2.1 第1课时 对顶角、余角和补角 导学案 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第二章　相交线与平行线 2.1　两条直线的位置关系 第1课时　对顶角、补角和余角教师展示生活中相交线的实例：十字路口的两条道路、剪刀的两片刀刃、三角板的两条邻边，引导学生观察：这些图形中两条直线的位置关系有什么共同特点？它们相交后形成了几个角？ 出示图形：直线AB与直线CD相交于点O，提问：两条直线相交时，有几个交点？这些交点有什么特点？引出本节课第一部分内容——相交线，重点探究两条直线相交的基本性质及所成角的关系。 二、探究新知，明确概念（18分钟） 1. 相交线的定义：结合实例和图形，明确定义——当两条直线有且只有一个公共点时，这两条直线叫作相交线，这个公共点叫作它们的交点。强调“有且只有一个公共点”，区分相交线与重合线的差异，说明两条直线相交，交点唯一。 2. 对顶角与邻补角的探究：引导学生观察直线AB与CD相交形成的4个角（标注∠1、∠2、∠3、∠4），分组讨论： （1）邻补角：观察∠1与∠2，它们有一条公共边OC，另一边互为反向延长线，且∠1+∠2=180°，这样的两个角叫作邻补角。类比得出∠2与∠3、∠3与∠4、∠4与∠1也互为邻补角，强调邻补角的两个核心特征：有公共边、另一边互为反向延长线，且互补。 （2）对顶角：观察∠1与∠3，它们有一个公共顶点O，两边互为反向延长线，这样的两个角叫作对顶角。同理，∠2与∠4互为对顶角。引导学生动手测量4个角的度数，猜想对顶角的关系，最终总结：对顶角相等。 3. 辨析巩固：出示变式图形（两条直线相交角度变化），让学生快速识别对顶角和邻补角，教师巡视指导，纠正易错点：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角；邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角。 三、例题解析，深化理解（10分钟） 例1：如图，直线AB与CD相交于点O，已知∠1=50°，求∠2、∠3、∠4的度数。 解析：先判断角的关系，再计算度数。∠1与∠2互为邻补角，所以∠2=180°-∠1=180°-50°=130°；∠1与∠3互为对顶角，所以∠3=∠1=50°；∠2与∠4互为对顶角，所以∠4=∠2=130°。 例2：判断下列说法是否正确，并说明理由：（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；（3）邻补角互补；（4）互补的两个角是邻补角。 解析：结合定义逐一判断，（1）（3）正确，符合对顶角和邻补角的性质；（2）（4）错误，举例说明：两个直角相等，但不一定是对顶角；两直线平行时，同旁内角互补，但不是邻补角。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：如图，直线l与m相交于点O，∠1=65°，求其余三个角的度数，学生独立完成，举手汇报。 2. 判断题：（1）两条直线相交，一定有对顶角（ ）；（2）邻补角一定有一条公共边（ ）；（3）对顶角的两边互为反向延长线（ ），纠正易错认知。 3. 提升题：直线AB与CD相交于点O，∠AOC比∠BOC小30°，求∠AOD的度数，培养学生列方程解决几何问题的能力。 学生完成后，小组内核对答案，教师针对共性错误进行重点讲解，强化性质应用。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理：1. 相交线的定义及交点特征；2. 对顶角、邻补角的定义及性质；3. 利用对顶角相等、邻补角互补求未知角的方法。 第二课时：平行线的概念、性质及判定（45分钟） 一、情境引入，衔接旧知（5分钟） 教师回顾上一课时内容：上节课我们学习了相交线，知道两条直线相交时会形成对顶角和邻补角，并且掌握了它们的性质。今天我们来学习两条直线的另一种位置关系——平行线，它在生活中也很常见，且与相交线有着密切的联系。 展示生活中平行线的实例：黑板的上下两条边、课桌的两组对边、铁轨的两条轨道，引导学生观察：这些图形中两条直线的位置关系，与相交线有什么不同？引出本节课核心内容——平行线的概念、性质及判定。 二、探究新知，突破重点（18分钟） 1. 平行线的定义与表示：结合实例和图形，明确定义——在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。强调两个关键条件：① 同一平面内；② 不相交。补充：同一平面内，两条直线的位置关系只有相交或平行（重合不算）。表示方法：直线AB与CD平行，记作“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。 2. 平行线的基本事实：引导学生动手操作，在练习本上画一条直线l，在直线l外取一点P，尝试过点P画一条与直线l平行的直线，观察能画出几条。总结：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3. 平行线的性质：出示图形，两条平行直线AB∥CD被截线EF所截，标注∠1至∠8，引导学生通过测量、推导，得出三个性质： （1）性质1：两直线平行，同位角相等（通过测量同位角∠1和∠5，验证相等关系）； （2）性质2：两直线平行，内错角相等（利用对顶角相等和性质1，通过等量代换推导）； （3）性质3：两直线平行，同旁内角互补（利用邻补角互补和性质1，通过等量代换推导）。 4. 平行线的判定：结合性质逆向推导，得出三个判定方法： （1）判定1：同位角相等，两直线平行； （2）判定2：内错角相等，两直线平行； （3）判定3：同旁内角互补，两直线平行。 辨析巩固：强调“性质”与“判定”的区别——性质是“由平行推角的关系”，判定是“由角的关系推平行”，避免混淆。 三、例题解析，深化应用（10分钟） 例1：如图，AB∥CD，EF交AB于点E，交CD于点F，已知∠1=60°，求∠2、∠3、∠4的度数。 解析：结合平行线的性质计算，① 同位角相等，∠2=∠1=60°；② 内错角相等，∠3=∠1=60°；③ 同旁内角互补，∠4=180°-60°=120°。 例2：如图，已知∠1=∠2，求证：AB∥CD。 解析：利用平行线的判定方法推导，∵ ∠1=∠2（已知），∠1=∠3（对顶角相等），∴ ∠2=∠3（等量代换），∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：如图，AB∥CD，∠1=75°，求∠2、∠3的度数，学生独立完成。 2. 判断题：区分平行线的性质与判定，纠正易错认知（如“内错角相等，两直线平行”是判定，“两直线平行，内错角相等”是性质）。 3. 提升题：如图，∠1+∠2=180°，求证：AB∥CD，强化判定方法的应用。 学生完成后，小组核对答案，教师重点讲解共性错误，区分性质与判定的不同。 五、课堂小结，梳理收获（2分钟） 师生共同梳理：1. 平行线的定义、表示方法及基本事实；2. 平行线的三个性质和三个判定（区分性质与判定）；3. 利用性质求角度、利用判定证平行的思路。 第三课时：定义、命题、定理、证明及平移（45分钟） 一、情境引入，衔接旧知（5分钟） 教师回顾前两课时内容：我们已经学习了相交线、平行线的性质与判定，在学习过程中，我们用到了很多判断性的语句，比如“对顶角相等”“两直线平行，同位角相等”，这些语句在数学中叫作什么？我们又如何证明它们的正确性？另外，图形的平移也与平行线密切相关，今天我们就来整合这些知识，完成本章的收尾学习。 二、探究新知，整合提升（18分钟） （一）定义、命题、定理、证明 1. 回顾概念：快速梳理上节课所学：① 定义：对名称和术语的含义作出明确规定的语句；② 命题：判断一件事情的语句，由题设和结论组成，分为真命题和假命题；③ 定理：经过推理证实的真命题；④ 证明：推理证实命题正确性的过程，步骤为“画图—已知—求证—证明”，每一步推理需有依据（定义、基本事实、定理）。 2. 巩固应用：举例示范，证明“同旁内角互补，两直线平行”，规范书写证明过程，强调推理依据的重要性。 （二）平移 1. 平移的定义：把一个图形整体沿某一条直线方向移动，形状、大小、方向不变，只有位置改变，这种图形运动叫作平移。强调三个核心特征，结合生活实例巩固。 2. 平移的性质：① 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等；② 对应线段平行（或在同一直线上）且相等；③ 对应角相等。补充：平移的方向是对应点连线的方向，距离是对应点连线的长度。 3. 平移的作图：示范基本步骤：确定方向和距离→找关键点→移对应点→连图形，强调作图规范。 三、例题解析，综合应用（10分钟） 例1：判断下列语句是否是命题，若是，指出题设和结论，判断真假，并说明是否是定理： （1）两直线平行，内错角相等；（2）画一条线段AB；（3）同角的补角相等。 解析：（1）是命题，题设：两直线平行，结论：内错角相等，真命题，是定理；（2）不是命题，是操作指令；（3）是命题，题设：两个角是同一个角的补角，结论：这两个角相等，真命题，是定理。 例2：如图，三角形ABC沿水平向右平移5cm得到三角形A'B'C'，已知AB=3cm，∠A=70°，求A'B'的长度、∠A'的度数及AA'的长度。 解析：根据平移的性质，A'B'=AB=3cm，∠A'=∠A=70°，AA'=5cm（平移距离）。 四、课堂练习，夯实基础（10分钟） 1. 基础题：完成“同角的余角相等”的证明，规范书写步骤；判断生活中的平移现象。 2. 提升题：如图，AB∥CD，EF⊥AB，求证：EF⊥CD；画出长方形沿竖直方向平移4cm后的图形。 3. 综合题：结合相交线、平行线、平移的知识，解决简单的几何推理与作图问题，强化知识整合应用。 学生完成后，小组内核对答案，教师巡视指导，针对共性错误进行重点讲解，强化知识的综合应用能力。 五、课堂小结，梳理全章（2分钟） 师生共同梳理全章核心知识：1. 相交线：对顶角、邻补角的定义及性质；2. 平行线：定义、基本事实、性质与判定；3. 推理基础：定义、命题、定理、证明的概念及规范；4. 图形变换：平移的定义、性质及作图。 引导学生反思：本章的重点的是平行线的性质与判定，难点是证明的规范书写和知识的综合应用，梳理本章易错点，为后续复习奠定基础。 【素养目标】 1．在具体情境中理解对顶角、补角、余角等概念，掌握对顶角相等、同角或等角的余角相等、同角或等角的补角相等，并能解决一些实际问题． 2．经历观察、操作、推理、交流等过程，进一步发展空间观念、推理能力和初步的有条理表达的能力． 重点：对顶角、补角、余角的性质及应用． 难点：余角、补角的性质． 【情境导入】 观察下列图片，你认为两条直线有哪些位置关系？ 【合作探究】 探究一：对顶角的概念及其性质 观察与交流：(1) 如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠1 和∠2 有什么位置关系? (2) 它们的大小有什么关系? [要点归纳] 1．对顶角的概念：如图，直线AB与CD相交于点O，∠1和∠2有公共顶点O，并且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角． 2．对顶角的性质：对顶角相等．　 [典例精析] 例1 下列各图中，∠1 与∠2 是对顶角的是（ ） 例2 如图，直线 AB、CD、EF 相交于点 O，∠1＝40°， ∠BOC＝110°，求∠2 的度数. 探究二：补角和余角的概念 活动1：画一画：1.请画出两个角，使他们的和为90°. 2．请画出两个角，使它们的和为180°. 3．小组交流画法，相互点评． 4．用自己的语言描述补角、余角的定义． 想一想：如图，∠1与∠3有什么数量关系？ 要点归纳：1.补角：一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角． 2．余角：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角．　 [填一填] 观察可得结论：同一个锐角的补角比它的余角大___°. 探究三：补角和余角的性质 如图①，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1＝∠2，将图①简化成图②，ON与DC交于点O，∠DON＝∠CON＝90°， ∠1＝∠2. 活动2：小组合作交流，解决下列问题：在图②中， (1)哪些角互为补角？哪些角互为余角？ (2)∠3与∠4有什么关系？为什么？ (3)∠AOC与∠BOD有什么关系？为什么？ 要点归纳：同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等．　 例3 如图，已知∠AOB 在∠AOC 内部，∠BOC ＝ 90°，OM、ON 分别是∠AOB，∠AOC 的平分线，∠AOB与∠COM 互补，求∠BON 的度数． 【课堂总结】 对顶角的性质：对顶角相等 互余 互补 两角间的数量关系 对应图形 性质 当堂反馈 1.若∠A＝75°，则∠A的余角为(　　) A.15° B.75° C.80° D.105° 2.下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是(　　) 3.如图，直线AB，CD相交于点O，且∠AOD＋∠BOC＝100°，则∠AOC的度数为(　　) 第3题图 A.150° B.130° C.100° D.90° 4.如图，直线AB，CD，EF交于点O. 第4题图 (1)∠COE的对顶角是　 　； (2)∠BOE的补角是　 　. 5.若∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1＝∠3.理由是　 　. 6.一个角的补角比它的余角的2倍多10°，则这个角的度数为　 　. 参考答案 【合作探究】 探究一：对顶角的概念及其性质 [典例精析] 例1 D 例2 解：因为∠1＝40°，∠BOC＝110°(已知)， 所以∠BOF＝∠BOC－∠1 ＝110°－40°＝70°. 因为∠BOF＝∠2 (对顶角相等)， 所以∠2＝70° (等量代换). 探究二：补角和余角的概念 [填一填] 90 探究三：补角和余角的性质 活动2 解：(1)互为补角：∠3与∠AOC，∠4与∠BOD，∠DON与∠CON； 互为余角：∠1与∠3，∠2与∠3，∠2与∠4，∠1与∠4； (2) ∠3＝∠4.理由：因为∠1 =∠2，∠1 +∠3 = 90°， ∠ 2 +∠4 = 90°， 所以∠3 =∠4； (3) ∠AOC＝∠BOD. 理由：因为∠1 =∠2，∠1 +∠AOC = 180°，∠2 +∠BOD = 180°， 所以∠AOC =∠BOD. 例3 解：∵∠AOB 与∠COM 互补， ∴∠AOB＋∠COM ＝ 180°，即∠AOB＋∠BOM＋∠COB ＝ 180°. ∵∠COB ＝ 90°， ∴∠AOB＋∠BOM ＝ 90°. ∵OM 是∠AOB 的平分线， ∴∠BOM＝ ∠AOB，即∠AOB＋∠AOB＝90°， 解得∠AOB＝60°. ∴∠AOC＝∠BOC＋∠AOB＝90°＋60°＝150°. ∵ON 平分∠AOC 得∠AON＝ ∠AOC＝ ×150°＝75°. 由角的和差， ∴∠BON＝∠AON－∠AOB＝75°－60°＝15°. 【课堂总结】 互余 互补 两角间的数量关系 两个角的和是90° 两个角的和是180° 对应图形 性质 同角或等角的余角相等 同角或等角的补角相等 当堂反馈 1.A　 2.C　 3.B　 4.(1)　∠DOF　； (2)∠AOE和∠BOF　. 5.　同角的余角相等　. 6.　10°　. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $