精品解析：四川省荣县中学校2025-2026学年下学期高二年级数学入学巩固练习

2026年上期高二年级数学入学巩固练习 一、单选题（40分） 1. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】因为，所以， 解得：，，即， 故选：C. 2. 已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的（ ） A. 第10项 B. 第11项 C. 第12项 D. 第21项 【答案】B 【解析】 【分析】观察法求出数列的通项公式，令，解方程即可求出结果. 【详解】由题意可知，被开方数是首项为1，公差为2的等差数列，所以该数列的通项公式为，令，解得， 故选：B. 3. 已知双曲线的离心率是2，则其渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出的值，进而可得答案. 【详解】由双曲线可得 ， 所以双曲线的渐近线方程为， 即. 故选：B 4. 已知是等比数列，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的下标性质求解即可. 【详解】由等比数列性质可得，又，所以，所以. 故选：D 5. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用多边形法则即可求解. 【详解】，因为在棱上，且，所以， 又为中点，所以， 故， 故选：A 6. 已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解 【详解】圆的圆心为， 圆的圆心为， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，则， 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 设椭圆方程为，则, 得，所以, 的轨迹方程为， 故选：A 7. 中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得，结合题设判断各项正误即可. 【详解】在中，令可得该建筑室内地面对应的曲线方程为， 由室内地面是面积为的圆，故，①对； 且，则，又不全相等，故，②错； 若，则，可得，与不全相等矛盾，③错； 若，则，故，④对. 故选：B. 8. 已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线与双曲线无公共点，结合直线与渐近线的位置关系，列不等式求解即可. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 因为直线与C无公共点，所以，即， 所以，又，所以C的离心率的取值范围为. 故选：D. 二、多选题（18分） 9. 甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数从小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，则（ ） A. 甲、乙的第70百分位数相等 B. 甲的极差比乙的极差小 C. 甲的平均数比乙的平均数大 D. 甲的方差比乙的方差大 【答案】AB 【解析】 【分析】根据百分位数、极差、平均数和方差相关概念直接求解即可. 【详解】对于A，因为，所以甲的环数的70百分位数是，乙的环数的70百分位数是，故A正确； 对于B，甲的极差为，乙的极差为，故B正确； 对于C，甲的平均数为，乙的平均数为，所以甲的平均数比乙的平均数小，故C错误； 对于D，根据题中数据可知，甲数据分布更集中，而乙数据分布更分散，甲的方差比乙的方差小，故D错误. 故选：AB 10. 如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 二面角的平面角的大小为 D. 存在某个点，使直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A.根据等体积法的等高等底即可判断；应用空间向量法计算得出线线垂直判断B，再应用空间向量法计算线面角的正弦范围得出线面角的最大值为判断D，再结合二面角空间向量法计算判断C. 【详解】对于选项A：三棱锥转化为三棱锥的底面积为定值， 因为平面平面，所以到平面高不变，体积为定值，故选项A正确； 对于选项B： 如图建系，设，则 因为，， 所以得，故选项B正确； 对于选项D：取平面的法向量为， 因为 ， 则设直线与平面ABCD所成角,则， 当时，，这时直线与平面ABCD所成角最大值为，故选项D不正确； 对于选项C：设平面法向量为，， 所以，所以 所以令，可得，设平面法向量为， 设二面角 为，则 所以二面角的大小为，故选项C正确. 故选：ABC. 11. 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则三点共线 C. 若，则抛物线上的点到直线距离的最小值为 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用焦点坐标公式即可求解； 对于B，将直线方程与抛物线联立求出，再用斜率相等证明点共线； 对于C，表示出抛物线上任意一点到直线的距离，结合函数单调性即可求解； 对于D，求出在切点处的切线方程，利用两切线都过点，从而求出直线的方程，再求出点到直线的距离，利用导数即可求解. 【详解】如图： 易得，设直线的方程为，，. 将直线与抛物线联立， 化简整理得，则， 所以，又， 所以，又为公共点，所以三点共线，故B 正确； 设抛物线上的点到直线距离为则， 令，，因为，所以，所以， 所以，当时，取得最小值，又在时单调递减， 故时取得最小值.故C错误； 设，则抛物线在处的切线为：， 化简得，同理抛物线在处的切线为， 又点在两切线上，故，， 所以直线的方程为：，即. 点到直线的距离为：， 令，则 令，得. 当时，；当时，， 故时取得最大值：，故D 正确. 故选：ABD 三、填空题（15分） 12. 抛物线的焦点到准线的距离是______. 【答案】 【解析】 【分析】化方程为标准方程，焦点到准线的距离 【详解】抛物线化为标准方程为抛物线，则其焦准距为，即焦点到准线的距离是. 故答案为： 13. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径； 【详解】 圆柱的底面半径为，设铁球的半径为r，且， 由圆柱与球的性质知， 即，， 故答案为：. 14. 数列的前n项和为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由及递推关系求结果. 【详解】. 故答案为： 四、解答题 15. 已知等差数列前项和为，，. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）设数列，求证：是等比数列，并求出的前项和. 【答案】（1）， （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）设公差，由条件列出关于，的方程组，求解即得数列通项与前项和. （2）求出，由定义法判断数列为等比数列，利用求和公式即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得， 则，. 【小问2详解】 将代入得：， 又，， 所以为首项为，公比为的等比数列. 所以前项和. 16. 某市举办法制知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了100名学生的成绩，并以，，，，为分组，制成了如下图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名学生成绩的第25百分位数； （3）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人．写出试验的样本空间，并求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率． 【答案】（1） （2）分 （3） 样本空间为、、、、、、、、、， 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为可求得的值； （2）根据百分位数的定义计算； （3）列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 由已知可得，解得； 【小问2详解】 由于第一组的频率为，前两组的频率之和为， 所以第25百分位数， 则，得， 故这100名学生成绩的第25百分位数为分； 【小问3详解】 由（1）可知，与这两组人数之比为， 故这两组中所抽取的人数分别为， 记成绩在这组的名学生分别为， 成绩在这组的名学生分别为， 则从中任取人的样本空间为、、、、、、、、、，共种. 其中恰有人成绩在为、、、、、，共种. 故所求概率为. 17. 设圆的圆心在直线上，且都是圆上的点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，求线段中点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，代入圆心以及两点坐标，联立解方程组可求得圆的标准方程； （2）利用垂径定理以及两直线垂直的斜率关系，求得直线的方程，并与直线联立解得交点坐标，即可求出线段中点的坐标. 【小问1详解】 设所求圆的方程为， 由题意得 解得， 因此所求圆的方程为. 【小问2详解】 设中点为， 由垂径定理可知，，又因为，所以直线的斜率为； 可得直线方程为， 联立，得到中点的坐标为. 18. 如图，在四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，，为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成的锐角二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理证明，再由得出平面，进而证明； （2）以点为坐标原点，建立坐标系，利用向量法得出平面与平面所成的锐角二面角的余弦值． 【小问1详解】 连接，由，为中点，得， 又∵四边形为直角梯形，，， 所以，则四边形是平行四边形， ∴， 在中，，，， 则，则， 又平面，平面，， ∴平面， 又平面，∴． 【小问2详解】 由（1）可得，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，， 方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系． ，，，，， 易知平面的法向量为， 设平面的法向量为，，， 则，即，取，， ∴， 故平面与平面所成的锐角二面角的余弦值为． 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于两点，的中点坐标为，求直线的方程； （3）如图所示，过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点．判断点是否为线段的中点，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点为线段的中点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可； （2）设，再根据点差法求解即可； （3）方法一：设过点的直线的方程为，联立椭圆方程，得出韦达定理，再证明即可； 方法二：化简可得只需证明：，再设直线的方程为，联立椭圆的方程，构造可得，进而根据韦达定理证明. 【小问1详解】 由题可知，得． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 设，已知RS的中点坐标为，则 所以，所以， 直线的方程为：，即 所以直线的方程为： 【小问3详解】 方法一：点为线段的中点，理由如下：由题知直线的斜率存在，如下图所示： 设过点的直线的方程为，即． 联立，得． 整理得． 由，得． 设， 则 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 直线的方程为， 令，得点的纵坐标． 要证点为线段的中点，只需证明，即 因为 ， 即， 所以点为线段的中点 方法二：要证点为线段的中点，只需证明：． 只需证明： 只需证明：． 设直线的方程为，即． 由得． 整理得 由得 所以 显然，原命题为真． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期高二年级数学入学巩固练习 一、单选题（40分） 1. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 2. 已知数列1，，，，3，，…，，…，则是这个数列的（ ） A. 第10项 B. 第11项 C. 第12项 D. 第21项 3. 已知双曲线的离心率是2，则其渐近线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是等比数列，，则（ ）. A. B. C. D. 5. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆 和圆 ，若动圆 与圆 外切，同时与圆 内切，则该动圆圆心 的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为（，，且a，b，c不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为的圆，给出下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知直线与双曲线无公共交点，则C的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数从小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10，则（ ） A. 甲、乙的第70百分位数相等 B. 甲的极差比乙的极差小 C. 甲的平均数比乙的平均数大 D. 甲的方差比乙的方差大 10. 如图，正方体的棱长为是棱上的动点（含端点），则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 二面角的平面角的大小为 D. 存在某个点，使直线与平面所成角为 11. 已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线与抛物线交于两点，下列说法正确的是（ ） A. 点的坐标为 B. 过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则三点共线 C. 若，则抛物线上的点到直线距离的最小值为 D. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为 三、填空题（15分） 12. 抛物线的焦点到准线的距离是______. 13. 一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________． 14. 数列的前n项和为，则___________. 四、解答题 15. 已知等差数列前项和为，，. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）设数列，求证：是等比数列，并求出的前项和. 16. 某市举办法制知识竞赛，满分为100分，所有参赛学生的成绩都不低于50分．现从中随机抽取了100名学生的成绩，并以，，，，为分组，制成了如下图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名学生成绩的第25百分位数； （3）现从样本成绩在与两个分数段内，按分层随机抽样的方法选取5人，再从这5人中随机选取2人．写出试验的样本空间，并求这2人中恰有1人的成绩落在内的概率． 17. 设圆的圆心在直线上，且都是圆上的点. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两点，求线段中点的坐标. 18. 如图，在四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，，为的中点． （1）求证：； （2）求平面与平面所成的锐角二面角的余弦值． 19. 已知椭圆的左顶点为，上顶点为为坐标原点，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于两点，的中点坐标为，求直线的方程； （3）如图所示，过点的直线与椭圆交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点．判断点是否为线段的中点，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $