福建厦门外国语学校（集美）2025-2026学年高二上学期数学期末复习卷01

厦外（集美）2024级高二上数学期末复习卷01 班级 姓名 座号 一、选择题 1．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 2. 在等差数列中，已知，，则的公差为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3．若直线l：经过第二、三、四象限，则圆C：的圆心位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4. 已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面α与β的距离为 A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 （ ） 5．设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若， 则 A． B． C． D． （     ） 6. 某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率 为，这两年的年产量的平均增长率为，则 （ ） A. B. C. D. 7. 设为数列的前项积，已知，则 （ ） A. B. C. D. 8．过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为. 若直线在轴， 轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（     ） A． B． C． D． 二、选择题 9．已知双曲线（）的右焦点为，直线是的一条渐近线，是上一点, 则 A．的虚轴长为 B．的离心率为 ( ) C．的最小值为 D．直线的斜率不等于 10．设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（     ） A．的最小值为 B．满足的最小值是14 C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项 11．点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ ） A．当P在平面上运动时，四棱锥的体积发生变化． B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 三、填空题 12．已知直线和，若，则 ． 13. 已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式_______. 14．1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直角 坐标系xOy中，把到定点，距离之积等于（）的点的轨迹称为双纽线，已知 点是时的双纽线C上一点，则的最大值为______ 四、解答题 15．已知圆C经过点，，并且圆心C在y轴上. (1)求圆C的方程; (2)记过点B的直线l与圆C的另一个交点为点D，当的面积为4时，求直线l的方程. 16． 在公差不为零的等差数列中，且，，成等比数列．(1)求通项公式； (2)令，求数列的前项和； 17.如图，在三棱台中，，分别为、的中点. （1）求证：平面 （2）若平面，为等腰直角三角形，，，求平面与平面 所成的锐二面角的大小. 18.已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； （3）设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线 上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围. 19．若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”. (1)已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围； (2)已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数， 使得对恒成立，并说明理由； (3)已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”， 证明：数列是“超1数列”. 1． 已知函数，则（  A  ） A． B． C． D． 2. 在等差数列中，已知，，则的公差为（ A ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3．若直线l：经过第二、三、四象限，则圆C：的圆心位于（  B  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4. 已知平面均以为法向量，平面经过坐标原点，平面经过点，则平面α与β的距离为 A. 2 B. 2 C. 3 D. 2 （ A ） 5．设抛物线的焦点为，过抛物线上点作其准线的垂线，设垂足为，若， 则 A． B． C． D． （   A ） 6. 某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率 为，这两年的年产量的平均增长率为，则 （ B ） A. B. C. D. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以，所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 7. 设为数列的前项积，已知，则 （ B ） A. B. C. D. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时， 有，又当时，，则由可得， 即，则，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则，故. 故选：B. 8．过椭圆上的点作圆的两条切线，切点分别为. 若直线在轴， 轴上的截距分别为，若，则椭圆离心率为（  D  ） A． B． C． D． 【详解】设，则， 令坐标原点为，由切圆于， 得， 则，于是，同理，因此直线的方程 为，则，即， 所以椭圆离心率. 故选：D 9．已知双曲线（）的右焦点为，直线是的一条渐近线，是上一点，则（  ABD ） A．的虚轴长为 B．的离心率为 C．的最小值为 D．直线的斜率不等于 【详解】因双曲线的渐近线为，由题有，得到，对于A，因为虚轴长 为，正确，对于B，因为的离心率为，正确， 对于C，因为直线，，所以到直线的距离为， 所以的最小值为，错误，对于D，因为过点且斜率为的直线方程为， 即与直线平行，又是上一点，所以直线的斜率不等于，正确， 故选：ABD. 10．设等差数列的前项和为，公差为，已知，则下列说法正确的是（  ABD  ） A．的最小值为 B．满足的最小值是14 C．满足的最大值是14 D．数列的最小项为第8项 【详解】由可知．对于选项A：由为负，为正可知， 最小，A正确．对于选项B：， 则满足的最小值为14，满足的最大值是13,故B正确，C错误．对于选项D：由 为负，为正，且为负，为正可知：为负． 考虑到，故最大，即最小，正确． 故选：ABD 11．点P是棱长为1的正方体的表面上一个动点，则下列结论中正确的（ BC ） A．当P在平面上运动时，四棱锥的体积发生变化． B．当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C．若F是的中点，当P在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D．使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 【详解】对于A，底面正方形的面积不变，当P在平面上运动时，P到平面的距离 不变，即四棱锥的高为正方体棱长，故四棱锥的体积不变，故A不正确； 对于B，因为，所以与所成角即为与所成角，因为，所以 为等边三角形，显然，当P在端点A，时，所成角最小，最小角为，当P在中点时，由三线合一可知，⊥，此时所成角最大为，所以与所成角的取值范围是，故B正确； 对于C，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设， 则，设平面的一个法向量为， 则，令得，故平面的一个法向量为， 因为平面，所以，可得， 所以， 当时，等号成立，C正确. 对于D，因为直线与平面所成的角为， 若点在平面内，此时当与重合时，直线与平面所成角最大，最大值为，其他位置均不合要求， 同理，若点在平面内，此时当与重合时， 直线与平面所成角最大，最大值为，其他位置不合要求， 若点在平面内，点的轨迹是；若点在平面内，点的轨迹是； 若点在平面时，作平面，如图所示，因为，所以， 又因为，所以，所以，所以点的轨迹是以点为圆心，以1为半径的 四分之一圆，其弧长为，故的轨迹长度为，故D错误； 12．已知直线和，若，则 ．4 13. 已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： ____________. 【详解】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得：， 即. 14． 1694年瑞士数学家雅各布•伯努利描述了如图的曲线，我们将其称为伯努利双纽线，定义在平面直 角坐标系xOy中，把到定点，距离之积等于（）的点的轨迹称为双纽线， 已知点是时的双纽线C上一点，则的最大值为______ 【详解】由题意，，，，双纽线的方程为， 化简可得，故A正确；由等面积法得， 则，所以，故B正确；因为在线段的中点，所以， 所以， 由余弦定理， 即， 所以，所以的最大值为 15．已知圆C经过点，，并且圆心C在y轴上. (1)求圆C的方程; (2)记过点B的直线l与圆C的另一个交点为点D，当的面积为4时，求直线l的方程. 【详解】（1）因为，，则，且AB的中点为，则AB的垂直平分线的方程 为，因为圆心C在y上，令，得，即点，又， 所以圆 （2）当直线l的斜率不存在时，此时l的方程为，令，得，所以或， 即，此时，而点到l的距离为2，的面积为满足要求， 所以满足要求； 当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为 点到l的距离，圆心到直线l的距离为， 所以，所以， 化简得，解得，所以直线l的方程为，即， 综上，直线l的方程为或 16．在公差不为零的等差数列中，且，，成等比数列． (1)求通项公式； (2)令，求数列的前项和； 【解析】（1）由题意，设等差数列的公差为，，，成等比数列，， ， 又，，解得， ，； （2）由（1），可得 ， ． 17. 如图，在三棱台中，，分别为、的中点. （1）求证：平面； （2）若平面，为等腰直角三角形，，，求平面与平面 所成的锐二面角的大小. 【1】在三棱台中，，，所以， 因为为的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，又分别为、 的中点，所以，因为平面，平面，所以平面， 因为，所以平面平面，又平面，所以平面. 【2】因为平面，为等腰直角三角形，，故以为原点，以为轴， 以为轴，过点作垂直于的射线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则，平面与平面所成锐二面角为， 则，，，，，所以，， ，，设平面的法向量为，平面的法向量 为，则，即，解得， ，即，解得，所以平面与平面所成的锐二面角 余弦值为，又， 所以平面与平面所成的锐二面角为. 18. 已知双曲线：的实轴长为2，右焦点F到双曲线的渐近线距离为. （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，连接并延长交双曲线左支于点P（O为坐标原点），求的面积的最小值； （3）设定点，过点T的直线交双曲线于M，N两点，M，N不是双曲线的顶点，若在双曲线 上存在一点S，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数t的取值范围. 【1】因为双曲线的实轴长为2，故，而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线方程为：. 【2】显然直线与轴不垂直，设：，，，由双曲线的对称性知的 中点为，故， 联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令， 则，易知在上为减函数， 则当时，， 综上：的面积的最小值为12. 【小问3详解】 不妨设，，， 若直线的斜率为，则直线与双曲线的交点为双曲线的顶点，与条件矛盾， 所以可设直线的方程为，且， 联立，消可得， 方程的判别式， 所以， 所以，， 所以， ， ， ， 所以 所以 所以， 因为直线的斜率与直线的斜率之和为定值， 所以，故， 故为定值， 所以，因为或，，， 所以或，存在双曲线上的点满足， 使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，定值为， 所以的范围为. 19．若递增数列的后一项与其前一项的差大于，则称这个数列为“超1数列”. (1)已知数列是“超1数列”，求实数的取值范围； (2)已知数列是“超1数列”，其前项和为，若，试判断是否存在实数， 使得对恒成立，并说明理由； (3)已知正项等比数列是首项为1，公比为整数的“超1数列”，数列不是“超1数列”， 证明：数列是“超1数列”. 【详解】（1）由题知，，且，解得，所以实数的取值范围为. （2）不存在， 理由如下：由题知，对恒成立，所以数列是等差数列，且，公差为，所以. 假设存在实数，使得对恒成立， 即对恒成立， 所以对恒成立. 当时，；当时，恒成立，因为，所以，与矛盾， 所以假设不成立， 故不存在符合要求的实数. （3）由题意，设数列的公比为且，则.因为， 所以在数列中，为最小项. 所以在数列中，为最小项. 因为为“超1数列”，所以只需，即，又，所以.又不是“超1数列”，且为最小项，所以，即.又，所以，又，所以或4. 当时，， 令， 则， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”. 当时，， 令， 则， 所以为递增数列，即， 因为， 所以对于任意的，都有，即数列是“超1数列”. 综上所述，数列是“超1数列”. 1 学科网（北京）股份有限公司 $