福建厦门外国语学校（集美）2025-2026学年高二上学期数学期末复习卷03

厦外（集美）2024级高二上数学期末复习卷02 班级 姓名 座号 一、选择题 1.已知正项等比数列的前2项和为6，，则（     ） A．128 B．64 C．32 D．16 2.已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．如图，空间四边形中，，点为中点， 点在侧棱上，且，则 （     ） A． B． C． D． 4.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（     ） A． B． C． D． 5.已知圆的方程为，过点的条弦长组成一个等差数列，且过点的 最短弦长和最长弦长分别为，则 （     ） A．5 B．6 C．9 D． 6．如图，已知点是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，则圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为（     ） A． B． C． D． 7.已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（ ） A． B． C．(-1，1) D． 8.在平面直角坐标系 中，已知抛物线的焦点为是抛物线 上位于第一象限内的任意一点，是线段 上的点，且满足，则直线 的斜率的最大值为 A B. C. D. （ ） 二、选择题 9.已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是（   ） A．若，则单调递增 B．若，则单调递增 C．可能为等差数列 D．可能为等比数列 10.棱长为2的正方体的侧面(含边界)内有一动点，则 （ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则存在非零向量使 11.已知直线与曲线和都相切，切点分别为、，则（ ） A. B. C.满足条件的直线有条 D.满足条件的直线只有条 三、填空题 12.已知双曲线过点 且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程是_____ 13.已知数列满足若为最大项，则__________. 14已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是_ _． 四、解答题 15在四棱锥中，底面为正方形， ，平面，分别 为的中点，直线与相交于点． (1)求到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 16．已知抛物线经过点，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为 原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)若，求面积的最小值． 17.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立， 求的取值范围. 18. 已知椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为．（1）求圆的标准方程； （2）已知椭圆的右焦点为F，若上两点A，B满足，且． 求证：以AB为直径的圆恒过异于点F的一个定点； （3）已知P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于两点，试求三角形 面积的最小值． 19. 已知是双曲线:的一个焦点，到双曲线的一条渐近线距离为1. （1）求的方程； （2）过点且斜率为2的直线交于两点，交的两条渐近线于两点，其中点在第一象限. （i）证明： （ii）关于轴的对称点为，过点且斜率为2的直线交于另一点，交的两条渐近线于两点，所有的点都在第一象限，记，证明：数列是等比数列，并求其公比. 1．已知正项等比数列的前2项和为6，，则（   B ） A．128 B．64 C．32 D．16 2．已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（  C  ） A． B． C． D． 3．如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（  C  ）    A． B． C． D． 4．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（  B  ） A． B． C． D． 5．已知圆的方程为，过点的条弦长组成一个等差数列，且过点的 最短弦长和最长弦长分别为，则（  C  ） A．5 B．6 C．9 D． 6．如图，已知点是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，是以为直径的圆上的一段圆弧，则圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为（   A ）    A． B． C． D． 【详解】由题得圆为，圆为，圆为； 圆与圆的相交弦所在直线方程为；到直线的距离为， 所以圆与圆的相交弦所在直线被圆截得的弦长为，故选：A 7．已知数列满足，若数列是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（ A ） A． B． C．(-1，1) D． 【详解】数列是单调递减数列，在 恒成立， 即恒成立，即， 当为奇数时，则恒成立，单调递减， 时，取得最大值为 ，，解得； 当为偶数时，则恒成立，单调递增， 时，取得最小值为20，，解得， 综上，. 8. 在平面直角坐标系 中，已知抛物线的焦点为是抛物线 上位于第一象限内的任意一点，是线段 上的点，且满足，则直线 的斜率的最大值为 A B. C. D. （ D ） 【详解】设，由可得：， 即，从而，即， 根据得：. D选项正确. 9. 已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是（ AD ） A．若，则单调递增 B．若，则单调递增 C．可能为等差数列 D．可能为等比数列 10．棱长为2的正方体的侧面(含边界)内有一动点，则 （BCD） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则存在非零向量使 【详解】对于A，， 则 ，从而可知点在线段上，由于不垂直侧面， 故不成立，所以A错误；对于B，易证，，从而可知平面， 由，可知点在线段上，因此，所以，B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D，设， 所以 ，得，从而可知不会是零向量，故D正确. 故选：BCD 11. 已知直线与曲线和都相切，切点分别为、，则（ BC ） A. B. C. 满足条件的直线有条 D. 满足条件的直线只有条 详解】由题可知直线与曲线相切于点，又，所以直线的斜率， 则曲线在点处的切线方程为，即， 直线与曲线相切于点，，则曲线在点处的切线方程为，即， 则， 则，即，可得，即，故B正确，A错误；把代入，得，令，其中，则，当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以，又因为， ，所以，， 由零点存在定理可知，函数在区间、上各存在一个零点， 故函数有且只有两个零点，故满足条件的直线有条，故C正确，D错误． 故选：BC. 12. 已知双曲线过点 且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程是_____ 13. 已知数列满足若为最大项，则__________. 【详解】由得，，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，从而可得到， 所以最大项是第5项或第6项，故或 14．已知球内切于正四面体，且正四面体的棱长为，线段是球的一条动直径（，是直径的两端点），点是正四面体的表面上的一个动点，则的最大值是__． 【解析】由正四面体棱长为，其内切圆的半径为， 由题意，，是直径的两端点， 可得，， 则， 当点在正四面体顶点时，最大，且最大值为， 则的最大值为， 15．在四棱锥中，底面为正方形， ，平面，分别 为的中点，直线与相交于点． (1)求到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）由平面，且、平面，故、，又底面 为正方形，故，故、、两两垂直，故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则、、、、, 则，，， 设平面的法向量为，则有，即，令，则有、， 故可为， 则到平面的距离； （2）、，则，则有， 故直线与平面所成角的正弦值为. 16．已知抛物线经过点，A，B是抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为 原点． (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)若，求面积的最小值． 【详解】（1）由抛物线经过点知，，解得，则抛物线的方程为， 即得抛物线的焦点坐标为，准线方程为． （2）由题意知，直线不与轴垂直，设直线，由消去， 得，． 设，，则，， 因为，所以，即， 解得（舍去）或， 所以，解得．满足， 所以直线． 当时，与无关，所以直线过定点，设定点为,则的面积为 ， 当且仅当，或，时，等号成立， 所以面积的最小值为4． 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，若对任意的，恒成立， 求的取值范围. 【1】当时，，，解得， 当时，由，可得，相减可得，对也成立， 由此可得数列是首项为，公比为的等比数列，所以， 所以，数列的通项公式为. 【2】， 则 两式相减可得： , 整理可得, 若对任意的，恒成立,即为恒成立， 设，则，当时，即时， 所以当时，， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，，可以看出在处取得最小值， 所以从后才开始递增，即当，，时，， 当时，，所以， 所以的取值范围为. 18. 已知椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为． （1）求圆的标准方程； （2）已知椭圆的右焦点为F，若上两点A，B满足，且． 求证：以AB为直径的圆恒过异于点F的一个定点； （3）已知P为椭圆上任意一点，过点P作圆的切线分别交椭圆于两点，试求三角形 面积的最小值． 【1】因为椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，所以四边形为菱形， 为其中心点，又，坐标分别为，，可得直线方程为， 则到的距离为，即半径，故圆的标准方程为． 【2】设，，，则，， 又，所以， 结合 可得，，设以AB为直径的圆上的点，则，， ， 化简得，令，则， 解得或，所以该圆恒过异于F定点． 【3】设直线PM方程为，由直线PM与圆相切，可知原点到直线PM的距离，整理可得，将直线PM方程代入椭圆可得，， 整理即有，设，， 则，即，故， 同理，，故、、三点共线，则， 设代入椭圆方程可得，则， 故， 同理，， 从而，，所以，， 得，因此，，当且仅当时等号成立， 故三角形PMN面积的最小值为． 19. 已知是双曲线:的一个焦点，到双曲线的一条渐近线距离为1. （1）求的方程； （2）过点且斜率为2的直线交于两点，交的两条渐近线于两点，其中点在第一象限. （i）证明： （ii）关于轴的对称点为，过点且斜率为2的直线交于另一点，交的两条渐近线于两点，所有的点都在第一象限，记，证明：数列是等比数列，并求其公比. 【1】由题意，双曲线半焦距，渐近线即， 到渐近线的距离为 ， 所以，即双曲线的方程为. 【2】(i)的两条渐近线为，过且斜率为2的直线方程为：， 与联立得，， 设， 可得，； 设，， 与渐近线分别联立 得，， 所以，即，由图象知， 所以. (ii) 由(i)知，任意斜率为2且与交于右支两点的直线，与渐近线交于， 满足在第一象限，都有，即恒成立. 因为关于轴的对称点为， 由双曲线的对称性知，在双曲线上， 为过且斜率为的直线，则过作斜率为的直线 与关于轴对称，交于，如图，由对称性可得， 因此，由于，直线与直线重合， 对所有都成立，所以三角形都相似， 设直线倾斜角为，即，，， 则直线倾斜角为， 因为直线倾斜角为，则，， 由正弦定理，为定值，又， 所以数列为等比数列，其公比为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $