2.2 探索直线平行的条件（第2课时 内错角相等/同旁内角互补，两直线平行）（导学案）数学新教材北师大版七年级下册

2.2 探索直线平行的条件（第2课时 内错角相等/同旁内角互补， 两直线平行）（导学案） 1.教学目标 （1）理解内错角、同旁内角的概念，能在“三线八角”中准确识别内错角、同旁内角。掌握判定：“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两线平行”，会用几何语言表达。掌握用三角尺和直尺画平行线的方法。能综合运用同位角、内错角判定平行。 （2）经历识别角、推理判定、动手画图的过程，发展推理与操作能力。会由角的关系判断线的位置关系。 （3）体验几何推理的严谨性，感受画图操作的实用性。培养言之有据、规范书写的学习习惯。 重点:内错角、同旁内角识别；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；规范画平行线。 难点： 准确区分同位角、内错角，同旁内角；由内错角相等或同旁内角互补推理出两直线平行的过程；复杂图形中快速定位内错角，同旁内角。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习回顾：(1)什么是同位角？(2)判定两线平行的方法？ （1）同位角：同一方、同一侧的两个角。（2）判定平行：同位角相等，两直线平行。 问题情境：李老师有一块小画板（如图)，他想知道它的上、下边豫是否平行，于是他在两个边缘之间了一条线段AB.李老师身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第44-46页的内容 【学法指导】自研课本P44-46页内容 （一）认识内错角、同旁内角 问题：如图，两条直线AB、CD被第三条直线所截，构成的位置关系的角有哪些？ 1.两条直线AB、CD被第三条直线所截构成了哪些角？ 2.具有∠1与∠2这样位置关系的角有什么特征？ 归纳总结：两个角分别在被截两直线之间，且在截线两侧，称为内错角. 3.具有∠1与∠3这样位置关系的角有什么特征？ 归纳总结：两个角分别在被截两直线之间，且在截线同旁称为同旁内角. 4.在图中，你能找出其他几组内铺角和同旁内角。 （二）内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行. 思考·交流 （1）内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？与同伴进行交流。 如图，如果一组内错角∠2=∠4，那么为什么能得到. 推理过程：内错角相等 → 转化为同位角相等 → 两直线平行。 归纳判定：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简记：内错角相等，两直线平行。 几何语言：∵ ∠1 = ∠2（已知），∴ a ∥ b（内错角相等，两直线平行）。 （2）同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？与同伴进行交流。 1.如图，如果一组内错角∠3+∠4=180°，那么为什么能得到. 推理过程：同旁内角互补 → 转化为内错角相等 → 两直线平行。 归纳判定：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简记：同旁内角互补，两直线平行。 几何语言：∵ ∠3+∠4=180°（已知），∴ a ∥ b（同旁内角互补，两直线平行）。 观察·交流 如图,三个相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。 （三）画平行线（直尺+三角尺） 思考·交流 如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直找截这两条宜线，那么这条截线的作用是什么呢？与同件进行交流。 通过作两条直线的截线，引人同位角、内错角、同旁内角，将两条直线平行这一位置关系问题转化为相关角之间的数量关系问题，这是研究几何问题的一种重要思想方法。 尝试·思考 如图，某公园的两条直道AB和CD交于点0,为方便善客观赏，公园管理部门决定过小路CD上的点P，再 修建一条直道MN，并且使MN与AB平行。你能在图中画出直道MN吗? （1）过点P的直线有多少条？ (2）满足什么条件的直线才能与AB平行？ 操作：如图，已知点P在直线AB外，用尺规作直钱MN，使MN经过点P. 且MN//AB. 归纳画法步骤：一落：三角尺一边落在已知直线上；二靠：直尺靠紧三角尺另一边；三移：沿直尺平移三角尺；四画：沿三角尺画直线。 你还能用其它方法画图吗？ 【自研自探】 自研课本P44-46页内容 典型例题 例1．如图，这是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中，，，找出图中的平行线，并说明理由．    例2．如图，    (1)如果，那么直线与平行吗？写出理由； (2)当与之和为时，直线与平行？说明理由． 例3．如图，分别平分．求证．    第二环节 合作探究 1.讨论两条直线被第三条直线所截什么位置关系的角是同位角、内错角、同旁内角？ 2.讨论两条直线被第三条直线所截，内错角/同旁内角满足什么关系，两直线平行？ 3.讨论如何用直尺+三角尺画平行线？ 拓展提升：1．如图，直线过点若，，，试判断与的位置关系，并说明理由．      课堂练习：课本随堂练习 1(2025.安庆校考)．已知：如图，直线a，b，c被直线l所截，，．求证：．    2.（2025.汕头校检）如图，，判断和的位置关系，并说明理由； 知识总结：（1）内错角：两线 、截线 ；同旁内角：两线 ，截线 .（2）判定2：内错角 ，两直线平行。判定3：同旁内角 ，两直线平行.（3）平行线画法： 。 方法总结：（1）识图：同位角看两线 ，截线 。内错角看两线 、截线 ；同旁内角看两线 ，截线 .（2）证平行思路：先找 相等，再用 定理。（3）推理方法：条件 → → 。 易错提醒：内错角、同旁内角必须在 中，不能随便找。不要把“ ”和“ ”混淆。画平行线要固定 ，平移 。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 探索直线平行的条件（第2课时 内错角相等/同旁内角互补， 两直线平行）（导学案） 1.教学目标 （1）理解内错角、同旁内角的概念，能在“三线八角”中准确识别内错角、同旁内角。掌握判定：“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两线平行”，会用几何语言表达。掌握用三角尺和直尺画平行线的方法。能综合运用同位角、内错角判定平行。 （2）经历识别角、推理判定、动手画图的过程，发展推理与操作能力。会由角的关系判断线的位置关系。 （3）体验几何推理的严谨性，感受画图操作的实用性。培养言之有据、规范书写的学习习惯。 重点:内错角、同旁内角识别；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；规范画平行线。 难点： 准确区分同位角、内错角，同旁内角；由内错角相等或同旁内角互补推理出两直线平行的过程；复杂图形中快速定位内错角，同旁内角。 第一环节 自主学习 温故知新： 复习回顾：(1)什么是同位角？(2)判定两线平行的方法？ （1）同位角：同一方、同一侧的两个角。（2）判定平行：同位角相等，两直线平行。 问题情境：李老师有一块小画板（如图)，他想知道它的上、下边豫是否平行，于是他在两个边缘之间了一条线段AB.李老师身边只有一个量角器，他通过测量某些角的大小就能知道这个画板的上、下边缘是否平行，你知道他是怎样做的吗？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第44-46页的内容 【学法指导】自研课本P44-46页内容 （一）认识内错角、同旁内角 问题：如图，两条直线AB、CD被第三条直线所截，构成的位置关系的角有哪些？ 1.两条直线AB、CD被第三条直线所截构成了哪些角？ 一共构成了八个角，简称“三线八角”。 2.具有∠1与∠2这样位置关系的角有什么特征？ 两个角分别在被截两直线之间，且在截线两侧。 归纳总结：两个角分别在被截两直线之间，且在截线两侧，称为内错角. 3.具有∠1与∠3这样位置关系的角有什么特征？ 两个角分别在被截两直线之间，且在截线同旁。 归纳总结：两个角分别在被截两直线之间，且在截线同旁称为同旁内角. 4.在图中，你能找出其他几组内铺角和同旁内角。 对照图形让学生一一找出。 （二）内错角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行. 思考·交流 （1）内错角满足什么关系时，两直线平行？为什么？与同伴进行交流。 内错角相等，两直线平行。 追问1：如图，如果一组内错角∠2=∠4，那么为什么能得到. 因为∠1=∠2，又∠2=∠4，所以∠1=∠4，所以。 推理过程：内错角相等 → 转化为同位角相等 → 两直线平行。 归纳判定：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简记：内错角相等，两直线平行。 几何语言：∵ ∠1 = ∠2（已知），∴ a ∥ b（内错角相等，两直线平行）。 （2）同旁内角满足什么关系时，两直线平行？为什么？与同伴进行交流。 1.如图，如果一组内错角∠3+∠4=180°，那么为什么能得到. 因为∠2+∠3=180°，又∠3+∠4=180°，所以∠2=∠4，所以. 推理过程：同旁内角互补 → 转化为内错角相等 → 两直线平行。 归纳判定：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简记：同旁内角互补，两直线平行。 几何语言：∵ ∠3+∠4=180°（已知），∴ a ∥ b（同旁内角互补，两直线平行）。 观察·交流 如图,三个相同的三角尺拼成一个图形，请找出图中的一组平行线，并说明你的理由。 如：BC与AE是平行的。因为∠BCA与∠BAC是内错角，而且相等。 （三）画平行线（直尺+三角尺） 思考·交流 如图，在探究两条直线是否平行时，常用第三条直找截这两条宜线，那么这条截线的作用是什么呢？与同件进行交流。 通过作两条直线的截线，引人同位角、内错角、同旁内角，将两条直线平行这一位置关系问题转化为相关角之间的数量关系问题，这是研究几何问题的一种重要思想方法。 尝试·思考 如图，某公园的两条直道AB和CD交于点0,为方便善客观赏，公园管理部门决定过小路CD上的点P，再 修建一条直道MN，并且使MN与AB平行。你能在图中画出直道MN吗? （1）过点P的直线有多少条？ (2）满足什么条件的直线才能与AB平行？ 先作过点P的截线，再以点P为顶点作相等的同位角或内错角。教科书的作法是以点P为顶点作相等的同位角。 操作：如图，已知点P在直线AB外，用尺规作直钱MN，使MN经过点P. 且MN//AB. 归纳画法步骤：一落：三角尺一边落在已知直线上；二靠：直尺靠紧三角尺另一边；三移：沿直尺平移三角尺；四画：沿三角尺画直线。 你还能用其它方法画图吗？ 根据内错角相等，两直线平行等. 【自研自探】 自研课本P44-46页内容 典型例题 例1．如图，这是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中，，，找出图中的平行线，并说明理由．    【分析】根据同位角相等，两直线平行，可得出；根据同旁内角互补，两直线平行，可得出． 【详解】解：，． 理由：∵，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴． 例2．如图，    (1)如果，那么直线与平行吗？写出理由； (2)当与之和为时，直线与平行？说明理由． 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行证明即可； （2）根据同旁内角互补，两直线平行证明即可． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴(同位角相等，两直线平行）； （2）当时，，理由如下： ∵，， ∴， ∴． 例3．如图，分别平分．求证．    【分析】先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：， （垂直的定义）． 分别平分， ∴， （角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 第二环节 合作探究 1.讨论两条直线被第三条直线所截什么位置关系的角是同位角、内错角、同旁内角？ 2.讨论两条直线被第三条直线所截，内错角/同旁内角满足什么关系，两直线平行？ 3.讨论如何用直尺+三角尺画平行线？ 拓展提升：1．如图，直线过点若，，，试判断与的位置关系，并说明理由．      【详解】解：，理由如下： ， ， ， ， ． 课堂练习：课本随堂练习 参考答案：. (1) ∠4; (2) ∠3; (3) ∠1. 2. (1) a//b; (2)m//;(3) n //. 1(2025.安庆校考)．已知：如图，直线a，b，c被直线l所截，，．求证：．    【详解】证明：∵， ∴b（同旁内角互补，两直线平行）． ∵， ∴ c（同位角相等，两直线平行）． ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 2.（2025.汕头校检）如图，，判断和的位置关系，并说明理由； 【详解】解： 理由如下：∵， 又∵， ∴， ∴ 知识总结：（1）内错角：两线之间、截线两侧；同旁内角：两线之间，截线同旁.（2）判定2：内错角相等，两直线平行。判定3：同旁内角互补，两直线平行.（3）平行线画法：落、靠、移、画。 方法总结：（1）识图：同位角看两线同侧，截线同旁。内错角看两线之间、截线两侧；同旁内角看两线之间，截线同旁.（2）证平行思路：先找角相等，再用判定定理。（3）推理方法：条件 → 依据 → 结论。 易错提醒：内错角、同旁内角必须在三线八角中，不能随便找。不要把“内错角”和“同位角”混淆。画平行线要固定直尺，平移三角尺。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $