1.1 第3课时 积的乘方 导学案 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除 1.1　幂的乘除 第3课时 积的乘方整式的乘除 导学案（教学过程） 一、课前预习（5分钟） 1. 回顾旧知：自主回忆同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，完成基础填空（预设简单计算题，如$$a^3 \cdot a^2$$、$$(a^2)^3$$）。 2. 预习新知：阅读教材中整式乘法（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式）和整式除法（单项式÷单项式、多项式÷单项式）的内容，标记疑惑点（如运算步骤、符号处理）。 二、课堂探究（25分钟） （一）探究一：整式乘法（15分钟） 1. 小组讨论：结合预习内容，交流单项式×单项式的运算思路，尝试计算$$2a^2b \cdot 3ab^2$$，派代表分享步骤，教师补充强调“系数相乘、同底数幂相乘、单独字母保留”。 2. 例题精讲：教师讲解单项式×多项式（如$$2x(3x - 5)$$）、多项式×多项式（如$$(x + 2)(x - 3)$$），示范去括号、合并同类项步骤，强调符号易错点。 3. 即时练习：小组内完成2道基础计算题，互相检查纠错，教师巡视指导。 （二）探究二：整式除法（10分钟） 1. 类比迁移：结合同底数幂除法法则，小组探究单项式÷单项式（如$$6a^3b^2 \div 2ab$$）的运算方法，总结“系数相除、同底数幂相除”的规律。 2. 重点突破：教师讲解多项式÷单项式（如$$(4x^3 - 6x^2) \div 2x$$），强调“多项式的每一项分别除以单项式，再把结果相加”，纠正漏除、符号错误。 三、巩固练习（10分钟） 1. 分层练习：基础题（整式乘法、除法基础计算）、提升题（混合运算，如$$3x(2x - 1) - 6x^2 \div 2x$$），学生独立完成。 2. 反馈纠错：教师选取典型错题讲解，针对共性问题（如符号处理、同类项合并）强化强调，学生订正错题并标注原因。 四、课堂小结（3分钟） 1. 学生自主总结：整式乘除的核心运算步骤、易错点，分享本节课的收获与疑惑。 2. 教师梳理：梳理整式乘除的运算体系，强调“先算乘方、再算乘除”，以及符号、同类项合并的重要性，解决学生遗留疑惑。 五、课后任务（2分钟） 完成导学案课后练习题，重点巩固多项式乘除运算，预习下一节课相关内容，整理本节课错题。 【学习目标】 1．经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用，发展运算能力和有条理的思考和表达能力． 2．了解积的乘方的运算性质，并能解决实际问题． 3．从数的相应运算入手，类比过渡到式的运算，从中探索、归纳式的运算法则，使新的运算规律自然而然地同化到原有的知识之中，使原有的知识得到扩充、发展． 【学习重点】理解并掌握积的乘方的运算法则． 【学习难点】掌握积的乘方的推导过程，并能灵活运用． 【自主学习】 知识链接 1．计算： (1) 10×102×103＝ ； (2) (x5)2＝ ． 2．(1)同底数幂的乘法：am·an＝ (m，n都是正整数). (2)幂的乘方：(am)n＝ (m，n都是正整数). 【情境引入】 地球可以近似地看成球体，地球的半径约为6×103 km，它的体积大约是多少立方千米？ 根据球的体积公式，地球的体积V＝πr3＝π×(6×103)3(km3)。 那么，(6×103)3等于多少呢？ 【合作探究】 探究点1： 幂的乘方法则 【尝试·思考】 1.完成下列各式，并说明理由。 (1) (3×5)4 = 3( )×5( ) ; (2) (3×5) m = 3( )×5( ) 议一议：观察计算结果你能发现什么规律? 追问：你能用符号表示你发现的规律吗? 提问：你能证明这个猜测吗？ 证一证： 你能证明你们发现的猜想吗？一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，则有 要点归纳：积的乘方法则：(ab)n＝anbn(n是正整数). 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．　 追问：三个或三个以上因式积的乘方，是否依旧具有这样的运算性质？ (abc)n＝an·bn·cn(n为正整数). 【典例精析】 例1　计算： (1)(3x)2；　　　　　　(2)(－2b)5；(3)(－2xy)4; (4)(3a2)n。 【回顾导入】 那么，(6×103)3 = ？ 例2 填空： (1)a3b6＝(________)3； (2)36x6y10＝(________)2. 例3计算：()6×26. [拓展提升] 计算：()4×210. 【归纳总结】 幂的运算法则的逆用: an·bn = (ab)n ；am+n = am · an；amn = (am)n. 作用：可使运算更加简便快捷！ 当堂反馈 1.计算(ab)2的结果是(　　) A.2ab B.a2b C.a2b2 D.ab2 2.下列计算正确的是(　　) A.(xy)3＝xy3 B.(2xy)3＝2x3y3 C.(－2x3)3＝－6x9 D.(－xy2)4＝x4y8 3.计算()10·510的结果是(　　) A. B.5 C.1 D.520 4.(1)(2×102)3×(－10)2＝　　； (2)若(ambn)2＝a8b6，则m＝　　，n＝　　. 5.计算： (1)(－a3b2c)3； (2)(－)2024×(1)2025. 6.若xn＝2，yn＝3，求(xy)n与(x3y3)n的值. 能力提升： 如果 (an . bm . b )3 = a9b15 (a，b 均不为 0 和±1)，求 m，n 的值. 参考答案 【合作探究】 探究点1： 幂的乘方法则 【尝试·思考】 1.完成下列各式，并说明理由。 (3×5)4 ＝(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)——乘方的意义 ＝(3×3×3×3)×(5×5×5×5 )——乘法交换律、结合律 ＝34×54；——乘方的意义 议一议： 积的乘方，等于积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. (3×5)m 追问：(ab)n ＝an · bn(n 为正整数). 证一证： 例1　解：(1)(3x)2＝32x2＝9x2； (2)(－2b)5＝(－2)5b5＝－32b5； (3)(－2xy)4＝(－2)4x4y4＝16x4y4； (4)(3a2)n＝3n(a2)n＝3na2n。 【回顾导入】(6×103)3 = 63×(103)3 = 216×109 = 2.16×1011 例2 (1)ab2　(2)±6x3y5 例3原式＝( ×2 )6＝16＝1. [拓展提升] 当堂反馈 1.C 2.　D　 3.C　 4.(1)　8×108　； (2)4　，　3　. 5. (1)原式＝－a9b6c3. (2)原式＝. 6. 解：因为xn＝2，yn＝3，所以(xy)n＝xnyn＝2×3＝6，(x3y3)n＝x3n·y3n＝(xn)3(yn)3＝23×33＝216. 能力提升： 解： ， ． ． ． ，． ，． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $