6.4 第1课时 曲线型图象-导学案--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第六章 变量之间的关系 6.4　用图象表示变量之间的关系 第1课时　曲线型图象教师以生活场景提问导入：同学们，我们在生活中经常会遇到这样的情况——随着时间的推移，气温会发生变化；随着浇水次数的增加，植物会慢慢长高；随着行驶时间的延长，汽车行驶的路程会不断增加。这些变化的量之间，存在着怎样的联系呢？ 邀请学生自由发言，分享自己观察到的变化现象，教师点评总结：在这些场景中，都存在着两个或多个不断变化的量，它们之间相互影响、相互依存。今天我们就来学习“变量之间的关系”，本节课我们将探究变量、自变量、因变量的定义，掌握表示变量之间关系的三种基本方法，感受数学与生活的密切联系。 二、探究新知，突破重点（18分钟） （一）变量、自变量、因变量 1. 概念探究：出示3个生活实例，引导学生分组讨论，找出每个实例中变化的量和不变的量： 实例1：汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶的路程随时间的变化而变化； 实例2：一个水池有100L水，打开水龙头后，水池中的水量随放水时间的变化而变化； 实例3：正方形的边长发生变化时，正方形的面积也会随之变化。 师生共同总结： （1）变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫作变量； （2）常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫作常量； （3）自变量与因变量：在变化过程中，主动发生变化的量叫作自变量；随着自变量的变化而发生变化的量叫作因变量。 2. 巩固辨析：结合上述实例，明确：实例1中，时间和路程是变量，速度是常量，时间是自变量，路程是因变量；实例2中，放水时间和水池水量是变量，水池总水量（初始）是常量，放水时间是自变量，水池水量是因变量；实例3中，边长和面积是变量，没有常量，边长是自变量，面积是因变量。 强调：自变量和因变量是相对的，要结合具体的变化过程来判断，不能孤立地确定。 （二）变量之间关系的表示方法 1. 表格法：出示实例：某同学在做俯卧撑，每分钟做的个数固定，随着时间（分钟）的变化，做的总个数如下表： 时间（分钟）1 2 3 4 5 总个数（个）15 30 45 60 75 讲解：表格法是用表格的形式，清晰地呈现自变量和因变量的对应数值，优点是直观、简洁，能快速找到具体数值对应的关系。引导学生观察表格，说出自变量、因变量，以及两者的变化规律（每分钟做15个，总个数=15×时间）。 2. 关系式法：结合上述表格实例，引导学生推导：总个数=每分钟个数×时间，若用t表示时间（分钟），s表示总个数（个），则关系式为s=15t。 讲解：关系式法是用数学式子表示自变量和因变量之间的关系，优点是能准确反映两者的内在规律，可根据自变量的值求出对应的因变量的值，反之也可根据因变量的值求出自变量的值。 举例示范：若t=6，代入关系式s=15t，得s=15×6=90（个），即6分钟做90个俯卧撑；若s=120，由120=15t，得t=8（分钟）。 3. 图像法：结合上述关系式s=15t，引导学生在平面直角坐标系中，画出对应的点（1,15）、（2,30）、（3,45）……，再将这些点连接起来，得到一条直线。 讲解：图像法是用平面直角坐标系中的点和线，直观地呈现变量之间的变化趋势，优点是能清晰看出因变量随自变量的变化规律（上升、下降、不变）。强调：横轴表示自变量（时间t），纵轴表示因变量（总个数s），标注坐标轴名称和单位，点的坐标要准确。 （三）易错辨析：引导学生区分三种表示方法的优缺点，明确：表格法直观但不能反映整体规律，关系式法准确但不够直观，图像法直观且能反映变化趋势但不够精确，实际应用中可根据需求选择合适的方法。 三、例题解析，深化理解（10分钟） 例1：判断下列变化过程中的自变量、因变量和常量： （1）圆的周长随半径的变化而变化；（2）购买单价为3元的笔记本，付款金额随购买数量的变化而变化。 解析：（1）自变量：圆的半径；因变量：圆的周长；常量：圆周率π（约3.14）；（2）自变量：购买数量；因变量：付款金额；常量：笔记本单价3元。 例2：已知某长方形的长为5cm，宽为x cm，面积为y cm²，写出y与x之间的关系式，并求出当x=3cm时，y的值；当y=25cm²时，x的值。 解析：根据长方形面积公式，关系式为y=5x；当x=3时，y=5×3=15（cm²）；当y=25时，5x=25，解得x=5（cm）。 例3：某地区一天的气温随时间变化的图像（略），根据图像回答：（1）自变量和因变量分别是什么？（2）哪个时间段气温在上升？哪个时间段气温在下降？（3）最高气温是多少？出现在什么时间？ 解析：（1）自变量：时间；因变量：气温；（2）如6:00-14:00气温上升，14:00-24:00气温下降（结合图像具体说明）；（3）最高气温如32℃，出现在14:00（结合图像具体说明）。 补充说明：解决变量相关问题时，先确定自变量和因变量，再根据三种表示方法的特点，灵活运用表格、关系式或图像分析规律、计算数值。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：判断下列变化过程中的自变量、因变量和常量；（1）蜡烛燃烧时，剩余长度随燃烧时间的变化而变化；（2）高铁以300km/h的速度行驶，路程随时间的变化而变化。 2. 提升题：已知一个三角形的底为8cm，高为h cm，面积为S cm²，写出S与h之间的关系式，并求出当h=5cm时S的值。 3. 拓展题：根据某商店的销量表格（时间与销量对应），分析销量随时间的变化规律，并用关系式表示两者的关系。 学生完成后，小组内核对答案，教师巡视指导，针对共性错误（如混淆自变量和因变量、关系式书写错误、图像分析不准确）进行重点讲解，强化对变量概念和三种表示方法的掌握。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理本节课核心知识：1. 核心概念：变量（自变量、因变量）和常量，能准确区分三者；2. 变量关系的三种表示方法：表格法（直观简洁）、关系式法（准确规律）、图像法（直观趋势）；3. 应用技巧：根据实际问题确定自变量和因变量，灵活运用三种方法分析规律、计算数值。 引导学生反思：本节课你学会了什么？还有哪些不懂的地方？快速提问反馈，及时解决遗留疑问，强调变量之间的关系是后续学习函数的基础，培养学生用数学眼光分析生活中变化现象的能力。 【素养目标】 1．经历从图象中分析变量之间关系的过程，进一步体会变量之间的关系． 2．结合具体情境理解曲线型图象上的点所表示的意义． 3．能利用图象对所研究的对象过去的情况作一个回顾，对未来的情况作一个预测；领悟数形结合思想，培养观察能力和联想能力． 重点：结合具体情境，理解图象上的点所表示的意义，并能从图象中获取变量之间的关系． 难点：能从图象中获取变量之间的关系，并能用语言进行描述． 【复习导入】 观察下图，你能从中获取怎样的信息？ 【合作探究】 探究：用曲线型图象表示的变量间的关系 下表是某天各时刻的气温值，请分析这天的温度变化情况(要求直观、形象、生动). 时刻/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 温度/℃ 26 23 24 27 31 37 35 31 26 展示图象直观地表示变量之间的关系．运用描述性语言引入图象及其特点，并根据下图填空： (1)9时的温度是________，12时的温度是________． (2)这一天的最高温度是________，是________时达到的； 最低温度是________，是________时达到的． (3)这一天的温差是________，从最低温度到最高温度经过________小时． (4)在什么时间范围内温度在上升？在什么时间范围内温度在下降？ (5)图中的A点表示什么？B点呢？ (6)你能预测次日凌晨1时的温度吗？说说你的理由. 要点归纳： 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴(称为横轴)上的点表示自变量，用竖直方向的数轴(称为纵轴)上的点表示因变量．　 [交流讨论] 如何从图象中获取关于两个变量的信息？ (1) 要明白图象上的点所表示的意义； (2) 从自变量的值得到因变量的值，及从因变量的值得到自变量的值； (3) 要能看出因变量如何随自变量的变化而变化. [典例精析] 例1 如图所示是某市夏日某天的温度随时间变化的图象. 通过观察图象，下列说法中错误的是 (　　) A.这天 15 时的温度最高 B.这天 3 时的温度最低 C.这天最高温度与最低温度的差是 13 ℃ D.这天 0～3 时，15～24 时温度在下降 方法总结：认真观察图象，弄清楚时间是自变量，温度是因变量，然后由图象上的点确定自变量及因变量的对应值． 例2 下图表示了某港口某日从0时到6时水深变化的情况． (1)大约什么时刻港口的水最深？约是多少？ (2)A点表示什么？ (3)说说这个港口从0时到6时的水位是怎样变化的. [尝试·思考]如图呈现了某年某地日出时间、日落时间的情况. 观察图象，回答下列问题： (1) 你能描述这一年此地日出时间和日落时间的变化情况吗? (2) 这一年日出时间最早的大约是什么时候? 最晚呢? 日落时间呢? 目前我们已经学习了三种方法表示变量之间的关系，它们各有什么优缺点? 优点 缺点 表格法 关系式法 图象法 当堂反馈 1.在下面各图中，可以近似地刻画一个篮球运动员投出去的球离地面的高度h与时间t的关系的是(　　) 2.如图是南昌市春季某一天的气温T(℃)随时间t(时)变化的图象，根据图象可知，在这一天中最高气温与达到最高气温的时间分别是(　　) A.25℃，16时 B.10℃，6时 C.20℃，14时 D.15℃，18时 3.人的记忆会随着时间的推移而淡化，遗忘曲线(记忆的百分比和时间的关系)如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)在记忆的最初一段时间内，遗忘得　 　；(填“快”或“慢”) (2)图象表明遗忘的速度是　 　.(填“变化的”或“不变的”) 4.一天之中，海水的水深是不同的，如图是某港口从0时到12时的水深情况，结合图象回答下列问题： (1)如图描述了哪两个变量之间的关系？其中，自变量是什么？因变量是什么？ (2)大约什么时刻港口的水最深？深度约是多少米？ (3)图中A点表示的是什么？ (4)在什么时间范围内，水深在上升？什么时间范围内，水深在下降？ 参考答案 【合作探究】 探究：用曲线型图象表示的变量间的关系 下表是某天各时刻的气温值，请分析这天的温度变化情况(要求直观、形象、生动). 解：(1)27℃　31℃　(2)37℃　15　23℃　3　(3)14℃　12 (4)3时到15时，温度在上升；0时到3时，15时到24时，温度在下降． (5)A点表示21时，温度为31℃；B点表示0时，温度为26 ℃. (6)25 ℃左右，按照变化趋势，0时到3时，温度逐渐降低． [典例精析] 例1 C 例2 解：(1)约3时港口水最深，约是7 m； (2)A点表示4时，港口水深约为6.4 m； (3)0时到6时，港口水位先升高，再降低． [尝试·思考]解：(1) 1月到6月日出时间逐渐提前，日落时间逐渐推迟； 6月到12月日出时间逐渐推迟，日落时间逐渐提前. (2) 日出时间最早大约是 6 月，最晚大约是 12 月； 日落时间最早大约是 12月之间，最晚大约是 6，7月之间. 当堂反馈 1.　D　 2.C　 3.(1)　快　；(2)　变化的　. 4.解：(1)图象反映了港口的水深和时间之间的关系，其中时间是自变量，港口的水深是因变量. (2)3时港口的水最深，深度约是7m. (3)图中A点表示的是6时港口的水深为5m. (4)从0时到3时及从9时到12时水深在上升，从3时到9时水深在下降. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $