可求解. 【小问1详解】 由题意有：，所以， 又， 所以椭圆的方程为：， 所以离心率为； 【小问2详解】 由题意得直线的斜率存在且不为0，可设直线的方程为：， 所以， 所以，即， 设， 所以， 由，所以直线的方程为：， 令得，同理得， 所以， ， 当且时，， 当时，或， 此时与平行，没有交点，不合题意. 所以. 20. 设函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时， （i）求的极值； （ii）若，求证：关于的方程在上无解． 【答案】（1） （2）（i）极小值为，无极大值； （ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入，将求导，计算出导数斜率，最后写出切线方程. （2）（i）第一问直接代入，求导数零点，算出极值. （ii）将原方程等价变换为，然后构造辅助函数，分析单调性，利用单调性证明. 【小问1详解】 由条件得．所以．所以． 因为，所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 （i）由条件得，所以． 令，即，解得． 当变化时，变化如下： 0 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为，无极大值． （ii）关于的方程等价于， 由于，故 令，所以． 令，则 因为，． 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即． 所以在区间上单调递增． 因为，所以当时，． 故当时，关于的方程在上无解． 21. 已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素，都有，则称具有性质． （1）当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由； （2）当时，若集合具有性质， ①判断集合是否一定具有性质？并说明理由； ②求集合中元素个数的最大值． 【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由见解析 （2）①具有性质，理由见解析 ；② 【解析】 【分析】（1）当时，集合，，根据性质的定义可知其不具有性质；，令，利用性质的定义可验证； （2）当时，则， ①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义即可验证； ②设集合有个元素，由①得，任取一个元素，则与中必有一个不超过，从而得到集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过，然后利用性质的定义进行分析即可求出，即，解此不等式即可得出答案. 【小问1详解】 当时，集合， 不具有性质， 因为对任意不大于的正整数，都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立， 集合具有性质， 因为可取，对于该集合中任一元素， 都有； 【小问2详解】 当时，则， ①若集合具有性质，那么集合一定具有性质， 首先因为，任取，其中， 因为，所以， 从而，即，所以， 由具有性质，可得存在不大于的正整数， 使得对中任意一对元素，都有， 对于上述正整数，从集合中任取一对元素，其中，则有， 所以集合具有性质； ②设集合有个元素，由①得，若集合具有性质，那么集合一定具有性质， 任取一个元素，则与中必有一个不超过， 所以集合与集合中必有一个至少存在一半元素不超过， 不妨设中有个元素不超过，分别记为， 由集合具有性质，得存在正整数，使得对中任意两个元素 ，都有，所以都不是中元素， 又，故都是中的元素， 即集合中至少有个元素不在子集中， 因此，所以，解得， 当时，取， 易得集合中的任意两个元素，都有， 即集合具有性质，此时集合中有个元素， 因此集合中元素个数的最大值为． 【点睛】本题考查集合之间包含关系的判断方法，以及元素与集合之间的关系等基础知识，是新定义问题，在解题时注意对新概念的理解与把握是解题的关键，此题对学生的抽象思维能力要求较高，特别是对数的分析. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $