浙江杭州学军中学2025-2026学年第二学期开学考试高一数学试卷

杭州学军中学2025学年第二学期开学考试 高一数学试卷 命题人：徐雪青 审题人：张俊勇 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 一、单选题 1．若集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，在下列区间中，一定存在零点的是（    ） A． B． C． D． 3．函数的图象大致为（　　） A．B．C．D． 4．命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．记函数（）的最小正周期为，且，将的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 6．已知，则（   ） A．-8 B．-6 C． D．8 7．已知是定义在R上的奇函数，且，若对任意的，且，均有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．已知实数满足，则（　　） A． B． C．2 D．2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列函数满足既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 10．已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数 ，则下列结论正确的是（   ） A．函数 是偶函数 B．函数 的最小正周期为 2 C．函数 在区间 存在最小值 D．方程 在区间 内所有根的和为 10 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知向量，，若，且，则______． 13．若函数（且）的图象不经过第三象限，则a的取值范围为_______． 14．在中，，在上，，，与的夹角为，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知向量，满足， (1)若，求的值； (2)若，求在上的投影向量的坐标. 16．已知函数过原点且. (1)求k值并证明为偶函数； (2)若方程有且只有一个解，求实数a的取值范围. 17．已知函数，且． (1)求函数的最小正周期； (2)将函数的图象上每一个点的横坐标变为原来的4倍，再将纵坐标变为原来的，得到函数的图象，求的对称中心． 18．记的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足． (1)证明：； (2)若为锐角，点为边BC上一点，AM平分，且，，求的值． 19．已知函数. (1)设函数. （i）若的图象经过两个定点，求线段的长； （ii）当时，在上单调，求的取值范围. (2)若满足，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州学军中学2025学年第二学期开学考试 高一数学参考答案 命题人：徐雪青 审题人：张俊勇 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B A D A C A 二、多选题 题号 9 10 11 答案 BCD ACD AD 三、填空题 12．2 13． 14． 四、解答题 15．【详解】（1）由题得，   ，∴.   ∴ （2）   ∴.   ∴.    ∴投影向量坐标为， ∴投影向量坐标为. 16．【详解】（1）由题意可知，所以，解得， 则， 证明如下：函数的定义域为R关于原点对称， ， 所以，所以为偶函数. （2）， 所以，令，所以方程仅有一个正根， 当时，与题意不符， 当时，，两根之积为， 即方程恒有一个正根一个负根符合题意， 当时，， 若，则或， 当时，两根之和为，两根之积为，则方程有两个负根与题意不符， 当时，两根之和为，两根之积为，则方程有两个正根与题意不符， 若，则或，当时，方程化简为，仅有一个根-2与题意不符， 当时，方程化简为，仅有一个根满足题意， 综上或. 17．【详解】（1）因为，则，即， 所以，解得， 由可得，，则函数的最小正周期． （2）由（1）可得，将函数的图象上每一个点的横坐标变为原来的4倍，得到函数的图象，再将纵坐标变为原来的，得到函数的图象． 令，即， 故的对称中心为． 18．【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理， 所以，即， 由正弦定理得， 又在中，， 所以 ， 所以，即. （2）设，因为AM平分，且， 则， 由（1）知，，则， 所以， 因为， 所以， 则，又， 则，则，，， 在中，由正弦定理得，则，得， 所以， 在中，由正弦定理，得，解得. 19．【详解】（1）（i）， 要的图象经过定点，则的值与无关， 即的值与无关. 令，解得或,， 故线段的长为. （ii）当时，， 令，得，解得或， 故的定义域为. 又在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增. 因为在上单调，所以或，解得或， 故的取值范围为. （2）因为， 所以，即. 设， 易知与在上单调递增，所以在上单调递增， 同理可得在上单调递增. 因为， ，所以. 因为，， 所以，所以，所以，即. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $