福建厦门外国语学校（集美）2025-2026学年高二上学期数学期末复习卷06

厦外（集美）2024级高二上数学期末复习卷6 班级______ 姓名___________ 座号______ 一、单项选择题： 1.已知函数f（x）＝x3﹣3ax﹣1，在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，则a＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1 2.对于直线，下列选项正确的为（    ） A．直线倾斜角为 B．直线在轴上的截距为 C．直线的一个方向向量为 D．直线经过第二象限 3.曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 4.过点(2,2)且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ） A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 5.已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，且P到F的距离与P到C的对称轴的距离之差为2，则p等于（ ） A. B.1 C.2或4 D.4或36 6.已知等差数列的前n项和为，且，，则是中的（ ） A.第28项 B.第29项 C.第30项 D.第32项 7.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)＝2xf'＋sin x，则f 等于（ ） A. B. C. D.－ 8.已知函数在(－∞,0)，(3,＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. (－∞,－2] D. 二、多项选择题 9.在△ABC中，B=，AB=2，BC=3，E为AC的中点，点F在线段BC上，且CF=2BF，将△ABC以直线BC为轴顺时针转一周围成一个圆锥，D为底面圆上一点，满足，则（ ） A.BA⊥BD B.在上的投影向量是 C.直线EF与直线CD所成角的余弦值为 D.直线EF与平面ACD所成角的正弦值为 10.已知动点M，N分别在圆：和：上，动点P在x轴上，则（ ） A.圆的半径为3 B.圆和圆外离 C.|PM|＋|PN|的最小值为2 D.过点P作圆的切线，则点P到切点的最短距离为 11.平面直角坐标系中椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆C上，则（ ） A.椭圆C的离心率为 B.直线l：kx＋y－k＝0与椭圆C相交 C.椭圆C的短轴长为2 D.若椭圆C上弦AB的中点坐标为，则直线AB的斜率为－ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.数列满足，，则数列的通项公式为　　　 .  13.若函数在(0,2)上有极值，则实数a的取值范围是　　　　　　.   14.抛物线C：的焦点为F，A，B为C上的两点.若直线FA的斜率为，且·＝0，延长AF，BF分别交C于P，Q两点，则四边形ABPQ的面积为　　　.  四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，． (1)证明：平面平面； (2)是侧棱上一点，记，是否存在实数，使平面与平面所成的二面角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 16. 已知圆为过点且斜率为的直线. (1)若与圆相切，求直线的方程； (2)若与圆相交于不同的两点，是否存在常数，使得向量与共线？若存在，求的值：若不存在，请说明理由. 17.已知椭圆C的离心率为,左、右焦点分别为. (1)求C的方程; (2)已知点,证明:线段的垂直平分线与C恰有一个公共点; (3)设M是坐标平面上的动点,且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程. 18.已知函数. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 19.已知在数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2026项和. 厦外（集美）2024级高二上数学期末复习卷6 答案及解析 1. D 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线平行即可得解． 【解答】解：因为函数f（x）＝x3﹣3ax﹣1，所以f′（x）＝3x2﹣3a， 因为曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行， 所以k＝f′（1）＝3﹣3a＝0，解得a＝1． 故选：D． 2.C 【详解】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误； 在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误； 在中，令，解得，即直线过两点， ，所以直线的一个方向向量为，故C正确； 画出直线的图象如图所示， 所以直线不经过第二象限，故D错误. 3.D 【详解】由， 得， 故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为 . 4.D 【详解】由9x2＋3y2＝27，得＝1，所以焦点在y轴上，且c＝. 设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，所以解得 所以双曲线的方程为＝1. 5.D 【详解】因为P(x0,8)是C上一点，所以＝16p，所以|x0|＝4， 由抛物线的定义可得P到F的距离为8＋，点P到C的对称轴的距离为|x0|， 则8＋－4＝2，解得p＝4或p＝36. 6.C 【详解】设等差数列{an}的公差为d， 则解得 所以a3·a10＝(a1＋2d)(a1＋9d)＝9×(－5)＝－45， 令an＝a1＋(n－1)d＝13－2(n－1)＝－45，得n＝30，即a3·a10是{an}中的第30项. 7.A 【详解】因为f(x)＝2xf'＋sin x，所以f'(x)＝2f'＋cos x，令x＝ 则f'＝2f'＋cos f'＝－则f(x)＝－x＋sin x， 所以f ＝－＋sin . 8.B 【详解】由f(x)＝x3＋x2＋x＋1，得f'(x)＝x2＋ax＋1， ∵f(x)在(－∞,0)，(3,＋∞)上单调递增；在(1,2)上单调递减， ∴f'(x)＝0的两根分别位于[0,1]和[2,3]内， 则解得－≤a≤－. 9.ABD 【详解】△ABC旋转一周后所得圆锥的顶点为C，底面圆心为B，半径AB=2， 所以圆的周长为4π，所以所对的圆心角为∠ABD=，A正确；易知B正确；以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,2,0)，D(2,0,0)，C(0,0,3)，E，F(0,0,1)，所以==(2,0,-3)，=(0,2,-3)，所以|cos〈〉|==，C错误； 设平面ACD的法向量为n=(x,y,z)，则令z=2， 则n=(3,3,2).设直线EF与平面ACD所成的角为θ， 则sin θ=|cos〈，n〉|==，D正确. 10.BD 【详解】圆C1的圆心C1(1，2)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝，A错误；|C1C2|＝2>1＋，圆C1和圆C2外离，B正确； 圆C1关于x轴对称的圆为C0：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，C0(1，－2)， 连接C0C2交x轴于点P1，连接P1C1，由圆的性质得，|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－＝|PC0|＋|PC2|－1－≥|C0C2|－1－＝2－1－，当且仅当点P与P1重合，且M，N分别是线段P1C1，P1C2与圆C1和圆C2的交点时取等号，C错误； 设点P(t，0)，过点P作圆C1的切线，设切点为A，则|PA|＝≥，当且仅当t＝1，即P(1，0)时取等号，D正确. 11.BCD 【详解】设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，且m≠n)， 则解得 所以椭圆方程为＋y2＝1， 所以a＝2，b＝1，c＝，e＝，故A错误； 直线l的方程可整理为k(x－1)＋y＝0， 令解得 所以直线l恒过定点(1，0)， 因为＋0<1，所以点(1，0)在椭圆＋y2＝1内，所以直线l与椭圆相交，故B正确；2b＝2，所以短轴长为2，故C正确； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 两式相减得＝－(y1＋y2)(y1－y2)，因为弦AB的中点为， 所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，所以＝－(y1－y2)， 整理得kAB＝＝－，故D正确. 12. 【详解】在数列{an}中，a1=1，2an+1-an+anan+1=0，显然an≠0， 则有=2·+1，即+1=2而+1=2， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以+1=2n，即an=. 13. 【详解】f(x)＝x2－ax＋ln x的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝x－a＋ 要使函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0,2)上有极值，则f'(x)＝x－a＋在(0,2)上有变号零点，令g(x)＝x＋x∈(0,2)，则g(x)＝x＋≥2＝2， 当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥2. 当a＝2时，f'(x)＝x－a＋＝x＋－2≥0，函数f(x)单调递增， 则函数f(x)＝x2－ax＋ln x在(0，2)上没有极值，故a>2， 即实数a的取值范围是(2,＋∞). 14.50 【详解】由题可知，抛物线的焦点为F(1，0)，因为直线FA的斜率为， 所以直线AP的方程为y＝(x－1)，与抛物线C的方程联立，得x2－18x＋1＝0， 所以Δ＝(－18)2－4>0，设A(x1，y1)，P(x2，y2)，则x1＋x2＝18，x1x2＝1， 故|AP|＝·＝×8＝20. 因为·＝0，所以FA⊥FB， 所以直线FB的斜率为－2，直线BQ的方程为y＝－2(x－1)， 与抛物线C的方程联立，得x2－3x＋1＝0.所以Δ＝(－3)2－4>0， 设B(x3，y3)，Q(x4，y4)， 则x3＋x4＝3，x3x4＝1， 故|BQ|＝·×＝5. 所以四边形ABPQ的面积为|AP|·|BQ|＝50. 15.答案见详解 【详解】（1） 连接交于点，连接， 底面为平行四边形，为中点， ，又，，平面，， 平面，又平面，平面平面. （2）平面，平面，， 又为平行四边形，所以为菱形， ，，，在中，， ，， ，在中，，， ，在中，，，， 所以，所以，所以， 又，平面，平面，， 面； 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系． 可得，，，，，由， ，，， 设平面的法向量为，则， 又因为平面的法向量， ，解得（舍去）或． 经检验得：． 16.答案见详解 【详解】（1）圆，所以圆心为， 过且斜率为的直线方程为，即， 与圆相切，则圆心到直线的距离， 解得：或， 故切线方程为或； （2）设， 联立直线与圆 消去得， 直线与圆交于两个不同的点，，即， 解得， 由韦达定理得， 则， 则， 而，，， 若与共线，则，即， 即解得， 因为， 故没有符合题意的常数，使得向量与共线. 17.（1） +=1 （2）（3）见详解 【详解】（1）设椭圆C的方程为+=1(a>b>0), 由题意知解得故C的方程为+=1. （2）设F1M0的中点为P,∴P(0,2),=2, ∴线段F1M0的垂直平分线方程为y=-x+2,联立 得3x2+4=12,即x2-2x+1=0,Δ=4-4=0, ∴线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点. （3）设M(x0,y0),当y0=0时,线段F1M的垂直平分线为直线x=,此时=±2, 解得x0=5或x0=-3,此时M为(5,0)或(-3,0). 当y0≠0时,线段F1M的垂直平分线为y=-+=-x+, 联立 得3x2+4=12, ∴x2-x+-12=0, ∵线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点, ∴Δ=-4=0 ⇒-12-=0⇒+(2-14)+-18-32x0-15=0 ⇒+(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0⇒(++2x0+1)(+-2x0-15)=0, ∵++2x0+1=(x0+1)2+>0,∴+-2x0-15=0. 又点M(5,0),(-3,0)也满足上式,∴M的轨迹方程为(x-1)2+y2=16,它为一个圆. 18.（1）（2） 【详解】（1）当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1，f'(x)＝ex－1， 可得f(1)＝e－2，f'(1)＝e－1，即切点坐标为(1，e－2)， 切线斜率k＝e－1，所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)， 即(e－1)x－y－1＝0. （2）方法一　因为f(x)的定义域为R，且f'(x)＝ex－a， 若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增， 无极值，不符合题意；若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln a， 令f'(x)<0，解得x<ln a，可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，＋∞)上单调递增，则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，无极大值， 由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，即a2＋ln a－1>0， 令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，则g'(a)＝2a＋>0， 可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0， 不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)， 解得a>1，所以a的取值范围为(1,＋∞). 方法二　因为f(x)的定义域为R， 且f'(x)＝ex－a，若f(x)有极小值，则f'(x)＝ex－a有零点， 令f'(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，可知y＝ex与y＝a有交点，则a>0， 令f'(x)>0，解得x>ln a；令f'(x)<0，解得x<ln a， 可知f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，无极大值，符合题意， 由题意可得，f(ln a)＝a－aln a－a3<0，即a2＋ln a－1>0， 令g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上均单调递增， 所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0， 不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1， 所以a的取值范围为(1，＋∞). 19.答案见详解 【详解】（1）因为nan＋1－(n＋1)an＝1， 可得 所以当n≥2时＋…＋＋…＋＝1－又因为a1＝1，则an＝2n－1， 当n＝1时，a1＝1成立，所以an＝2n－1. （2）由(1)知，bn＝sin＋cos(πan) ＝sin＋cos[π(2n－1)]＝cos nπ＋cos π＝cos nπ－1， 所以T2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝cos π＋cos 2π＋…＋cos (2n－1)π＋cos 2nπ－2n， 因为cos (2n－1)π＋cos 2nπ＝－cos 2nπ＋cos 2nπ＝0， 所以(cos π＋cos 2π)＋…＋[cos (2n－1)π＋cos 2nπ]＝0， 所以T2n＝－2n，所以数列{bn}的前2 026项和为 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $