专题2.1 相交线（举一反三讲义）数学新教材北师大版七年级下册

本讲义聚焦相交线核心知识点，系统梳理对顶角的概念与性质、余角补角的定义及性质、垂线的定义画法与性质（含垂线段最短、点到直线距离），形成从概念到性质再到应用的递进学习支架。 资料以9类题型为框架，例题与变式题结合，通过几何直观（如识别对顶角）、推理意识（如对顶角相等计算）、应用意识（如垂线段最短解决实际问题）培养核心素养，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题2.1 相交线（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 识别对顶角】 1 【题型2 对顶角相等】 3 【题型3 与余角或补角有关的计算】 6 【题型4 同（等）角的余（补）角相等的应用】 8 【题型5 与垂线有关的角度计算】 12 【题型6 垂线的画法】 14 【题型7 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】 18 【题型8 垂线段最短】 20 【题型9 点到直线的距离】 22 知识点1 对顶角的概念 定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图，与是一对对顶角，另外还有一对对顶角． 【题型1 识别对顶角】 【例1】（24-25七年级下·广东佛山·期中）在同一平面内任意画5条直线，最多可构成 对对顶角． 【答案】20 【分析】本题考查了平面内两直线的位置关系、对顶角的定义，熟练掌握平面内两直线的位置关系是解题的关键．根据直线的位置关系可知，在同一平面内，若2条直线相交，则可构成2对对顶角；若2条直线平行，则不能构成对顶角，据此即可解答． 【详解】解：在同一平面内，若2条直线相交，则可构成2对对顶角；若2条直线平行，则不能构成对顶角， 在同一平面内任意画5条直线且直线两两相交，能构成最多对对顶角，此时对顶角共有对， 在同一平面内任意画5条直线，最多可构成20对对顶角． 故答案为：20． 【变式1-1】下列各图中，与互为对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，熟知对顶角的定义是解题的关键．两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，由此判断即可． 【详解】解：．与不是对顶角，故该选项不符合题意； ．与互为对顶角，故该选项符合题意； ．与不是对顶角，故该选项不符合题意； ．与没有公共顶点，不是对顶角，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）新素养〔几何直观〕下列工具中，有对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．一般地，两条直线相交能形成两对对顶角． 根据对顶角的定义作答即可． 【详解】解：A.没有对顶角，不符合题意； B.没有对顶角，不符合题意； C.有对顶角，符合题意； D.没有对顶角，不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】平面内有五条直线两两相交，设最多交点个数为a，最少交点个数为b，最多对顶角数为c，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍，由此可得出a，b，c的值，再代入计算即可． 【详解】∵n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍， ∴a＝10，b=1，c=20 ∴． 故答案为：1． 【点睛】考查了直线的交点问题，解题关键是掌握n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍． 知识点2 对顶角的性质 对顶角相等．如图，与是一对对顶角，． 【题型2 对顶角相等】 【例2】（2024·广东·模拟预测）如图，直线，相交于点O，，，则 °． 【答案】50 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．根据对顶角相等，可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：50． 【变式2-1】（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）甘州古塔位于甘肃省张掖市甘州区，是中国塔和印度塔的融合体．为测量这座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下方案：如图，作的延长线，量出的度数，从而得到的度数，这个方案的依据是 ． 【答案】对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角相等．根据对顶角相等解答即可求解． 【详解】解：根据题意得：与是对顶角， ∴（对顶角相等）， 即这个方案的依据是对顶角相等． 故答案为：对顶角相等． 【变式2-2】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线a，b相交于点O，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是对顶角的性质，邻补角的性质，由对顶角相等求解，再利用邻补角互补可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读材料： 我们学过补角，现给出邻补角的定义如下： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图： 直线与相交，与互为邻补角，． 解决问题： 如图，直线，，相交于点． (1)写出，的邻补角（相邻的补角）； (2)写出，的对顶角； (3)如果，求，． 【答案】(1)的邻补角是，；的邻补角是，； (2)的对顶角是；的对顶角是； (3)， 【分析】本题考查了邻补角的定义，对顶角的定义，邻补角互补，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据邻补角的定义进行作答即可； （2）根据对顶角的定义进行作答即可； （3）结合邻补角互补的性质，对顶角相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，的邻补角是，； 的邻补角是，； （2）解：的对顶角是；的对顶角是； （3）解：∵， ∴（对顶角相等）， ∴（邻补角定义） 知识点3 余角和补角 1. 余角和补角：一般地，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称两个角互补，其中一个角是另一个角的补角． 2. 余角和补角的性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等． 【题型3 与余角或补角有关的计算】 【例3】已知一个角的余角是，那么这个角的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查余角与补角的定义，掌握知识点是解题的关键．根据余角与补角的定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即这个角的补角为． 故选D． 【变式3-1】已知，则的余角是 度，的补角是 度． 【答案】 【分析】本题考查了余角与补角，根据余角和补角的定义列式计算即可，解题的关键是熟记互为余角的两个角的和为，互为补角的两个角的和为． 【详解】解：根据余角的定义，的余角， 根据补角的定义，的补角度数， 故答案为：，． 【变式3-2】如图，O为直线上一点，平分． (1)直接写出的余角是 ； (2)是的平分线吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的有关计算和定义，余角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）由平分得到，再由即可得到的余角； （2）根据同角的余角相等得到即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴的余角是， 故答案为：； （2）解：是，理由如下： 由（1）得，， ∴， ∴是的平分线． 【变式3-3】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题涉及余角和补角的概念；余角是指两个角的和为，补角是指两个角的和为，先根据与互补求出，再根据与互余求出． 【详解】解：∵与互补， ∴，即， ∵， ∴， ∵与互为余角， ∴， ∴． 故选：C． 【题型4 同（等）角的余（补）角相等的应用】 【例4】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）如图所示，将一副三角尺叠放在一起，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了同角的余角相等，三角板的有关计算，由题意得，则，，然后通过同角的余角相等即可求解，掌握同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴，， ∴， ∴的度数为． 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，则，推理的理由是（   ） A．同角的补角相等 B．同角的余角相等 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的定义，根据，得出，即，推理的理由是同角的余角相等，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即推理的理由是同角的余角相等 故选：B 【变式4-2】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的补角是，的余角是 (3) 【分析】本题考查余角、补角的定义，角平分线的定义． （1）根据同角的余角相等即可得出结论； （2）根据余角和补角的定义，结合图形即可解答； （3）由（2）知，求出，再根据平分，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的补角是，的余角是； （3）解：由（2）知， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 【变式4-3】如图，已知、、三点在同一直线上，，且和互为余角． (1)与互余吗？ (2)和有什么关系，为什么？ (3)的补角是___________． 【答案】(1)互余 (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键：如果两个角的和为，则这两个角互为余角；如果两个角的和为，则这两个角互为补角． （1）由和互为余角可知，根据点，，三点在同一条直线上可知，于是可得，根据余角的定义即可得出结论； （2）根据，结合，，由等角的余角相等可得结论； （3）由（2）可知，由于的补角是，利用等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：和互余，理由如下： 和互为余角， ， 又，，三点在同一条直线上， ， ， 答：和互余； （2）解：和相等，理由如下： 和互为余角， ， 又，， ∴； （3）解：由（2）可知：， 又， ， ∴的补角是． 故答案为：． 知识点4 垂线 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB与直线CD相交于点O，当（或其他任意一个交角等于）时，直线AB与直线CD垂直，记作，读作“AB垂直于CD”，交点O是垂足．反之，若，则四个交角均为． 【题型5 与垂线有关的角度计算】 【例5】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直得到，平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【变式5-1】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，点O为垂足，直线过点O，且，则 ． 【答案】/54度 【分析】本题考查垂直定义、角的运算，根据垂直定义得到，结合已知求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图所示，直线，相交于点O，，，，求的度数． 【答案】 【分析】此题主要考查了余角和补角、垂线的定义，利用同角的余角相等，可得，再利用补角的性质就可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴， ∵与互补， ∴． 【变式5-3】（24-25六年级下·全国·单元测试）如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂线的定义以及对顶角、邻补角，正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键． （1）根据垂线的定义得，根据对顶角的定义得，再由计算即可； （2）根据，设，则，，再根据得关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：设，则，， 据题意，得， ∴， 解得， ． 知识点5 垂线的画法 一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合． 二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点． 三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 【题型6 垂线的画法】 【例6】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【答案】（1）图见解析（2）图见解析 【分析】本题考查画垂线，借助三角板画出垂线即可，熟练掌握画垂线的方法，是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意，画图如下：    （2）由题意，画图如下：    【变式6-1】如图，分别过点P作的两边的垂线． 【答案】见解析 【分析】根据垂线的作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了画垂线，熟知画垂线的方法是解题的关键． 【变式6-2】如图，点是的边上一点． (1)过点画的垂线，垂足为； (2)过点画的垂线，交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）（2）根据垂线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 【点睛】本题考查作图基本作图，垂线等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于基础题． 【变式6-3】过点作的垂线． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接作图即可； （2）根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接作图即可； （3）根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接作图即可； （4）延长BA，然后根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接作图即可． 【详解】解：使直角三角尺的其中一条直角边与直线AB重合，沿着AB进行平移，使另外一条直角边过点P即可作出垂线，作（1）、（2）、（3）图，如下图所示： （1）； （2）； （3）； （4）延长BA，作法如上图所示： ． 【点睛】本题主要考查过直线外一点作已知直线的垂线，熟练掌握作图方法是解题的关键． 知识点6 垂线的性质 垂线的性质：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【题型7 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】 【例7】如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式7-1】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，两个画图过程，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】此题考查垂线的性质，根据“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”进行解答即可． 【详解】解：由画图过程可知，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：C 【变式7-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）若，，则、、三点共线，理由是： ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查了垂线．根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可解答． 【详解】解：若，，则、、三点共线，理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【变式7-3】从直线外一点到已知直线上的点的所有连线中，与已知直线垂直的线段有多少条？（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂线的性质，解题的关键是熟练掌握垂线的性质． 利用垂线的性质进行求解即可． 【详解】解：过直线外一点，有且只有一条线段与已知直线垂直， 故选：B． 知识点7 垂线段及其垂线段的性质 1. 垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段．如图，线段CO叫做点C到直线AB的垂线段． 2. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．简单说成:垂线段最短． 如图，点P是直线l外一点，，垂足为O．A，B，C，D都是直线l上的点，在线段PA，PB，PC，PD，PO中，PO最短，因为垂线段最短．又因为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”,所以点P到直线l的垂线段也只有一条． 【题型8 垂线段最短】 【例8】如图，直线表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄，则沿图中线段修建可使用料最省．理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查的知识点是直线外一点到这条直线中，垂线段最短，解题的关键是熟练的掌握直线外一点到这条直线连接的所有线段中，根据垂线段最短的性质可知，为了节省材料，应从村庄P向主管道作垂线． 【详解】解：根据从直线外一点到这条直线连接的所有线段中，垂线段最短， 所以沿图中线段修建可使用料最省． 故答案为：垂线段最短． 【变式8-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】C 【分析】本题考查垂线段最短这一几何性质在实际测量中的应用，需要分析跳远成绩测量的依据，从选项中选出正确的几何原理； 本题考查了垂线段最短的性质，掌握垂线段最短这一性质，以及其在实际测量中的应用是解题的关键． 【详解】解：跳远成绩是测量运动员落地点到起跳线的垂直距离， ∵从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短， ∴测量跳远成绩的依据是垂线段最短． 故选：C． 【变式8-2】如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为（   ） A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9米 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题关键．根据垂线段最短即可得． 【详解】解：∵小明在处测得米， ∴点到的距离米（当时，等号成立）， 观察四个选项可知，只有选项A符合要求， 故选：A． 【变式8-3】（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算．过点C作于点D，利用等积法求出长．根据垂线段最短，得出当时，即点P与点D重合时，最小． 【详解】解：如图，过点C作于点D， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵垂线段最短， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小值为， 故答案为：． 知识点8 点到直线的距离 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如图，垂线段CO的 【题型9 点到直线的距离】 【例9】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 【变式9-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离的定义判定解答即可． 本题考查了点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据点到直线的距离的定义，得A符合题意，其余错误， 故选：A． 【变式9-2】如图，能表示点到直线的距离的线段共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义解答即可． 【详解】解：∵线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离，线段表示点到的距离， ∴能表示点到直线的距离的线段共有5条， 故选：D． 【变式9-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，由题意可得点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，从而可得上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“距离坐标”的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上， ∴上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，两两相交共个交点，即“距离坐标”是的点共有个， 故选：D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 相交线（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 【题型1 识别对顶角】 1 【题型2 对顶角相等】 2 【题型3 与余角或补角有关的计算】 4 【题型4 同（等）角的余（补）角相等的应用】 4 【题型5 与垂线有关的角度计算】 6 【题型6 垂线的画法】 7 【题型7 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】 8 【题型8 垂线段最短】 9 【题型9 点到直线的距离】 10 知识点1 对顶角的概念 定义：两个角有一个公共顶点，并且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．如图，与是一对对顶角，另外还有一对对顶角． 【题型1 识别对顶角】 【例1】（24-25七年级下·广东佛山·期中）在同一平面内任意画5条直线，最多可构成 对对顶角． 【变式1-1】下列各图中，与互为对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）新素养〔几何直观〕下列工具中，有对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】平面内有五条直线两两相交，设最多交点个数为a，最少交点个数为b，最多对顶角数为c，则的值是 ． 知识点2 对顶角的性质 对顶角相等．如图，与是一对对顶角，． 【题型2 对顶角相等】 【例2】（2024·广东·模拟预测）如图，直线，相交于点O，，，则 °． 【变式2-1】（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）甘州古塔位于甘肃省张掖市甘州区，是中国塔和印度塔的融合体．为测量这座古塔外墙底部的底角的度数，李潇同学设计了如下方案：如图，作的延长线，量出的度数，从而得到的度数，这个方案的依据是 ． 【变式2-2】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线a，b相交于点O，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读材料： 我们学过补角，现给出邻补角的定义如下： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图： 直线与相交，与互为邻补角，． 解决问题： 如图，直线，，相交于点． (1)写出，的邻补角（相邻的补角）； (2)写出，的对顶角； (3)如果，求，． 知识点3 余角和补角 1. 余角和补角：一般地，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角．类似地，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称两个角互补，其中一个角是另一个角的补角． 2. 余角和补角的性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等． 【题型3 与余角或补角有关的计算】 【例3】已知一个角的余角是，那么这个角的补角为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知，则的余角是 度，的补角是 度． 【变式3-2】如图，O为直线上一点，平分． (1)直接写出的余角是 ； (2)是的平分线吗？请说明理由． 【变式3-3】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）已知与互为余角，与互为补角，，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型4 同（等）角的余（补）角相等的应用】 【例4】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）如图所示，将一副三角尺叠放在一起，若，求的度数． 【变式4-1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，则，推理的理由是（   ） A．同角的补角相等 B．同角的余角相等 C． D． 【变式4-2】（24-25七年级上·甘肃武威·期中）如图． (1)请写出与的数量关系，并说明理由； (2)写出的补角和余角； (3)如果，平分，求度数． 【变式4-3】如图，已知、、三点在同一直线上，，且和互为余角． (1)与互余吗？ (2)和有什么关系，为什么？ (3)的补角是___________． 知识点4 垂线 定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说这两条直线互相垂直．其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．如图，直线AB与直线CD相交于点O，当（或其他任意一个交角等于）时，直线AB与直线CD垂直，记作，读作“AB垂直于CD”，交点O是垂足．反之，若，则四个交角均为． 【题型5 与垂线有关的角度计算】 【例5】（2025七年级上·全国·专题练习）如图，直线相交于点O，，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图，，点O为垂足，直线过点O，且，则 ． 【变式5-2】（25-26七年级上·全国·单元测试）如图所示，直线，相交于点O，，，，求的度数． 【变式5-3】（24-25六年级下·全国·单元测试）如图，直线 ，， 相交于点 ， ． (1)若 ，求的度数； (2)若 ，求的度数． 知识点5 垂线的画法 一“落”：让直角三角板的一条直角边落在已知直线上，即与已知直线重合． 二“移”：沿已知直线移动三角板，使其另一条直角边经过已知点． 三“画”：沿与已知直线不重合的直角边画直线，这条直线就是已知直线的垂线． 【题型6 垂线的画法】 【例6】（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【变式6-1】如图，分别过点P作的两边的垂线． 【变式6-2】如图，点是的边上一点． (1)过点画的垂线，垂足为； (2)过点画的垂线，交于点． 【变式6-3】过点作的垂线． （1） （2） （3） （4） 知识点6 垂线的性质 垂线的性质：在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【题型7 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直】 【例7】如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【变式7-1】（24-25七年级下·河南濮阳·期中）如图，两个画图过程，直观的刻画了一个几何定理，这个定理指的是（   ） A．两点确定一条直线 B．在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．同位角相等，两直线平行 【变式7-2】（24-25七年级上·全国·课后作业）若，，则、、三点共线，理由是： ． 【变式7-3】从直线外一点到已知直线上的点的所有连线中，与已知直线垂直的线段有多少条？（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 知识点7 垂线段及其垂线段的性质 1. 垂线段：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段，叫做垂线段．如图，线段CO叫做点C到直线AB的垂线段． 2. 垂线段的性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．简单说成:垂线段最短． 如图，点P是直线l外一点，，垂足为O．A，B，C，D都是直线l上的点，在线段PA，PB，PC，PD，PO中，PO最短，因为垂线段最短．又因为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”,所以点P到直线l的垂线段也只有一条． 【题型8 垂线段最短】 【例8】如图，直线表示某天然气的主管道，现在要从主管道引一条分管道到某村庄，则沿图中线段修建可使用料最省．理由是 ． 【变式8-1】（24-25七年级上·全国·课后作业）体育课上，老师测量某个同学的跳远成绩的依据是（    ） A．点到直线的距离相等 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【变式8-2】如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为（   ） A．6.4米 B．7.2米 C．8米 D．9米 【变式8-3】（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为 ． 知识点8 点到直线的距离 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如图，垂线段CO的 【题型9 点到直线的距离】 【例9】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【变式9-1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，能表示点到直线的距离的线段共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式9-3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $