精品解析：福建厦门集美中学2025-2026学年高一下学期2月阶段性测试数学试题

福建省厦门集美中学 2025-2026学年（下）学期高一2月阶段性测试 数学学科试题 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到答案. 【详解】是“，”. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，则，而， 则． 3. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂函数的奇偶性、在指定区间上的单调性逐项判断. 【详解】对于A，函数的定义域为，不是奇函数，A不是； 对于B，函数是R上的偶函数，B不是； 对于C，幂函数在上单调递减，C不是； 对于D，幂函数是奇函数，且在上单调递增，D是. 故选：D 4. 如果，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对AD，当时即可反驳；对B，举反例即可，对C，根据不等式性质即可判断. 【详解】对A，当，则，故A错误； 对B，举例，满足，但，故B错误； 对C，因为，则，则，则两边同除以得，故C正确； 对D，当，则，则，故D错误. 故选：C. 5. 函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用整体代换法直接计算可得结果. 【详解】根据正切函数图象性质令, 解得， 若，不满足题意，A错误； 若，可得时，此时的对称中心为，B正确； 若，不满足题意，C错误； 若，不满足题意，D错误. 故选：B 6. 在中，为的中点，则（ ） A. 0 B. 16 C. 40 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律计算得解. 【详解】在中，由，得，则， 由为的中点，得， 所以. 故选：D 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数与对数的关系和换底公式求出的关系即可得解. 【详解】由题意，， 所以， 即， 故选：D 8. 如图，矩形中，，周长为．将沿翻折到的位置，使得与交于点，则的面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据翻折可知三角形的周长，设，，所以，结合直角三角形勾股定理可得，再根据基本不等式可得面积的最大值. 【详解】由题意可知，，，， 所以，所以，， 所以， 所以的周长为；设，，所以， 在中，由勾股定理可得，解得， 且，解得或， 当且仅当时取等号； 因为，，所以，所以，则； 所以在中，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的面积取得最大值， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据最值列式计算判断A，B，应用对称性得出周期进而得出判断C，代入点，结合，计算判断D. 【详解】因为函数， 所以，即得，A选项错误，B选项正确； 又因为，所以，C选项正确； 又因为函数过，所以，即得 又因为，所以，所以，即，D选项错误； 故选：BC. 10. 不等式解集为，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用 “三个二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）的关系，通过已知解集推出系数 的符号和关系，再求解新的不等式逐项分析即可. 【详解】因为 解集为 ， 所以，解得， 因为 ，所以 ，，故选项A、B正确； 选项C：不等式 可化为 ， 即 ， 解得 ， 不等式解集是 ， 选项C错误； 选项D：不等式 可化为 ， 即 ， 解得 或 ， 不等式的解集为 ， 选项D正确. 故选： ABD. 11. 若函数的定义域是，对于，定义集合.（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，当时，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据定义，结合指数函数的单调性可判断A,B,C，根据集合包含关系可判断的单调性，从而可求. 【详解】对于A, ，由可得，所以A正确； 对于B,因为为增函数，，所以， ，所以，B正确； 对于C,因为是偶函数，且在上单调递减，在上单调递增， 等价于，，，所以，C不正确； 对于D,因为是偶函数，且在的单调性由决定， ，， 因为，所以当时，的解集包含的解集， 所以在单调递减，即，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由里往外直接计算即可求解. 【详解】由题得. 故答案为：1 13. 已知，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用齐次化方法可求答案. 【详解】. 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M．若记点M到直线OP的距离为，则的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义得及，利用面积法求得，根据的范围及三角函数的性质讨论的单调性，进而求得答案. 【详解】由题意，， 由， 得， 所以当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增；当时，单调递减； 易知的最小正周期为， 所以只考虑在上的值域即可， 又，，，，， 所以的值域为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记不等式的解集为，不等式的解集为. （1）求集合； （2）若集合，写出的所有子集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式求解； （2）求出集合，利用交集的概念求出，即可写出子集. 【小问1详解】 不等式，即，解得， 所以集合. 【小问2详解】 由，解得，即. 又因为，所以， 因此，集合的子集有. 16. 已知函数. （1）求的值； （2）将的图象向左平移个单位得到的图象，解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式化简函数解析式即可直接计算求解； （2）由平移变换法则求出的解析式，再由正弦函数性质解不等式即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 由题知，所以即， 所以，解得， 所以原不等式的解集为. 17. 已知函数. （1）设的图象恒过点，求点的坐标； （2）试判断的奇偶性，并说明理由； （3）当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）函数是奇函数，理由： 由题意得函数的定义域为， 且， 因为，即， 所以函数是奇函数； （3） 【解析】 【分析】（1）由，代入计算即可求解. （2）根据奇函数定义判定即可； （3）由题意可得，根据函数单调性，计算即可求解， 【小问1详解】 令，则，可得， 故函数的图象恒过点； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，函数， 不等式在上恒成立， 即当时，， 因为在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递减， 当时，函数有最大值，即， 所以的取值范围为. 18. 某游乐园的摩天轮匀速旋转，旋转一周需要30分钟，摩天轮的圆心距离地面高度为40米，半径为30米，某个观光舱从最低点开始运动，其高度（米）随时间（分钟）的变化规律为：． （1）求的表达式； （2）当观光舱的高度满足（其中为参数）时，观光舱内会有阳光直射． （i）若时，求观光舱在一个旋转周期内，有阳光直射的持续时间； （ii）若要求观光舱在每个旋转周期内，有阳光直射的时间不少于10分钟，求的最大值． 【答案】（1），． （2）（i）5分钟；（ii）． 【解析】 【分析】（1）根据摩天轮的旋转周期求出，结合摩天轮的圆心距离地面高度和半径求出A和b，再根据初始位置求出，进而得到的表达式； （2）（i）将代入不等式，求解不等式得到t的取值范围，进而求出有阳光直射的持续时间；（ii）根据有阳光直射的时间不少于10分钟，结合三角函数的性质求出的最大值. 【小问1详解】 旋转一周需要30分钟，故， 由，依题意取，， 当时，，解得． 故，. 【小问2详解】 由（1）知，，化简得： ， （i）若时，， 代入得，即， 因,结合余弦函数的图象可得，解得， 故时，观光舱在一个旋转周期内，有阳光直射的持续时间为5分钟． （ii）若要求观光舱在每个旋转周期内，有阳光直射的时间不少于10分钟， 根据（i）可知，，化简得：． 设，则，， 设的解集为，, 由题意知有阳光直射的时间长度，即， 在内，的解 关于 对称，其长度为，最大为，最小为 0, 当时，区间的解为. 故，即的最大值为． 19. 已知函数. （1）根据定义证明在上单调递增，并写出的单调区间及每一单调区间上的单调性； （2）求函数的值域； （3）若方程在有且仅有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） 证明：任取且， ， 因为，所以 ，，故， 因此，即 在上单调递增. 在上单调递减，在上单调递减，上单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用定义，设变量，作差，变形，定号，证明即可； （2）根据单调性可求最值，从而可得值域； （3）换元，转化为二次型方程根的分布问题，分情况讨论可求答案. 【小问1详解】 同理可得在上单调递减，因为，所以为奇函数， 所以在在上单调递减，上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，；当时，； 所以函数的值域为. 【小问3详解】 令，因为 ，所以， 当时，仅有唯一解； 当时，有两个不相等的正实数根， 又 ， 代入方程得：， 题中要求原方程有且仅有两个不相等的实数根， 则关于的方程有且仅有一个根在区间上， 设， 当时，，不合题意； 当时，为二次方程，则必有； 当时，，得或； 时，，符合题意；时，，不合题意； 当时，得或， 若，此时开口向上，且，只有一个大于2的根， 只需，，可得. 若，此时开口向下，且，， 方程没有大于2的根，不合题意. 若，此时开口向上，，对称轴， ，方程没有大于2的根，不合题意. 综上可得，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门集美中学 2025-2026学年（下）学期高一2月阶段性测试 数学学科试题 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 命题：，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的一个对称中心是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，为的中点，则（ ） A. 0 B. 16 C. 40 D. 32 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，周长为．将沿翻折到的位置，使得与交于点，则的面积的最大值为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 10. 不等式解集为，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 不等式的解集是 11. 若函数的定义域是，对于，定义集合.（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，当时，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数则__________. 13. 已知，则________. 14. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆O交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为M．若记点M到直线OP的距离为，则的值域为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记不等式的解集为，不等式的解集为. （1）求集合； （2）若集合，写出的所有子集. 16. 已知函数. （1）求的值； （2）将的图象向左平移个单位得到的图象，解关于的不等式. 17. 已知函数. （1）设的图象恒过点，求点的坐标； （2）试判断的奇偶性，并说明理由； （3）当时，不等式在上恒成立，求的取值范围. 18. 某游乐园的摩天轮匀速旋转，旋转一周需要30分钟，摩天轮的圆心距离地面高度为40米，半径为30米，某个观光舱从最低点开始运动，其高度（米）随时间（分钟）的变化规律为：． （1）求的表达式； （2）当观光舱的高度满足（其中为参数）时，观光舱内会有阳光直射． （i）若时，求观光舱在一个旋转周期内，有阳光直射的持续时间； （ii）若要求观光舱在每个旋转周期内，有阳光直射的时间不少于10分钟，求的最大值． 19. 已知函数. （1）根据定义证明在上单调递增，并写出的单调区间及每一单调区间上的单调性； （2）求函数的值域； （3）若方程在有且仅有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $