6.4 用图象表示变量之间的关系(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

数学 七年级下册 (北师大版) 点O的直线1将四边形ABCD面积平均分成两份。理 由：因为AD∥BC,所以∠EDM=∠C,∠DEM= ∠CFM。因为M是CD的中点，所以DM=CM。在 △DEM和△CFM中，∠EDM=∠C,∠DEM=∠CFM DM=CM,所以△DEM≌△CFM(AAS)。所以S△ew= S△CM。所以S四边形AD=S五边形ABAD+S△CA=S五边形AMD+S△DEr S平行四边形E。当直线1与AF(或BE)重合时，将平行 四边形ABFE分成两个全等的三角形，由特殊化思想， 易得过点O的直线1一定将平行四边形ABFE的面积 平均分成两份，所以图中阴影部分面积就是四边形 ABCD面积的一半。 第六章变量之间的关系 1现实中的变量 1.解：(1)t是自变量，y是因变量。(2)时 间t的值确定时，y的值也随之确定，不会发生变化： 随着时间t的变化，y的值也随之变化。2.解：(1) 正方形个数x是自变量，小棒的根数y是因变量。 (2)y=3x+1。(3)当x=33时，y=3×33+1=100;当 x=1000时，y=3×1000+1=3001;当x=3333时，y= 3×3333+1=10000.3.解：填表略。(1)边长x是 自变量，面积S是因变量。 (2)S=x2。 (3)当 x=12时，S=144;因为100=10000，所以边长x=100 4.解：(1)港口水深和时间分别用字母h和t表 示，时间t是自变量，港口水深h是因变量。 (2) 水深h随着时间t的变化而变化，当时间在0≤t≤10 时，水深h逐渐升高，当10<1≤22时，水深h逐渐下 降；当22<t≤24时，水深h又逐渐升高。 (3)当 t=4,10,17,20时，水深h分别为5m,7m,5m, 3m。 (4)观察图象，当港口水深h=4m时，横向 对应的时间分别约为0时，18.5时，24时。5.解： (1)在半径r由小变大的过程中，圆柱的体积V也由 小变大。 (2)V=4m2,r的取值范围是r>0。(3) 当=5时，V=4mx52=100m(cm3)；当r=10时，V=4m× 102=400m(cm3)。6.B 2用表格表示变量之间的关系 1.(1)婴儿月龄体重(2)86002.(1)行 驶的路程油箱剩余油量(2)5038(3)350 3.解：(1)反映了卖出的苹果质量与销售额之间的关 系，卖出的苹果质量是自变量，销售额是因变量。 (2)当卖出苹果5kg时，销售额为10元。(3)当 卖出苹果50kg时，销售额为100元。4.解：(1) 反映了时间和水位之间的关系，其中时间是自变量， 水位是因变量。 (2)4m。 (3)20时至24时 时段水位上升最快。5.解：(1)销售件数和销售 额是变化的量，销售件数是自变量，销售额是因变量。 (2)y=8.4x。6.解：(1)反映了易拉罐底面半 径和用铝量的关系，易拉罐底面半径x为自变量，用 铝量y为因变量。(2)当易拉罐的底面半径为2.4 cm时，用铝量为5.6cm。 (3)易拉罐的底面半径 为2.8cm时比较合适，因为此时用铝量较少，成本 低。 (4)当易拉罐底面半径x在1.6-2.8cm之间变 化时，用铝量y随半径x的增大而减小，当易拉罐底 面半径x在2.8~4.0cm之间变化时，用铝量y随半径 x的增大而增大。7.(1)B提示：当n=2时，A经 销商的利润为60万元，比n=1时增加60-40=20（万 元)；B经销商的利润为55万元，比n=1时增加55 30=25(万元)；C经销商的利润为40万元，比n=1时 增加40-20=20（万元）；D经销商的利润为38万元， 比n=1时增加38-14=24（万元）。因为25>24>20，所 以应向经销商B分配2台设备。(2)157提示： 1 当给这四家经销商中的一家分配时，由表格知最大利 润为D经销商的134万元。当分配给多家销售时，根 据表格中从A,B,C,D四家经销商销售所获利润变 化趋势分析，当分配给四家时，由(1)知当n从1增 加到2时，从经销商B,D获得利润分别增加25万 元、24万元，所以可各分配2台，最大利润为40+55+ 20+38=153(万元)；当分配给三家时，经销商B分配 2台，经销商D分配3台，最大利润为40+55+62=157 (万元)；当分配给两家时，经销商A分配2台，经销 商B分配4台，最大利润为60+90=150（万元），或经 销商A分配1台，经销商D分配5台，最大利润为 40+110=150(万元)。综上所述，企业可获得的总利润 的最大值为157万元。 3用关系式表示变量之间的关系 1.(1)四棱柱的高度四棱柱的体积(2)V= 100h(3)500cm3(4)10010002.(1)S=a+ 6(2)10cm23.A4.B5.B6.解：(1)填 表：100.4100.8102104106(2)当t的值分 别是25,50时，相应p的值分别是110,120。(3) 随着温度t的升高，压强p(kPa)逐渐增大，且温度 每增加1℃，压强p增加0.4kPa。7.解：(1)油 箱中的余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的关系式 是0=60-5t。 (2) t/h 6 7 8 9 10 O/L 30 25 20 15 ⊙ (3)当t每增加1h,油箱中的余油量Q就减少5L。 (4)当=12时，0=60-5×12=0。此时它表示油箱中 的余油量为0，即油箱中没有油了。8.解：(1)= 2t。 (2)当t=1时，v=2m/s;当t=6时，v=12m/s。 9.解：(1)y=324T-Tx2。 (2)323π243π10. 解：(1)在这个变化过程中，自变量是平行四边形 ABCD的底边长，因变量是平行四边形ABCD的面积。 (2)y=6x。 (3)当底边从12cm增加到20cm 时，面积增加了48cm。11.0.812.B 4 用图象表示变量之间的关系（第1课时） 1.D2.B3.解：(1)7时，40.4℃。 (2) 37.8℃。 (3)14时后体温稳定在正常状态。 4 解：(1)120m,140m。(2)8月水位最高为160 m,1月水位最低为80m。 (3)3月和12月。 (4)答案不唯一，6月水位高度约为130m,7月水位 高度约为145m。5.解：(1)周二的最高气温是18 ℃，最低气温是5℃。 (2)图中点A表示的实际意 义是周五的最高气温是25℃。(3)周一温差是 13-4-9(℃)，周二温差是18-5=13（℃），周三温差是 16-10=6(℃)，周四温差是23-12=11（℃），周五温差 是25-11=14（℃），周六温差是21-8=13（℃），周日 温差是15-7=8（℃）。因为当一天内的温差超过12℃ 时，生猪可能出现生理异常，所以为了预防生猪生理 异常，养殖场需要在周二、周五、周六这三天进行人工 调节温度。6.解：(1)1h,约3.5h。(2)注射 药液后约1.5h血液中药液含量最多，最多是6μg。 (3)7点钟后病人的病情开始得到控制。7.解： (1)学生注意力指数最大值是50，学生保持注意力指 数最大值的时间为20分钟。 (2)观察图象可得， 第5分钟时，学生的注意力指数大约为35，第40分 钟时，学生的注意力指数大约为40，所以第40分钟 时学生的注意力更集中。 (3)观察图象可知，开始 学习大约7分钟以后注意力指数超过40，在40分钟 之前注意力指数都不低于40，因为40-7=33>30，所以 这课堂学习安排是合理的。8.B9.A 4用图象表示变量之间的关系（第2课时） 1.汽车以80km/h的速度匀速行驶2.(1)3 (2)5(3)33.A4.B5.A6.D7.解：由已 知和图象可得，图③表示小刚离家的距离与时间的关 系，图①表示爷爷离家的距离与时间的关系，图②表 示爸爸离家的距离与时间的关系。其中小刚走完一个 往返用21min,小刚的爷爷用了26min,小刚的爸爸 用了24min。8.解：答案不唯一，如：①①甲、乙两 名同学都骑行了18km;②甲同学中途停留了0.5h; ③乙比甲晚出发了0.5h；④乙同学骑自行车的速度为 12km/h;⑤甲比乙晚0.5h到达目的地。9.解：小 明从家中出发3min骑了1km,接着用5min骑了 1km,发现时间不够，于是加快了速度，用4min骑 了2km到达学校。10.解：(1)反映了速度与时 间之间的关系。 (2)OA段，随着时间增加速度也 增大；AB段，随着时间增加速度不变；BC段，随着 时间增加速度也增大；CD段，随着时间增加速度减 小。 (3)某人开车从家里出发，加速行驶3mim 后，开始以40k/h的速度匀速行驶，看见前面有车 开始加速超车，3min之后速度达到60kmh,开始减 速，行驶6min后停车。 11.解：(1)A点表示汽 车行驶6min时的速度为90km/h,B点表示大约19 min时，汽车停止运动。 (2)0到3min加速行驶。 3min到12min以90km/h的速度匀速行驶，12min 到15min减速行驶，15min到18min以30kmh的 速度匀速行驶，18min到19min减速至停止行驶。 (3)画图略。12.甲13.C14.C15.C16.A 17.D18.C19.A20.C 综合与实践一 1.解：(1)1+2+3+4+5+6+7+8+9=10x9=45。 (2)(1+2+3+45+6+7+8+9)=(109)2=45-=2025。 (3)13+23+33+43+53+63+73+8+9=1+8+27+64+125+216+ 343+512+729=2025。 (4)1到9连续自然数的和的 平方与1到9连续自然数的立方的和都等于2025，也 等于45的平方。2.解：(1)根据题意可知，4×2= 8,7×2=14>9,0×2=0,∴完成第1次操作后的数为 850。.8×2=16>9,5×2=10>9,0x2=0,..完成第2次 操作后的数为710。.7x2=14>9,1x2=2,0x2=0,.完 成第3次操作后的数为520。.5×2=10>9.2x2=4,0× 2=0,·.完成第4次操作后的数为140。.1×2=2,4×2= 8,0×2=0,.完成第5次操作后的数为280.2×2= 4,8×2=16>9,0×2=0,·.完成第6次操作后的数为 470。由上述推导过程发现，第6次操作后得到的三位 数为470，因此从第7次操作开始又重复上述的过程 即每6次操作为一个循环。 (2)根据前6次的操作 规律可知，每6次操作为一个循环，2026-6=337 4,∴.完成第2026次操作后，得到的三位数是140 3.解：(1)任意写两个满足题设条件的三位数 如：567.789.得到新的三位数为765.987.将它们 分别作差，得765-567=198,987-789=198。 (2) 规律：任意满足题设条件的三位数，将数字反序组成 一个较大的三位数，按题设要求作差后都等于198。 设相连的三个数字为n,n+1,n+2(其中1≤n≤7)， 则这三位数为100n+10(n+1)+(n+2),反序排成一个新 的三位数为100(n+2)+10(n+1)+n,则100(n+2)+10(n+ 1)+n-[100n+10(n+1)+(n+2)]=100(n+2)-100n-2=200- 2=198.4.解：(1)1+2=3,123不是“三角形 数”；·.2+9>8,8+9>2,2+8>9，.298是“三角形数”。 1 参考答案与提示 (2)设“三角形数”M的百位上的数字为a,十位 上的数字为b,个位上的数字为c,则M=abc(代数中 任意三位数的表示方式)，且c=b+3。根据题意， F(M)=ab +ac +bc =10a+b+10a+c+10b+c=20a+11b+2c, G(M)=a+b+c,.∴.20F(M)+22G(M)=20(20a+11b+2c)+ 22(a+b+c)=400a+220b+40c+22a+22b+22c=422a+242b+ 62c=47×9a+27x9b+7×9c-(a+b+c)。·.20F(M)+22G(M) 能被9整除，..a+b+c能被9整除。.c=b+3,∴.a+b+c= a+2b+3。.1≤a≤9,1≤b≤6,1≤c≤9，且a,b,c 为整数，故a+b+c≤24。a+b+c能被9整除，.a+b+ c=a+2b+3=9或18。当a+2b+3=9时，a=2,b=2,c=5 或a=4,b=1,c=4;当a+2b+3=18时，a=3,b=6,c=9 或a=5,b=5,c=8或a=7,b=4,c=7或a=9,b=3,c= 6。.M的值为225,414,369,558,747,936。其中 225,369,936不是“三角形数”，∴.满足条件的M的值为 414,558,747。*5.解：(1)12349876 (2)》 ①6②11(3)Fs)=32+2x0+++13+(+1)32 222 300+20+x+200+10x+(+1)+100x+10(+1)+3+100(+1)+30+2 222 666+111x+111y_6+x+y 222 2 F(t)=ml1(n+2)+1(n+2)6+n+2)6m+6ml_ 222 100m+10+(n+2)+100+10(n+2)+6+100(n+2)+60+m+600+10m+1= 222 999+111m+111n_9+m+n k=Fs-6++ 。‘s,t 222 F(t)9+m+n 都是“平衡数”，.3+y+1=2+x,6+m=1+n+2。.x=y+2 n=m+3。又x,y,m,n都是整数，且1≤x≤9,0≤ y≤8,1≤m≤9,0≤n≤7,1≤x≤9,0≤y≤ 7,1≤m≤4,0≤n≤7，k==6+4y=8+2 F(t)9+m+n12+2m 4。:F(s)+F0)=6+y+y+9+m+n=6++y,9+m+n= 6+m 2 2 2 0+y+m,且10++m≥12是一个完全平方数，k= 取最小值，m取最大值，y取最小值，即m=4,y= 2时，Fs)+F(t)=16,k取最小3 0 综合与实践二 1.解：素材：∠1=∠2。：∠EFA=∠EFB=90°，∴ ∠EFA=0+∠1，∠EFB=0+L2,且0=02，∴.∠1=∠2。 任务1：进人潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线 GH平行。理由：AB∥CD,∴.∠2=∠3。∠1=∠2， ∠3=∠4，∴.∠1=∠2=∠3=∠4。∴.180°-∠1-∠2=180°- ∠3-∠4，即∠EFG=∠FGH。∴.EF∥GH。任务2： ·.EF∥GH,.∴.∠FEG+∠EGH=180°。 M ·.∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH= A B 360°，∴.∠1+∠2+∠3+∠4=180°。： ∠1=∠2，∠3=∠4，∴.∠2+∠3=90°。 06 .·∠ABC+∠2+∠3=180°，.∠ABC= 180°-（∠2+∠3）=90°，即=90°。拓 N C P 展应用：如图，过点O作OE∥AB, 过点N作NF∥AB。:入射光线AB 第1题答图 与反射光线CD平行，：AB∥ m OE∥NF∥CD。.∴.∠MOE= D/G ∠MBA=Q,∠FNP=∠DCP=B, ∠EON+∠ONF=180°。. ∠BON+∠ONC=∠MOE+ ∠EON+∠ONF+∠FNP=Q+B+ 180°。2.解：(1)A0∥CB。 第2题答图变量之间的关系 第六章 用图象表示变量之间的关系（第1课时) 自主导学Q典例精析 -es多色B 例题如图表示了某港口某日从0时到6时水深变化的 4水深/m 81 情况。根据图象回答下列问题： (1)大约什么时刻港口的水最深？大约是多少米？ (2)A点表示的实际意义是什么？ (3)大约在什么时间时港口的水深为5m? (4)说说这个港口从0时到6时的水位是怎样变化的，具 2 3456时间/时 体变化了多少。 例题图 【分析】(1)找到图象中的最高点在网格上所对应的时间和水深的数值。 (2)图象上的每个点所表示的实际意义是某一个时刻时该港口中水的深度，故A点所 表示的实际意义是4时该港口水的深度。 (3)先在网格上找到水深5所对应的水平直线，该直线与图象交于两点，然后再找到 这两点所对应的时间。 (4)观察图象什么时间段水深逐渐增加，什么时间段水深逐渐减少，然后用最高点水深 的深度减去0时水的深度，即可得到增加量，最后用最高点水深的深度减去6时水的深度， 即可得到减少量。 【解答】(1)大约3时港口的水最深，大约是7m。 (2)A点表示4时时水深大约6.5m。 (3)大约在0.5时和5.3时时，港口的水深为5m。 (4)当时间在0~3时之间时，港口水深逐渐增加，水深增加了约3m;当时间在3~6时 之间时，港口水深逐渐减少，水深减少了约4m。 【点拨】认真观察图象，弄清楚谁是自变量，谁是因变量，然后由图象上的点确定自变 量及因变量的对应值是解题的关键。 基础巩固达标闯关 多 Ah/m 1.如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h(m) 13 随飞行时间t(s)的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为 10 A.5 m B.7m C.10m D.13m 1 23 t/s 第1题图 127 数学 七年级下册（北师大版） 2.已知缆车从起点行驶到终点需花费 4海拔高度/m 8min,如图表示行驶过程中缆车的海拔高度 350 300 与行驶时间的关系。根据图象判断，下列说法 250 200 正确的是() 150 100 A.终点的海拔高度比起点高300m,行 50 0 3 4 驶时间的前4min都在上升 5678时间min 第2题图 B.终点的海拔高度比起点高300m,行驶时间的后4min都在上升 C.终点的海拔高度比起点高350m,行驶时间的前4min都在上升 D.终点的海拔高度比起点高350m,行驶时间的后4min都在上升 3.某病人因发烧进医院治疗，医生开药打针后，护士每小时为病人测体温，及时了解病 人的好转情况，现护士把测得的体温制成如图所示的图象，请根据图象回答下列问题： (1)病人在什么时候体温最高？大约是多少？ (2)病人在中午12时时的体温是多少？ (3)病人在什么时间后体温稳定在正常状态？ 4体温/℃ 40.6 40.2 39.8 39.4 39.0 38.6 38.2 37.8 37.4 37.0 6789101112131415161718t/时 第3题图 4.如图为某水库的水位高度h()随月份t(月)变化的图象，请根据图象回答下列 问题： (1)5月、10月的水位各是多少米？ (2)最高水位和最低水位各是多少米？分别在几月？ (3)水库水位为100m时是几月？ (4)请你估计6月、7月的水位高度是多少米。 Ah/m 160------“ 140 120 100 80 0123456789101112t/月 第4题图 @ 变量之间的关系 第六章 能力提升睡综合拓展 5.研究表明，温度对生猪饲养有一定的影响。下图是某生猪饲养场查阅的下一周天气预 报情况，根据图中信息回答下列问题： (1)周二的最高气温与最低气温分别是多少？ (2)图中点A表示的实际意义是什么？ (3)当一天内的温差超过12℃时，生猪可能出现生理异常。为了预防生猪生理异常， 养殖场需要在哪几天进行人工调节温度？ 4气温/℃ 30 25℃ 一最高气温 20-18 23℃ 210 A --最低气温 1513℃ ▣6C 15℃ 10 4℃⑩℃12℃_8℃- 5℃ 7℃ 0 周一周二周三周四周五周六周日时间 第5题图 6.如图，成人按规定的剂量注射某种抗生素注射药液后，人体中每毫升血液中的含药量 y(g)与时间t(h)之间的关系近似地满足下图所示的图象。 (1)据临床观察，每毫升血液中含药量不少于4g时，控制病情是有效的。如果病人 按规定的剂量注射该药液，那么这一次注射的药液经过多长时间后开始有效控制病情？这个 有效时间有多长？ (2)注射药液以后，多长时间后血液中药液含量最多？最多药量是多少？ (3)假若某病人第一次注射药液是早晨6点钟，那么几点钟后病人的病情开始得到控制？ Ay/ug 3 2 012345678910th 第6题图 @ 口数学 七年级下册（北师大版） *7.心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课堂中，学生的注意力随学习时间 的变化而变化。开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较 为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散。经过实验分析可知，学生的注意力指数y 随时间x(分钟)的变化规律如图所示。根据图象回答下列问题： (1)学生注意力指数的最大值是多少？学生保持注意力指数最大值的时间为多少？ (2)开始学习后的第5分钟与第40分钟相比较，哪个时间学生的注意力更集中？ (3)张老师的课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测、研学随练、检学综练”。 其中重点环节是“研学随练”，这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学 习时的注意力指数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理，并说明理由。 50 20 010 304045x/分钟 第7题图 中考链接©真题演练 8.(2025·广西)生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量 y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线。下列说法正确的是() A.第5天的种群数量为300个 B.前3天种群数量持续增长 C.第3天的种群数量达到最大 D.每天增加的种群数量相同 跳跃高度m 种群数量个 400----- 甲。 ◆丁 300 ·丙 200 100 0 123456时间/天 身高/m 第8题图 第9题图 9.(2025·江西)在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获 胜者。甲、乙、丙、丁四名同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同 学是() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 1so