2.1 第2课时 垂线 导学案 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第二章　相交线与平行线 2.1　两条直线的位置关系教师展示生活中相交线的实例：十字路口的两条道路、剪刀的两片刀刃、三角板的两条邻边，引导学生观察：这些图形中两条直线的位置关系有什么共同特点？它们相交后形成了几个角？ 出示图形：直线AB与直线CD相交于点O，提问：两条直线相交时，有几个交点？这些交点有什么特点？引出本节课第一部分内容——相交线，重点探究两条直线相交的基本性质及所成角的关系。 二、探究新知，明确概念（18分钟） 1. 相交线的定义：结合实例和图形，明确定义——当两条直线有且只有一个公共点时，这两条直线叫作相交线，这个公共点叫作它们的交点。强调“有且只有一个公共点”，区分相交线与重合线的差异，说明两条直线相交，交点唯一。 2. 对顶角与邻补角的探究：引导学生观察直线AB与CD相交形成的4个角（标注∠1、∠2、∠3、∠4），分组讨论： （1）邻补角：观察∠1与∠2，它们有一条公共边OC，另一边互为反向延长线，且∠1+∠2=180°，这样的两个角叫作邻补角。类比得出∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1也互为邻补角，强调邻补角的两个核心特征：有公共边、另一边互为反向延长线，且互补。 （2）对顶角：观察∠1与∠3，它们有一个公共顶点O，两边互为反向延长线，这样的两个角叫作对顶角。同理，∠2与∠4互为对顶角。引导学生动手测量4个角的度数，猜想对顶角的关系，最终总结：对顶角相等。 3. 辨析巩固：出示变式图形（两条直线相交角度变化），让学生快速识别对顶角和邻补角，教师巡视指导，纠正易错点：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角；邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角。 三、例题解析，深化理解（10分钟） 例1：如图，直线AB与CD相交于点O，已知∠1=50°，求∠2、∠3、∠4的度数。 解析：先判断角的关系，再计算度数。∠1与∠2互为邻补角，所以∠2=180°-∠1=180°-50°=130°；∠1与∠3互为对顶角，所以∠3=∠1=50°；∠2与∠4互为对顶角，所以∠4=∠2=130°。 例2：判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）邻补角互补；（4）互补的两个角是邻补角。 解析：结合定义逐一判断，（1）（3）正确，符合对顶角和邻补角的性质；（2）（4）错误，举例说明：两个直角相等，但不一定是对顶角；两直线平行时，同旁内角互补，但不是邻补角。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：如图，直线l与m相交于点O，∠1=65°，求其余三个角的度数，学生独立完成，举手汇报。 2. 判断题：（1）两条直线相交，一定有对顶角（ ）；（2）邻补角一定有一条公共边（ ）；（3）对顶角的两边互为反向延长线（ ），纠正易错认知。 3. 提升题：直线AB与CD相交于点O，∠AOC比∠BOC小30°，求∠AOD的度数，培养学生列方程解决几何问题的能力。 学生完成后，小组内核对答案，教师针对共性错误进行重点讲解，强化性质应用。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理：1. 相交线的定义及交点特征；2. 对顶角、邻补角的定义及性质；3. 利用对顶角相等、邻补角互补求未知角的方法。 第二课时：平行线的概念、性质及判定（45分钟） 一、情境引入，衔接旧知（5分钟） 教师回顾上一课时内容：上节课我们学习了相交线，知道两条直线相交时会形成对顶角和邻补角，并且掌握了它们的性质。今天我们来学习两条直线的另一种位置关系——平行线，它在生活中也很常见，且与相交线有着密切的联系。 展示生活中平行线的实例：黑板的上下两条边、课桌的两组对边、铁轨的两条轨道，引导学生观察：这些图形中两条直线的位置关系，与相交线有什么不同？引出本节课核心内容——平行线的概念、性质及判定。 二、探究新知，突破重点（18分钟） 1. 平行线的定义与表示：结合实例和图形，明确定义——在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。强调两个关键条件：① 同一平面内；② 不相交。补充：同一平面内，两条直线的位置关系只有相交或平行（重合不算）。表示方法：直线AB与CD平行，记作“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。 2. 平行线的基本事实：引导学生动手操作，在练习本上画一条直线l，在直线l外取一点P，尝试过点P画一条与直线l平行的直线，观察能画出几条。总结：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3. 平行线的性质：出示图形，两条平行直线AB∥CD被截线EF所截，标注∠1至∠8，引导学生通过测量、推导，得出三个性质： （1）性质1：两直线平行，同位角相等（通过测量同位角∠1和∠5，验证相等关系）； （2）性质2：两直线平行，内错角相等（利用对顶角相等和性质1，通过等量代换推导）； （3）性质3：两直线平行，同旁内角互补（利用邻补角互补和性质1，通过等量代换推导）。 4. 平行线的判定：结合性质逆向推导，得出三个判定方法： （1）判定1：同位角相等，两直线平行； （2）判定2：内错角相等，两直线平行； （3）判定3：同旁内角互补，两直线平行。 辨析巩固：强调“性质”与“判定”的区别——性质是“由平行推角的关系”，判定是“由角的关系推平行”，避免混淆。 三、例题解析，深化应用（10分钟） 例1：如图，AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，已知∠1=60°，求∠2、∠3、∠4的度数。 解析：结合平行线的性质计算，① 同位角相等，∠2=∠1=60°；② 内错角相等，∠3=∠1=60°；③ 同旁内角互补，∠4=180°-60°=120°。 例2：如图，已知∠1=∠2，求证：AB∥CD。 解析：利用平行线的判定方法推导，∵ ∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等），∴ ∠2=∠3（等量代换），∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：如图，AB∥CD，∠1=75°，求∠2、∠3的度数，学生独立完成。 2. 判断题：区分平行线的性质与判定，纠正易错认知（如“内错角相等，两直线平行”是判定，“两直线平行，内错角相等”是性质）。 3. 提升题：如图，∠1+∠2=180°，求证：AB∥CD，强化判定方法的应用。 学生完成后，小组核对答案，教师重点讲解共性错误，区分性质与判定的不同。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理：1. 平行线的定义、表示方法及基本事实；2. 平行线的三个性质和三个判定（区分性质与判定）；3. 利用性质求角度、利用判定证平行的思路。 第三课时：定义、命题、定理、证明及平移（45分钟） 一、情境引入，衔接旧知（5分钟） 教师回顾前两课时内容：我们已经学习了相交线、平行线的性质与判定，在学习过程中，我们用到了很多判断性的语句，比如“对顶角相等”“两直线平行，同位角相等”，这些语句在数学中叫作什么？我们又如何证明它们的正确性？另外，图形的平移也与平行线密切相关，今天我们就来整合这些知识，完成本章的收尾学习。 二、探究新知，整合提升（18分钟） （一）定义、命题、定理、证明 1. 回顾概念：快速梳理上节课所学：① 定义：对名称和术语的含义作出明确规定的语句；② 命题：判断一件事情的语句，由题设和结论组成，分为真命题和假命题；③ 定理：经过推理证实的真命题；④ 证明：推理证实命题正确性的过程，步骤为“画图—已知—求证—证明”，每一步推理需有依据（定义、基本事实、定理）。 2. 巩固应用：举例示范，证明“同旁内角互补，两直线平行”，规范书写证明过程，强调推理依据的重要性。 （二）平移 1. 平移的定义：把一个图形整体沿某一条直线方向移动，形状、大小、方向不变，只有位置改变，这种图形运动叫作平移。强调三个核心特征，结合生活实例巩固。 2. 平移的性质：① 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等；② 对应线段平行（或在同一直线上）且相等；③ 对应角相等。补充：平移的方向是对应点连线的方向，距离是对应点连线的长度。 3. 平移的作图：示范基本步骤：确定方向和距离→找关键点→移对应点→连图形，强调作图规范。 三、例题解析，综合应用（10分钟） 例1：判断下列语句是否是命题，若是，指出题设和结论，判断真假，并说明是否是定理： （1）两直线平行，内错角相等；（2）画一条线段AB；（3）同角的补角相等。 解析：（1）是命题，题设：两直线平行，结论：内错角相等，真命题，是定理；（2）不是命题，是操作指令；（3）是命题，题设：两个角是同一个角的补角，结论：这两个角相等，真命题，是定理。 例2：如图，三角形ABC沿水平向右平移5cm得到三角形A'B'C'，已知AB=3cm，∠A=70°，求A'B'的长度、∠A'的度数及AA'的长度。 解析：根据平移的性质，A'B'=AB=3cm，∠A'=∠A=70°，AA'=5cm（平移距离）。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：完成“同角的余角相等”的证明，规范书写步骤；判断生活中的平移现象。 2. 提升题：如图，AB∥CD，EF⊥AB，求证：EF⊥CD；画出长方形沿竖直方向平移4cm后的图形。 3. 综合题：结合相交线、平行线、平移的知识，解决简单的几何推理与作图问题，强化知识整合应用。 学生完成后，小组内核对答案，教师巡视指导，针对共性错误进行重点讲解，强化知识的综合应用能力。 五、课堂小结，梳理全章（2分钟） 师生共同梳理全章核心知识：1. 相交线：对顶角、邻补角的定义及性质；2. 平行线：定义、基本事实、性质与判定；3. 推理基础：定义、命题、定理、证明的概念及规范；4. 图形变换：平移的定义、性质及作图。 引导学生反思：本章的重点的是平行线的性质与判定，难点是证明的规范书写和知识的综合应用，梳理本章易错点，为后续复习奠定基础。 第2课时　垂线 【素养目标】 1．理解垂线、垂线段的概念，在作图中掌握点到直线的距离的概念，培养抽象能力和空间观念． 2．会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线，并会度量点到直线的距离，发展应用能力和作图能力． 3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理，培养数学思维自主思考的习惯，发展推理能力和数学表达能力． 重点：垂线的性质及点到直线的距离的定义． 难点：运用垂线的概念和性质解决实际应用问题． 【复习导入】 图①中，当直线AB绕点O逆时针旋转到∠AOC＝90°时(如图②)，你能求出其他角的度数吗？此图形有什么特点？此时两直线有什么关系？ 【情境导入】 观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？ 【合作探究】 探究一：垂直的概念 [操作·交流] 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b，a、b所成的夹角为∠α.转动木条的同时观察其夹角的变化． (1)当∠α分别为35°、90°时，其余的角分别是多少？ (2)当∠α为90°的位置关系有几个？此时， 木条a和木条b所在的直线有什么样的位置关系？ [要点归纳] 1．垂直的定义：两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫作另一条直线的垂线．它们的交点叫垂足． 2．通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直． 记作：AB⊥CD (或CD⊥AB) 或l⊥m (或m⊥l).　 [思考·交流] （1）如图，O为直线AB上一点，∠AOC=∠BOC，那么OC与AB垂直吗?为什么? （2）以下是小颖的思考过程，她的想法正确吗?你知道她每一步的依据吗?与同伴进行交流。 （3）如果OC⊥AB那么∠AOC=∠BOC吗?为什么?与同伴进行交流。 [折一折] 你能用纸折出两条互相垂直的直线吗? [做一做]如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ [典例精析] 例1 如图，已知点 O 在直线 AB 上，CO⊥DO 于点 O，若∠1 = 145°，则∠3 的度数为( ) A. 35° B. 45° C. 55° D. 65° [练一练] 1. 如图，直线 BC 与 MN 交于点 O，AO⊥BC，∠BOE＝∠NOE，若∠EON＝20°，求∠AOM 和∠NOC 的度数. 探究二：垂线的画法及基本事实 活动2：画已知直线l的垂线能画几条？点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能画出多少条？如果点A在直线l外呢？ 问题1：这样画l的垂线可以画几条？如图，已知直线l，画l的垂线． 问题2：如图，点 A 在直线 l 上，过点 A 画直线 l 的垂线，你能画出多少条? 如果点 A 在直线 l 外呢? 问题3：如图，点P是直线l外一点，PO⊥l，点O是垂足．点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？ 要点归纳：1.垂线的性质：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 2．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．　 例2 如图，AC⊥BC，AC＝3，BC＝4，AB＝5. (1) 试说出点A到直线BC的距离；点B到直线AC的距离； (2) 点C到直线AB的距离是多少？ 当堂反馈 1.过点A画线段BC所在直线的垂线段，其中正确的是(　　) 2.如图，EO⊥AB于点O，∠EOC＝40°，则∠AOD的度数为(　　) 第2题图 A.30° B.40° C.50° D.60° 3.如图，量得直线l外一点P到l的距离PB的长为4cm，点A是直线l上的一点，那么线段PA的长不可能是(　　) 第3题图 A.3.5cm B.4cm C.4.5cm D.5cm 4.如图，村庄A与村庄B在河流l的两侧，小明观察发现，A村庄的居民往往去C点处取水，而B村庄的居民则更喜欢去D点处取水，村民这样选择的理由是：　　. 第4题图 5.如图，已知直线AD，BE，CF相交于O，OG⊥AD，且∠BOC＝35°，∠FOG＝30°，则∠DOE＝　　°. 第5题图 6.如图，A，O，B在同一条直线上，∠AOD∶∠DOB＝3∶1，OD平分∠COB. (1)求∠DOC的度数； (2)判断AB与OC的位置关系. 参考答案 【合作探究】 探究一：垂直的概念 [操作·交流] (1)145°，35°，145°；90°，90°，90°. (2)当∠α为90°的位置关系只有一个；此时两根木条的位置关系——a与b垂直，记作a⊥b. [思考·交流] 解：（1）由学生自由作答。 （2）小颖的思考过程是正确的。 由∠AOC=∠BOC（已知），且∠AOC+∠BOC=180°（平角的定义）， 可得∠AOC=∠BOC=90°（等量代换）， 所以OC⊥AB（垂直的定义）。 （3）如果 OC⊥AB，那么∠AOC = ∠BOC. 理由如下： 因为 OC⊥AB ，根据垂直的定义可知∠AOC和∠BOC 都是直角， 即 ∠AOC = 90°，∠BOC = 90°， 所以 ∠AOC = ∠BOC. [做一做] 例1 C [练一练] 解：∵∠BOE＝∠NOE， ∴∠BON＝2∠EON＝40°. ∴∠NOC＝180°－∠BON＝180°－40°＝140°， ∠MOC＝∠BON＝40°. ∵ AO⊥BC，∴∠AOC＝90°. ∴∠AOM＝∠AOC－∠MOC＝90°－40°＝50°. ∴∠NOC＝140°，∠AOM＝50°. 探究二：垂线的画法及基本事实 活动2： 问题1：无数条． 问题2：都只能画一条垂线． 问题3：线段PO最短． 例2 解析：(1)点A到直线BC的距离就是线段AC的长；点B到直线AC的距离就是线段BC的长；(2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.点C到直线AB的距离就是线段CD的长，可利用面积求得． (1)点A到直线BC的距离是3；点B到直线AC的距离是4； (2)过点C作CD⊥AB，垂足为D.因为S三角形ABC＝BC·AC＝AB·CD，所以5CD＝3×4，解得CD＝.所以点C到直线AB的距离为. 当堂反馈 1.D　 2.　C　 3　A　 4.　垂线段最短　. 5.　25　 6.解：(1)因为∠AOD∶∠DOB＝3∶1，所以∠DOB＝×180°＝45°.因为OD平分∠COB，所以∠DOC＝∠DOB＝45°. (2)因为∠DOC＝∠DOB＝45°，所以∠BOC＝45°＋45°＝90°.所以OC⊥AB，即AB与OC的位置关系是垂直. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $