2.2 第2课时 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行 导学案 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第二章　相交线与平行线 2.2　探索直线平行的条件教师展示生活中相交线的实例：十字路口的两条道路、剪刀的两片刀刃、三角板的两条邻边，引导学生观察：这些图形中两条直线的位置关系有什么共同特点？它们相交后形成了几个角？ 出示图形：直线AB与直线CD相交于点O，提问：两条直线相交时，有几个交点？这些交点有什么特点？引出本节课第一部分内容——相交线，重点探究两条直线相交的基本性质及所成角的关系。 二、探究新知，明确概念（18分钟） 1. 相交线的定义：结合实例和图形，明确定义——当两条直线有且只有一个公共点时，这两条直线叫作相交线，这个公共点叫作它们的交点。强调“有且只有一个公共点”，区分相交线与重合线的差异，说明两条直线相交，交点唯一。 2. 对顶角与邻补角的探究：引导学生观察直线AB与CD相交形成的4个角（标注∠1、∠2、∠3、∠4），分组讨论： （1）邻补角：观察∠1与∠2，它们有一条公共边OC，另一边互为反向延长线，且∠1+∠2=180°，这样的两个角叫作邻补角。类比得出∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1也互为邻补角，强调邻补角的两个核心特征：有公共边、另一边互为反向延长线，且互补。 （2）对顶角：观察∠1与∠3，它们有一个公共顶点O，两边互为反向延长线，这样的两个角叫作对顶角。同理，∠2与∠4互为对顶角。引导学生动手测量4个角的度数，猜想对顶角的关系，最终总结：对顶角相等。 3. 辨析巩固：出示变式图形（两条直线相交角度变化），让学生快速识别对顶角和邻补角，教师巡视指导，纠正易错点：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角；邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角。 三、例题解析，深化理解（10分钟） 例1：如图，直线AB与CD相交于点O，已知∠1=50°，求∠2、∠3、∠4的度数。 解析：先判断角的关系，再计算度数。∠1与∠2互为邻补角，所以∠2=180°-∠1=180°-50°=130°；∠1与∠3互为对顶角，所以∠3=∠1=50°；∠2与∠4互为对顶角，所以∠4=∠2=130°。 例2：判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）邻补角互补；（4）互补的两个角是邻补角。 解析：结合定义逐一判断，（1）（3）正确，符合对顶角和邻补角的性质；（2）（4）错误，举例说明：两个直角相等，但不一定是对顶角；两直线平行时，同旁内角互补，但不是邻补角。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：如图，直线l与m相交于点O，∠1=65°，求其余三个角的度数，学生独立完成，举手汇报。 2. 判断题：（1）两条直线相交，一定有对顶角（ ）；（2）邻补角一定有一条公共边（ ）；（3）对顶角的两边互为反向延长线（ ），纠正易错认知。 3. 提升题：直线AB与CD相交于点O，∠AOC比∠BOC小30°，求∠AOD的度数，培养学生列方程解决几何问题的能力。 学生完成后，小组内核对答案，教师针对共性错误进行重点讲解，强化性质应用。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理：1. 相交线的定义及交点特征；2. 对顶角、邻补角的定义及性质；3. 利用对顶角相等、邻补角互补求未知角的方法。 第二课时：平行线的概念、性质及判定（45分钟） 一、情境引入，衔接旧知（5分钟） 教师回顾上一课时内容：上节课我们学习了相交线，知道两条直线相交时会形成对顶角和邻补角，并且掌握了它们的性质。今天我们来学习两条直线的另一种位置关系——平行线，它在生活中也很常见，且与相交线有着密切的联系。 展示生活中平行线的实例：黑板的上下两条边、课桌的两组对边、铁轨的两条轨道，引导学生观察：这些图形中两条直线的位置关系，与相交线有什么不同？引出本节课核心内容——平行线的概念、性质及判定。 二、探究新知，突破重点（18分钟） 1. 平行线的定义与表示：结合实例和图形，明确定义——在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。强调两个关键条件：① 同一平面内；② 不相交。补充：同一平面内，两条直线的位置关系只有相交或平行（重合不算）。表示方法：直线AB与CD平行，记作“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。 2. 平行线的基本事实：引导学生动手操作，在练习本上画一条直线l，在直线l外取一点P，尝试过点P画一条与直线l平行的直线，观察能画出几条。总结：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3. 平行线的性质：出示图形，两条平行直线AB∥CD被截线EF所截，标注∠1至∠8，引导学生通过测量、推导，得出三个性质： （1）性质1：两直线平行，同位角相等（通过测量同位角∠1和∠5，验证相等关系）； （2）性质2：两直线平行，内错角相等（利用对顶角相等和性质1，通过等量代换推导）； （3）性质3：两直线平行，同旁内角互补（利用邻补角互补和性质1，通过等量代换推导）。 4. 平行线的判定：结合性质逆向推导，得出三个判定方法： （1）判定1：同位角相等，两直线平行； （2）判定2：内错角相等，两直线平行； （3）判定3：同旁内角互补，两直线平行。 辨析巩固：强调“性质”与“判定”的区别——性质是“由平行推角的关系”，判定是“由角的关系推平行”，避免混淆。 三、例题解析，深化应用（10分钟） 例1：如图，AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，已知∠1=60°，求∠2、∠3、∠4的度数。 解析：结合平行线的性质计算，① 同位角相等，∠2=∠1=60°；② 内错角相等，∠3=∠1=60°；③ 同旁内角互补，∠4=180°-60°=120°。 例2：如图，已知∠1=∠2，求证：AB∥CD。 解析：利用平行线的判定方法推导，∵ ∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等），∴ ∠2=∠3（等量代换），∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：如图，AB∥CD，∠1=75°，求∠2、∠3的度数，学生独立完成。 2. 判断题：区分平行线的性质与判定，纠正易错认知（如“内错角相等，两直线平行”是判定，“两直线平行，内错角相等”是性质）。 3. 提升题：如图，∠1+∠2=180°，求证：AB∥CD，强化判定方法的应用。 学生完成后，小组核对答案，教师重点讲解共性错误，区分性质与判定的不同。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理：1. 平行线的定义、表示方法及基本事实；2. 平行线的三个性质和三个判定（区分性质与判定）；3. 利用性质求角度、利用判定证平行的思路。 第三课时：定义、命题、定理、证明及平移（45分钟） 一、情境引入，衔接旧知（5分钟） 教师回顾前两课时内容：我们已经学习了相交线、平行线的性质与判定，在学习过程中，我们用到了很多判断性的语句，比如“对顶角相等”“两直线平行，同位角相等”，这些语句在数学中叫作什么？我们又如何证明它们的正确性？另外，图形的平移也与平行线密切相关，今天我们就来整合这些知识，完成本章的收尾学习。 二、探究新知，整合提升（18分钟） （一）定义、命题、定理、证明 1. 回顾概念：快速梳理上节课所学：① 定义：对名称和术语的含义作出明确规定的语句；② 命题：判断一件事情的语句，由题设和结论组成，分为真命题和假命题；③ 定理：经过推理证实的真命题；④ 证明：推理证实命题正确性的过程，步骤为“画图—已知—求证—证明”，每一步推理需有依据（定义、基本事实、定理）。 2. 巩固应用：举例示范，证明“同旁内角互补，两直线平行”，规范书写证明过程，强调推理依据的重要性。 （二）平移 1. 平移的定义：把一个图形整体沿某一条直线方向移动，形状、大小、方向不变，只有位置改变，这种图形运动叫作平移。强调三个核心特征，结合生活实例巩固。 2. 平移的性质：① 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等；② 对应线段平行（或在同一直线上）且相等；③ 对应角相等。补充：平移的方向是对应点连线的方向，距离是对应点连线的长度。 3. 平移的作图：示范基本步骤：确定方向和距离→找关键点→移对应点→连图形，强调作图规范。 三、例题解析，综合应用（10分钟） 例1：判断下列语句是否是命题，若是，指出题设和结论，判断真假，并说明是否是定理： （1）两直线平行，内错角相等；（2）画一条线段AB；（3）同角的补角相等。 解析：（1）是命题，题设：两直线平行，结论：内错角相等，真命题，是定理；（2）不是命题，是操作指令；（3）是命题，题设：两个角是同一个角的补角，结论：这两个角相等，真命题，是定理。 例2：如图，三角形ABC沿水平向右平移5cm得到三角形A'B'C'，已知AB=3cm，∠A=70°，求A'B'的长度、∠A'的度数及AA'的长度。 解析：根据平移的性质，A'B'=AB=3cm，∠A'=∠A=70°，AA'=5cm（平移距离）。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：完成“同角的余角相等”的证明，规范书写步骤；判断生活中的平移现象。 2. 提升题：如图，AB∥CD，EF⊥AB，求证：EF⊥CD；画出长方形沿竖直方向平移4cm后的图形。 3. 综合题：结合相交线、平行线、平移的知识，解决简单的几何推理与作图问题，强化知识整合应用。 学生完成后，小组内核对答案，教师巡视指导，针对共性错误进行重点讲解，强化知识的综合应用能力。 五、课堂小结，梳理全章（2分钟） 师生共同梳理全章核心知识：1. 相交线：对顶角、邻补角的定义及性质；2. 平行线：定义、基本事实、性质与判定；3. 推理基础：定义、命题、定理、证明的概念及规范；4. 图形变换：平移的定义、性质及作图。 引导学生反思：本章的重点的是平行线的性质与判定，难点是证明的规范书写和知识的综合应用，梳理本章易错点，为后续复习奠定基础。 第2课时　利用内错角、同旁内角判定两条直线平行 【素养目标】 1．掌握内错角、同旁内角的位置关系． 2．掌握利用内错角、同旁内角判定两条直线平行的判定方法． 3．能够灵活运用两直线平行的判定方法判定平行，逐步养成用数学语言表达交流的习惯，欣赏数学语言的简洁明了． 重点：利用内错角、同旁内角判定两条直线平行． 难点：正确辨别内错角，同旁内角． 【复习导入】 1. 两直线平行的判定是什么? 2.平行线有哪些性质? 【情境导入】 李老师有一块小画板(如图)，他想知道它的上、下边缘是否平行，于是他在两个边缘之间画了一条线段 AB 。 李老师身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗? 【合作探究】 探究一：内错角、同旁内角的概念 探究 如下图，直线 AB、CD 被直线 l 所截得到 ∠1，∠2 和 ∠3 三个角. [知识要点] 问题1 观察上图，你能试着归纳一下内错角的特征吗? 问题2 同理，你能得出同旁内角有哪些特征? [知识要点] 直线 AB、CD 被第三条直线 l 所截得到的图形，一般被简称为“三线八角”. 问题：你能在图中找出几组内错角和同旁内角? [归纳总结] [动手实践] 自己动手画一画几组内错角和同旁内角. [典例精析] 例1 如图，直线DE截AB，AC，构成8个角，指出其中所有的同位角、内错角、同旁内角． 探究二：利用内错角、同旁内角判定两条直线平行 【思考·交流】 (1) 内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ (2) 同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？ 要点归纳： [典例精析] 例2 如图，BE是AB的延长线． (1)由∠CBE＝∠A可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ (2)添加一个条件使AE∥CD. (3)由∠D＋∠A＝180°可以判定哪两条直线平行？根据是什么？ [归纳总结] 判定两条直线平行的方法 探究三：画一条直线与已知直线平行 【观察·交流】 (1) 如图，三个相同的三角尺拼接成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由． (2) 以下是小颖的思考过程，你能明白她的意思吗？ (3) 再找到另一组平行线，说说你的理由. 【思考·交流】 如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直线截这两条直线，那么这条截线的作用是什么呢?与同伴进行交流. [尝试·思考] 如图，某公园现有两条直道 AB 和 CD 交于点 O，为方便游客观赏，公园管理部门决定经过小路 CD 上的点 P，再修建一条直道 MN，并且使 MN 与 AB 平行.你能在图中画出直道 MN 吗? (1) 过点 P 的直线有多少条? (2) 满足什么条件的直线才能与 AB 平行? [画一画] 如图，已知点 P 在直线 AB 外，用尺规作直线 MN，使 MN 经过点 P，且 MN//AB. 画一画，并且尝试总结画法！ 当堂反馈 1.如图，已知直线a，b被直线c所截，那么∠1的内错角是(　　) A.∠3 B.∠4 C.∠5 D.∠6 第1题图 第2题图 第3题图 2.如上图，在四边形ABCD中，点O在边BC上，连接AO，∠DAO和∠AOC是一对(　　) A.同位角 B.内错角 C.同旁内角 D.对顶角 3.如上图，能判定直线AB∥CD的条件是(　　) A.∠1＝∠2 B.∠3＝∠4 C.∠1＋∠4＝180° D.∠3＋∠4＝90° 4.如图，两直线a，b被第三条直线c所截，若∠1＝50°，∠2＝130°，则直线a，b的位置关系是　 　. 第4题图 第5题图 5.如图，有下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角.其中正确的是　 　.(填序号) 6.如图，如果∠EFC＝70°，∠FED＝35°，ED平分∠BEF，那么AB与CD平行吗？请说明理由. 参考答案 【复习导入】 1. 同位角相等，两直线平行. 2.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 推论：平行于同一条直线的两条直线平行(即平行线具有传递性) 【合作探究】 探究一：内错角、同旁内角的概念 问题1 位置特征：① 在两条被截直线之间； ② 在截线的两侧，位置是交错的两个角. 图形形状：内错角是“Z”形状 问题2 位置特征：① 在两条被截直线之间； ② 在截线的同侧. 图形形状：同旁内角是“U”形状. [归纳总结] 例1 解：同位角：∠1和∠8，∠2和∠5，∠3和∠6，∠4和7； 内错角：∠1和∠6，∠4和∠5； 同旁内角：∠1和∠5，∠4和∠6. 探究二：利用内错角、同旁内角判定两条直线平行 【思考·交流】 (1) 解：因为∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等）， 所以∠3=∠2（等量代换）。 所以a∥b（同位角相等，两直线平行）。 (2) 已知：∠1＋∠2＝180°，求证：a∥b 解：因为∠1+∠2=180°（已知）， ∠1+∠3=180°（平角的定义）， 所以∠2=∠3（同角的补角相等）。 所以a∥b（同位角相等，两直线平行）。 例2 解：(1) AD∥BC.根据同位角相等，两直线平行． (2) ∠CBE＝∠C(答案不唯一). (3) AE∥CD. 根据同旁内角互补，两直线平行． [归纳总结] 探究三：画一条直线与已知直线平行 【思考·交流】 这条截线的作用是构造出同位角、内错角、同旁内角，从而将两直线的位置关系转化为角之间的数量关系. [尝试·思考] 答：(1)无数条 (2)∠DPN = ∠DOB（答案不唯一） [画一画] 作法： (1) 在直线 AB 上任取一点O，过点 O， P 作直线 CD. (2) 以点 P 为顶点，以 PD 为一边， 在直线 CD 的右侧作∠DPN =∠DOB. 即 PN 边所在的直线 MN 就是要作的直线. 当堂反馈 1.　A　 2.　C 3.　C 4.　a∥b　 5.　①②　 6.解：AB∥CD. 理由如下：因为ED平分∠BEF，∠FED＝35°， 所以∠BEF＝2∠FED＝70°. 所以∠BEF＝∠EFC. 所以AB∥CD. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $