第五章问题解决策略：转化 导学案 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第五章　图形的轴对称1. 概念探究：出示一组图形（蝴蝶、正方形、圆、等腰三角形、平行四边形），引导学生分组操作，将每个图形沿着一条直线对折，观察哪些图形两侧能完全重合，哪些不能。 师生共同总结：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作这个图形的对称轴。 2. 巩固辨析：结合操作结果，强调两个核心：① 对折后两侧完全重合；② 有一条或多条对称轴。举例说明：正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，平行四边形不是轴对称图形（对折后不能完全重合）。 补充说明：对称轴是直线，不是线段或射线，规范对称轴的表述，避免书写错误。 （二）两个图形关于直线对称 1. 概念探究：出示两组图形（两个全等的蝴蝶、两个全等的等腰三角形），引导学生观察：这两组图形有什么关系？将其中一个图形沿着某条直线对折，能否与另一个图形完全重合？ 总结定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对应点（也叫对称点）。 2. 易错辨析：引导学生区分“轴对称图形”与“两个图形关于直线对称”：前者是一个图形自身具有的对称性质，后者是两个图形之间的对称关系，但两者都离不开对称轴和重合的特征。 （三）轴对称的基本性质 1. 动手探究：引导学生在练习本上画一个点A，过点A画一条直线l，作出点A关于直线l的对称点A'，连接AA'，观察AA'与直线l的关系；再画一个三角形ABC，作出它关于直线l的对称三角形A'B'C'，观察对应边、对应角的关系。 2. 性质总结：结合操作结果，师生共同推导轴对称的基本性质： （1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分； （2）对应线段相等； （3）对应角相等。 举例示范：点A与点A'关于直线l对称，则直线l垂直平分AA'；三角形ABC与三角形A'B'C'关于直线l对称，则AB=A'B'，∠A=∠A'，直线l垂直平分AA'、BB'、CC'。 强调：轴对称的性质是后续作图和计算的基础，要牢记对应点、对应线段、对应角的关系。 （四）简单的轴对称作图 示范基本步骤：以作点A关于直线l的对称点A'为例，① 过点A作直线l的垂线，垂足为O；② 延长AO至A'，使OA'=OA；③ 点A'即为点A关于直线l的对称点。强调作图规范，垂足标注清晰，线段长度相等。 三、例题解析，深化理解（10分钟） 例1：判断下列图形是否为轴对称图形，若是，指出其对称轴的条数： （1）长方形；（2）等腰梯形；（3）三角形；（4）圆。 解析：（1）是轴对称图形，有2条对称轴（两组对边的垂直平分线）；（2）是轴对称图形，有1条对称轴（两底中点的连线）；（3）不一定是轴对称图形，等腰三角形是，不等边三角形不是；（4）是轴对称图形，有无数条对称轴（过圆心的任意一条直线）。 例2：已知点P关于直线l的对称点是P'，直线l垂直平分PP'，若PP'=6cm，求点P到直线l的距离。 解析：根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点所连的线段，所以点P到直线l的距离是PP'长度的一半，即6÷2=3cm。 例3：画出线段AB关于直线l的对称线段A'B'。 解析：按照轴对称作图步骤，① 分别作出点A、点B关于直线l的对称点A'、B'；② 连接A'B'，即为线段AB关于直线l的对称线段。标注对称轴、垂足和对称点，确保作图规范。 补充说明：作图的关键是找准对应点，利用“对称轴垂直平分对应点连线”的性质，确保对称点位置准确。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：判断下列图形是否为轴对称图形，若是，画出1条对称轴；（1）菱形；（2）直角三角形；（3）五角星。 2. 提升题：已知三角形ABC关于直线l对称，其中A(2,3)，其对称点A'(2,-1)，求对称轴l的位置。 3. 拓展题：画出三角形ABC关于直线l的对称三角形A'B'C'，学生独立完成，小组内互相核对。 学生完成后，小组内核对答案，教师巡视指导，针对共性错误（如混淆两个对称概念、作图时对应点距离不对称、对称轴标注错误）进行重点讲解，强化对轴对称定义、性质和作图的掌握。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理本节课核心知识：1. 轴对称图形：一个图形沿直线对折后两侧完全重合，有对称轴；2. 两个图形关于直线对称：两个图形沿直线对折后完全重合，有对称轴和对称点；3. 轴对称性质：对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段、对应角相等；4. 简单轴对称作图：找准对应点，规范操作。 引导学生反思：本节课你学会了什么？还有哪些不懂的地方？快速提问反馈，及时解决遗留疑问，强调轴对称在生活和几何中的应用，为后续学习等腰三角形、轴对称的综合应用奠定基础。 问题解决策略：转化 【素养目标】 1．通过将新的、陌生的问题转化为已经研究过的、熟悉的问题，发展学生解决问题的能力． 2．经历具体解题思路的探究过程，了解“转化”策略的意义与过程． 3．运用“转化”策略解决生活情境中的几何问题，进一步体会“转化”策略的应用价值，增强数学的应用意识，提高学生的分析问题、解决问题的能力与几何推理能力． 重点：理解“转化”策略的价值，初步掌握转化的方法和技巧． 难点：运用“转化”的策略解决实际问题。 【复习导入】 观察图形，回答问题： 这两个图形的形状有什么特别的吗？看图后你能提出什么数学问题？ 你猜测它们的面积有什么关系？你能说明理由吗？ 【合作探究】 探究一：线段和“最短”问题 问题：如图，某工厂计划在一条笔直的道路上设立一个储物点，工作人员每天进人工厂大门后，先到储物点取物品，然后再到车间. 你认为该储物点应建在什么地方，才能使工作人员所走的路程最短? 活动1：如果把大门、车间和储物点所在的位置都看作点，把道路看作一条直线，那么上述问题可以抽象成怎样的数学问题？试着写一写、画一画． 问题1：你以前遇到过类似的问题吗？关于“最短”，你有哪些认识？ 问题2：相信你能解决以下问题： 如图，直线l的两侧分别有A，B两点，在直线l上确定一个点C，使AC＋CB最短．原问题与图中这个问题有什么区别和联系？你能将原问题转化为图中这样的问题吗？说说你的想法． [典例精析] 例1 如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶马群先到河边饮水，再到草地上吃草，最后回到营地，请你为牧马人设计出最短的牧马路线．(保留画图痕迹) 例2 如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 为 4，面积为 24，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交边 AC，AB 于点 E，F，若 D 为 BC 边的中点，M 为线段 EF 上一动点，则△CDM 的周长的最小值为 ( 　) A.8 B.10 C.12 D.14 变式 如图，在△ABC 中，AB＝AC，BC＝4，△ABC 的面积是 14，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 于点 E，F .若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF上一动点，则 CM+DM 的最小值为 (　 ) A.21 B.7 C.4 D.2 例3 如图，已知 ∠AOB 的大小为 30°，P 是 ∠AOB 内部的一个定点，且 OP＝1，点 E、F 分别是 OA、OB 上的动点，则 △PEF 周长的最小值等于 ( 　) 探究二：转化在代数中的应用 活动2：利用学过的知识计算：＋＋＋＋＋，你准备怎样解决这个问题？分小组讨论，展示过程和答案． 要点归纳：1.运用“转化”策略，可以化繁为简，化难为易，化不熟悉为熟悉． 2．转化思想的方法和步骤：分析问题，找到转化点；确定转化方法；进行转化；解决问题．　 [要点归纳]其实“转化”的策略并不神秘，在我们以前的学习中就曾经很多次运用了“转化”的策略，你能回想出哪些呢？ ①三角形(梯形)面积→平行四边形面积→长方形面积 ②圆形→长方形(三角形、梯形) ③小数乘法→整数乘法 ④分数除法→分数乘法…… 除了学过的数学知识，我们生活中也有很多这样的问题，同学们可以讨论交流自己遇到的运用转化解决的问题． 例4 下面的推导过程中，运用“转化”思想的是（ ） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③ 当堂反馈 请用转化策略解答下列问题. 1.如图，正方形的边长为 1，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积. 2.如图，四边形 ABCD 和四边形 BEFC 都是边长为 2 的正方形. 以点 B 为圆心、AB 的长为半径的圆与正方形 ABCD 交于 A，C 两点，连接 AF. 求图中阴影部分的面积. 3. (1) 有两堆数量相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，每次取的棋子数量不限，但不能不取. 规定取得最后一枚者获胜.你认为获胜的策略是什么? (2) 如果两堆棋子的数量不等，获胜的策略又是什么? 4. 如图，定点 P 位于∠AOB 的内部，在射线 OA 和 OB 上分别确定点 M，N，使得△PMN 的周长最小.（不写作法，保留作图痕迹） 参考答案 【合作探究】 探究一：线段和“最短”问题 要点归纳： 异侧两点求线段和最小值 同侧两点求线段和最小值 已知：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 已知：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小 结论1：连接AB交直线l于点P，此时PA＋PB的值最小，最小值为AB的长 结论2：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交直线l于点P，此时PA＋PB的值最小，最小值为AB′的长 [典例精析] 例1解：如图，分别作M关于河与草地所在直线的对称点，记为M′、M″，连接M′M″交河与草地所在直线于P和Q. 由对称性知，PM＝PM′，QM＝QM″， ∴MP＋PQ＋MQ＝PM′＋PQ＋QM″＝M′M″. ∴MP－PQ－QM即为最短路线． 例2 D 变式 B 例3 C 探究二：转化在代数中的应用 方法一：通分转化，都变成分母是64的分数． 方法二：式子中每个分数的分子都是1，分母依次乘2，转化为边长为1的正方形，如图所示，涂色部分的面积可以用1减去空白部分的面积，1－＝. 例4 D 当堂反馈 1.S阴影=4（S半圆−S三角形）= 2S圆−S正方形 = 2×π×()2−1= −1. 2.S阴 = S圆+S正方形BEFC－S△AEF= ×π×22 + 2×2−×2×4=π+4−4=π 3. 解：(1) 获胜的策略是后取，采用“对称”的方法：不管对方取几个，在另一堆取相同的个数. (2) 两堆棋子数量不等时，获胜策略是先取者先在棋子数量多的一堆取棋子，使两堆棋子数量相等，之后每次在另一堆取与对方相同数量的棋子，就能确保最终获胜. 4. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $