精品解析：湖北枣阳市第一中学2026届高三下学期考前模拟数学热身卷（四）

2026高考数学热身卷（四）一最后一卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法求出A，再利用要使二次根式有意义的未知数的取值范围求出B，再求. 【详解】由于，， 所以. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知， 若，则，当且仅当“”时取“”， 则； 若取，满足，但， 故“”是“”必要不充分条件. 3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性来确定正确答案. 【详解】根据函数的基本性质，逐项判定： 对于A中，函数是奇函数，在区间上单调递增，不合题意； 对于B中，函数是偶函数，在区间上单调递增； 对于C中，函数是偶函数，在区间上单调递减，不合题意； 对于D中，函数是偶函数，在区间上单调递减，不合题意． 故选：B 4. 设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以． 5. 已知随机事件与满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】首先求出事件与同时发生的概率： 根据公式，即，解得.所以. 6. 已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，，为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形，则（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等腰直角三角形性质求出周期及 ，确定  三点坐标，利用向量数量积坐标公式求解. 【详解】由函数  可知，函数的最大值为 ，即点  的纵坐标为 . 因为  为等腰直角三角形，且  为图象的最高点， 为图象与  轴的交点， 所以  到  的距离 ，且 ， 又  等于半个周期，即 ，所以 . 由 ，解得 ，所以 . 令 ，即 ，解得 . 由图象可知， 为  轴左侧靠近原点的零点，取 ，得 ，即 .   为  右侧第二个零点（ 依次排列），相隔一个周期， 所以 ， 即 ，点  的横坐标为  中点的横坐标，即 ， 所以 . 所以 ， . 则 . 7. 点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，然后令，则，再换元后利用二次函数的性质可求得答案. 【详解】如图，设P到的距离分别为， 因为点P是以为直径的单位圆上的动点，所以， 因为P到的距离分别为x，y，所以， 令（）， 所以， 令， 则，所以， 所以， 因为，所以当时， 可得取得最大值. 8. 在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合向量共线得出相关线段比例关系，进而根据三角形的面积公式求解． 【详解】 已知，由共线，设， ，故， ，则， ， ，故，故； 设，则，即，则， ，解得， 由得出，故， 由知，设到的距离为，则， 由知，设到的距离为，则，即， ． 二、多选题 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程的一个根 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数除法的运算得到，再由复数的相关知识逐一判断即可． 【详解】解：， ，故A正确； 的虚部为，故B错误； 在复平面内对应的点为，位于第三象限，故C错误； 方程的根为， 是方程的一个根，故D正确． 10. 如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的有（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆锥展开图中圆心角为 D. 若，一只蚂蚁沿着表面从A爬到C，则最短距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求出圆锥的底面半径r、母线长l和高h，利用圆锥体积公式及侧面积公式可判断A、B；利用弧长公式求出侧面展开图中圆心角判断C；把侧面沿展开，利用余弦定理计算即可判断D． 【详解】选项A：由题意可知，圆锥底面半径，母线长， 则圆锥的高，所以圆锥的体积，故A正确； 选项B：圆锥的侧面积，故B错误； 选项C：圆锥底面周长为， 设侧面展开图的圆心角为α， 则，即，解得，故C正确； 选项D：将圆锥侧面沿母线展开，如图所示， 最短距离为， 因为为底面直径，所以点为弧的中点， 则， 在中，，，， 由余弦定理得， 解得， 即最短距离为，故D正确． 11. 设双曲线的左，右焦点分别为，，圆与的左支在第二象限的公共点为，线段的垂直平分线与的右支在第一象限的公共点为，的面积为，则（ ） A. B. ，，三点共线 C. ，到的距离之积为 D. 若，则是的渐近线 【答案】ABD 【解析】 【分析】由双曲线定义及圆半径即可判断A选项；已知是的垂直平分线，结合双曲线定义判断B选项；设到的距离分别为利用，垂直平分线性质和双曲线的性质，判断C选项；由面积得到直线的距离，通过余弦定理及渐近线公式判断D选项. 【详解】A选项，根据双曲线的定义得， 已知圆的方程为，则圆的半径为，所以， 所以，故A选项正确； B选项，因为直线是线段的垂直平分线，所以， 根据双曲线的定义，有，又因为， 所以，而，即，所以三点共线，选项B正确； C选项，如图，在中，由余弦定理可得, 设到直线的距离为， 则，， 所以，故C错误； D选项，如图，， 因为，所以， 故是等边三角形，即，即， 因为，所以，即， 双曲线的渐近线方程为，将代入可得，即， 所以是的渐近线，选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 若的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的系数为_________． 【答案】60 【解析】 【分析】根据二项式系数和求得，再根据二项展开式的通项公式求出的系数. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为64， 所以，解得， 二项式的展开式通项为， 令，解得， 所以展开式中的系数为. 13. 如图，直三棱柱的侧棱长为2，，， ，分别为的中点，则到平面的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，在三棱锥中，利用等体积法即可求解． 【详解】连接，，，则，，， 因为是直三棱柱，所以平面，则，又因为， 所以平面，所以在三棱锥中，点到平面的距离为， ，，， 则，， 的面积为，三棱锥的体积为． 设点到平面的距离为，在中，， 的面积为，由， 得，得，即点到平面的距离为． 14. 已知直线与曲线，分别交于A，B两点，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】设，所以，， 整理得，， 又在直线上，所以， 要使最小，只需求的最小值， 由得或， 当时，， 当时，， 显然， 所以要求的最小值，则， 令， 则， 令，则， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 所以的最小值为. 四、解答题 15. 已知数列，首项，点是抛物线上一点． （1）求的通项公式； （2）求的前项积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在抛物线上得到递推关系，再通过取对数构造等比数列求通项； （2）再利用指数运算性质结合等比数列求和公式计算的前项积. 【小问1详解】 由点是抛物线上一点，可得， 由，可知对任意， 对两边取对数得， 令，则，变形得， 因为， 故是首项为，公比为2的等比数列， 因此，即， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 则， 由， 则. 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，底面ABCD，M是AD的中点，点N满足，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1）证明：连接交于点，连接． 因为是的中点，，，所以． 又，所以，从而，在平面中，有． 所以，又平面BDN，平面． 所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接、交于点，连接，由是中点、，推出，再结合得，故，由平行线分线段成比例定理得，再由线面平行判定定理，得平面. （2）以为原点建系，写出各点坐标与相关向量，分别求出平面与平面的法向量，再用向量夹角公式算出两平面夹角的余弦值，进而求得正切值为. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面，以为坐标原点，以的方向为轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，底面四边形为菱形，所以易得为等边三角形. 则，，，． 所以，，，． 设为平面的法向量， 则，即 可取． 设为平面的法向量， 则，即，可取． 设平面与平面的夹角为，则， 所以，所以． 设平面与平面的夹角的正切值为． 17. 已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）函数，当时，函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过求导判断导数的正负来确定函数的单调区间； （2）根据关于轴对称的点的坐标关系，将问题转化为方程有解的问题，再通过构造函数，利用导数研究函数的值域来确定的取值范围. 【小问1详解】 由函数，求导可得， 令，即，因为恒成立，所以，解得， 令，即，因为恒成立，所以，解得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. 【小问2详解】 因为当时，函数和的图象上分别存在点和关于轴对称， 那么与在上有交点，即在上有解， 令，则函数在上存在零点， 求导可得，令， 求导可得，由，则在恒成立， 所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，， 当时，，，则，使得， 由得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 由，，则显然成立， 所以函数在上存在零点，符合题意； 当时，，则在上恒成立， 所以函数在上单调递增，则， 显然函数在上不存在零点，不符合题意. 综上所述，. 18. 已知椭圆的方程为，其长轴长为6，且点在上. （1）求的方程； （2）设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点. （i）若，且的重心在轴上，求的方程； （ii）若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）待定系数法即可求解. （2）（i）由三角形的重心坐标公式求得，直线方程与椭圆方程联立韦达定理即可求解； （ii）设的面积，四边形的面积由面积之比可得，直线与椭圆联立韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由长轴长为6，可得，则. 将点的坐标代入椭圆方程，可得， 解得. 故的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）可知，设直线. 联立得可得. 由，可得. 的重心的横坐标为，则， 即，符合， 故直线的方程为. （ii）由（i）可知. 设， 联立得可得， 则 如图，因为的面积， 四边形的面积 所以，得. 故，① ，② 联立①②，得，又在第一象限，所以， 故解得，所以. 19. 某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行落地稳定性测试．假设单次空翻成功落地概率为，测试直到出现“连续成功2次”或“连续失败2次”时立即停止，各次测试相互独立．若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记为恰好次测试后成功终止的概率． （1）求，； （2）求； （3）该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成功概率将在原有基础上增加，（，即成功后动作稳定性会提升）；若某一次空翻落地失败，下一次空翻的成功概率会重置为初始值．现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益时最终“成功终止”的概率提升至少，求满足条件的的最小值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意及独立事件的乘法公式即可求得，； （2）讨论的奇偶，计算对应的概率即可； （3）讨论成功增益为0和有成功增益的情况，分别求出初始状态下最终成功终止的概率和初始状态下最终成功终止的概率，进而根据即可求出的最小值． 【小问1详解】 依题意可得恰好次测试后成功终止（第一次失败，第二、三次成功）的概率为 ， 恰好次测试后成功终止（第一次成功，第二次失败，第三、四次成功）的概率为 ． 【小问2详解】 要在第次成功终止，则必须满足第次和第次均为成功， 当为偶数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败（否则第次就已经成功终止），成功失败各次， 所以； 当为奇数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败（否则第次就已经成功终止），则前次测试成功次，失败次， 所以； 所以，整理得． 【小问3详解】 定义状态为初始状态，为上次测试失败但测试未终止， 为上次测试成功但测试未终止， 设为从状态出发最终终止的概率. 则，故， 当成功增益为0，即时， 将代入得初始状态下最终成功终止的概率， 同理若成功增益， 则初始状态下最终成功终止的概率， 由题设有，故，此时， 所以满足条件的的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考数学热身卷（四）一最后一卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 4. 设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 已知随机事件与满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，，，为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形，则（ ） A. 8 B. C. 16 D. 7. 点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知复数，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程的一个根 10. 如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的有（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆锥展开图中圆心角为 D. 若，一只蚂蚁沿着表面从A爬到C，则最短距离为 11. 设双曲线的左，右焦点分别为，，圆与的左支在第二象限的公共点为，线段的垂直平分线与的右支在第一象限的公共点为，的面积为，则（ ） A. B. ，，三点共线 C. ，到的距离之积为 D. 若，则是的渐近线 三、填空题 12. 若的展开式的二项式系数和为64，则展开式中的系数为_________． 13. 如图，直三棱柱的侧棱长为2，，， ，分别为的中点，则到平面的距离为___________． 14. 已知直线与曲线，分别交于A，B两点，则_____． 四、解答题 15. 已知数列，首项，点是抛物线上一点． （1）求的通项公式； （2）求的前项积． 16. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，底面ABCD，M是AD的中点，点N满足，，． （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正切值． 17. 已知函数， （1）求函数的单调区间； （2）函数，当时，函数和的图象上分别存在点M和N关于x轴对称，求a的取值范围． 18. 已知椭圆的方程为，其长轴长为6，且点在上. （1）求的方程； （2）设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点. （i）若，且的重心在轴上，求的方程； （ii）若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为，求的值. 19. 某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行落地稳定性测试．假设单次空翻成功落地概率为，测试直到出现“连续成功2次”或“连续失败2次”时立即停止，各次测试相互独立．若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记为恰好次测试后成功终止的概率． （1）求，； （2）求； （3）该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成功概率将在原有基础上增加，（，即成功后动作稳定性会提升）；若某一次空翻落地失败，下一次空翻的成功概率会重置为初始值．现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益时最终“成功终止”的概率提升至少，求满足条件的的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $