5.1 轴对称现象 导学案 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第五章　图形的轴对称 5.1　轴对称及其性质1. 概念探究：出示一组图形（蝴蝶、正方形、圆、等腰三角形、平行四边形），引导学生分组操作，将每个图形沿着一条直线对折，观察哪些图形两侧能完全重合，哪些不能。 师生共同总结：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作这个图形的对称轴。 2. 巩固辨析：结合操作结果，强调两个核心：① 对折后两侧完全重合；② 有一条或多条对称轴。举例说明：正方形有4条对称轴，圆有无数条对称轴，等腰三角形有1条对称轴，平行四边形不是轴对称图形（对折后不能完全重合）。 补充说明：对称轴是直线，不是线段或射线，规范对称轴的表述，避免书写错误。 （二）两个图形关于直线对称 1. 概念探究：出示两组图形（两个全等的蝴蝶、两个全等的等腰三角形），引导学生观察：这两组图形有什么关系？将其中一个图形沿着某条直线对折，能否与另一个图形完全重合？ 总结定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对应点（也叫对称点）。 2. 易错辨析：引导学生区分“轴对称图形”与“两个图形关于直线对称”：前者是一个图形自身具有的对称性质，后者是两个图形之间的对称关系，但两者都离不开对称轴和重合的特征。 （三）轴对称的基本性质 1. 动手探究：引导学生在练习本上画一个点A，过点A画一条直线l，作出点A关于直线l的对称点A'，连接AA'，观察AA'与直线l的关系；再画一个三角形ABC，作出它关于直线l的对称三角形A'B'C'，观察对应边、对应角的关系。 2. 性质总结：结合操作结果，师生共同推导轴对称的基本性质： （1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分； （2）对应线段相等； （3）对应角相等。 举例示范：点A与点A'关于直线l对称，则直线l垂直平分AA'；三角形ABC与三角形A'B'C'关于直线l对称，则AB=A'B'，∠A=∠A'，直线l垂直平分AA'、BB'、CC'。 强调：轴对称的性质是后续作图和计算的基础，要牢记对应点、对应线段、对应角的关系。 （四）简单的轴对称作图 示范基本步骤：以作点A关于直线l的对称点A'为例，① 过点A作直线l的垂线，垂足为O；② 延长AO至A'，使OA'=OA；③ 点A'即为点A关于直线l的对称点。强调作图规范，垂足标注清晰，线段长度相等。 三、例题解析，深化理解（10分钟） 例1：判断下列图形是否为轴对称图形，若是，指出其对称轴的条数： （1）长方形；（2）等腰梯形；（3）三角形；（4）圆。 解析：（1）是轴对称图形，有2条对称轴（两组对边的垂直平分线）；（2）是轴对称图形，有1条对称轴（两底中点的连线）；（3）不一定是轴对称图形，等腰三角形是，不等边三角形不是；（4）是轴对称图形，有无数条对称轴（过圆心的任意一条直线）。 例2：已知点P关于直线l的对称点是P'，直线l垂直平分PP'，若PP'=6cm，求点P到直线l的距离。 解析：根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点所连的线段，所以点P到直线l的距离是PP'长度的一半，即6÷2=3cm。 例3：画出线段AB关于直线l的对称线段A'B'。 解析：按照轴对称作图步骤，① 分别作出点A、点B关于直线l的对称点A'、B'；② 连接A'B'，即为线段AB关于直线l的对称线段。标注对称轴、垂足和对称点，确保作图规范。 补充说明：作图的关键是找准对应点，利用“对称轴垂直平分对应点连线”的性质，确保对称点位置准确。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：判断下列图形是否为轴对称图形，若是，画出1条对称轴；（1）菱形；（2）直角三角形；（3）五角星。 2. 提升题：已知三角形ABC关于直线l对称，其中A(2,3)，其对称点A'(2,-1)，求对称轴l的位置。 3. 拓展题：画出三角形ABC关于直线l的对称三角形A'B'C'，学生独立完成，小组内互相核对。 学生完成后，小组内核对答案，教师巡视指导，针对共性错误（如混淆两个对称概念、作图时对应点距离不对称、对称轴标注错误）进行重点讲解，强化对轴对称定义、性质和作图的掌握。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理本节课核心知识：1. 轴对称图形：一个图形沿直线对折后两侧完全重合，有对称轴；2. 两个图形关于直线对称：两个图形沿直线对折后完全重合，有对称轴和对称点；3. 轴对称性质：对应点连线被对称轴垂直平分，对应线段、对应角相等；4. 简单轴对称作图：找准对应点，规范操作。 引导学生反思：本节课你学会了什么？还有哪些不懂的地方？快速提问反馈，及时解决遗留疑问，强调轴对称在生活和几何中的应用，为后续学习等腰三角形、轴对称的综合应用奠定基础。 【素养目标】 1．感知生活中的轴对称现象，了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，理解轴对称的性质，会画出已知轴对称图形的另一半． 2．通过自然界和生活中的例子了解轴对称的概念，在探索轴对称的性质时，经历观察，动手操作，归纳总结的过程，培养探索与实践能力，体会数学由一般到特殊的研究方法． 3．通过认识自然界和生活中的轴对称，感受对称之美，认识轴对称的应用价值，培养学生的审美情趣. 重点：掌握轴对称轴的性质． 难点：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别，理解轴对称的性质． 【复习导入】 生活中很多美丽的图形都带有数学的身影，你能举例说一说吗? 问题：它们有什么共同特点？ 【合作探究】 探究一：轴对称图形及其性质 要点归纳：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴．　 [议一议] 观察图中的图形，这些图形是轴对称图形吗?如果是轴对称图形，请找出它的对称轴. 2．轴对称图形的性质 认识对应点、对应线段、对应角： 如图是一个轴对称图形，直线l是它的对称轴，沿对称轴折叠后，点A与点A′重合，称点A关于对称轴的对应点是点A′.类似地，线段AB关于对称轴的对应线段是线段A′B′，∠B关于对称轴的对应角是∠B′. [合作探究] 问题1：你还能在上图中找出其他的对应点、对应线段和对应角吗？ 问题2：如图是一个轴对称图形，直线l是它的对称轴．观察这个图形，回答下列问题： (1)在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有什么关系？ (2)在图中任意选一组对应角，这两个角之间有什么关系？ (3)连接对应点A与点A′，线段AA′与对称轴之间有什么关系？ 连接其他任意一组对应点再试一试． 探究二：两个图形成轴对称及其性质 观察图中的每组图案，你发现了什么？ 要点归纳：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫作这两个图形的对称轴．　 [典例精析] 例1 右边四组图形中有哪几组图形成轴对称？ [练一练] 1. 找出下面每个轴对称图形的对称轴. [思考·交流]如图，将一张长方形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数，将纸打开后铺平：在铺平的纸中 (1)两个“14”之间有什么关系？ (2)对应线段之间有什么关系？对应角之间有什么关系？连接对应点的线段与对称轴l之间有什么关系？请举例说明，并与同伴进行交流． 要点归纳：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．　 [典例精析] 例2 如图是一个图案的一半， 直线MN是这个轴对称图形的对称轴， 请画出这个图形的另一半． 方法总结：先确定一些特殊的点(如三角形的顶点)，然后作这些特殊点的对称点，再顺次连接． 要点归纳： 轴对称图形 两个图形成轴对称 图形 区别 具有特殊形状的一个图形 有特殊位置关系的两个全等图形 联系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合； 2.可以通过分割或整合互相转化． [典例精析] 例3 如图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，∠A＝100°， ∠B＝125°，∠C＝80°，∠D＝55°，AB＝3 cm，EH＝4 cm. (1)试写出EF，AD的长度； (2)求∠G的度数； (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 当堂反馈 1.在下列“禁毒”“和平”“志愿者”“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是(　　) 2.有下列图形：①角；②线段；③直角三角形；④圆；⑤锐角三角形.其中是轴对称图形的有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.如图，△ABC与△DEF关于直线MN对称，则以下结论中错误的是(　　) A.AB∥DF B.∠B＝∠E C.AB＝DE D.MN垂直平分AD 4.黑体汉字中的“中”“田”“日”等都是轴对称图形，请再写出两个具有这种特征的汉字：　　. 5.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD， 其中∠B＝40°，∠CAD＝60°，则∠BCD的度数为　　. 6.如图，四边形ABCD与四边形FEHG关于直线l对称，∠C＝90°，试求出a，b的长度及∠G的度数.(提示：四边形的内角和为360°) 参考答案 【合作探究】 探究一：轴对称图形及其性质 [合作探究] 问题1：点B和点B′，AC和A′C，∠BAC和∠B′A′C等 问题2：(1)对应线段相等． (2)对应角相等． (3)对应点所连的线段被对称轴垂直平分． 探究二：两个图形成轴对称及其性质 [典例精析] 例1 BD [练一练] 1. [思考·交流](1)关于直线l对称． (2)对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分． [典例精析] 例2 解：如图 ，延长AO至A′，使OA′＝OA；延长BN至B′，使NB′＝NB； 依次连接MA′，MB′，A′B′，A′P，B′P.这样画出来的图形就是这个图形的另一半． [典例精析]例3 解：(1)∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， 且 AB＝3 cm，EH＝4 cm， ∴EF＝AB＝3 cm，AD＝EH＝4 cm. (2)∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，且∠C＝80°，∴∠G＝∠C＝80°. (3)∵对称轴垂直平分对称点的连线， ∴直线MN垂直平分BF. 当堂反馈 1.B 2.　B　 3.　A　 4.　十，古(答案不唯一)　. 5.　160°　 6.解：由题意得四边形ABCD≌四边形FEHG，所以∠H＝∠C＝90°，∠F＝∠A＝80°，AB＝EF＝5cm，EH＝BC＝4cm.所以∠G＝360°－∠H－∠E－∠F＝55°，a＝5cm，b＝4cm. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $