1.1 第2课时 幂的乘方 导学案 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

第一章 整式的乘除 1.1　幂的乘除 第2课时　幂的乘方 【学习目标】 1．经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂运算的意义及类比、归纳等方法的作用，发展运算能力和有条理的思考和表达能力． 2．了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题. 3．从数的相应运算入手，类比过渡到式的运算，从中探索、归纳式的运算法则，使新的运算规律自然而然地同化到原有的知识之中，使原有的知识得到扩充、发展． 【学习重点】理解并掌握幂的乘方法则． 【学习难点】掌握幂的乘方法则的推导过程并能灵活运用. 【自主学习】 如图，地球、木星、太阳可以近似地看成球体。木星、太阳的半径分别约为地球的10倍和102倍，它们的体积分别约为地球的多少倍？ 木星的半径约为地球的10倍，它的体积约为地球的103倍。 太阳的半径约为地球的102倍，它的体积约为地球的(102)3倍。 那么，你知道(102)3等于多少吗？ 【合作探究】 探究点：幂的乘方法则 【尝试·思考】 计算下列各式，并说明理由. (1)(62)4＝ ； (2)(a2)3＝ ； (3)(am)2＝ . 猜想： 议一议： 观察计算结果你能发现什么规律？小组讨论得出结论． ( 整式的乘除 导学案（教学过程） 一、课前预习（5分钟） 1. 回顾旧知：自主回忆同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，完成基础填空（预设简单计算题，如$$a^3 \cdot a^2$$、$$(a^2)^3$$）。 2. 预习新知：阅读教材中整式乘法（单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式）和整式除法（单项式÷单项式、多项式÷单项式）的内容，标记疑惑点（如运算步骤、符号处理）。 二、课堂探究（25分钟） （一）探究一：整式乘法（15分钟） 1. 小组讨论：结合预习内容，交流单项式×单项式的运算思路，尝试计算$$2a^2b \cdot 3ab^2$$，派代表分享步骤，教师补充强调“系数相乘、同底数幂相乘、单独字母保留”。 2. 例题精讲：教师讲解单项式×多项式（如$$2x(3x - 5)$$）、多项式×多项式（如$$(x + 2)(x - 3)$$），示范去括号、合并同类项步骤，强调符号易错点。 3. 即时练习：小组内完成2道基础计算题，互相检查纠错，教师巡视指导。 （二）探究二：整式除法（10分钟） 1. 类比迁移：结合同底数幂除法法则，小组探究单项式÷单项式（如$$6a^3b^2 \div 2ab$$）的运算方法，总结“系数相除、同底数幂相除”的规律。 2. 重点突破：教师讲解多项式÷单项式（如$$(4x^3 - 6x^2) \div 2x$$），强调“多项式的每一项分别除以单项式，再把结果相加”，纠正漏除、符号错误。 三、巩固练习（10分钟） 1. 分层练习：基础题（整式乘法、除法基础计算）、提升题（混合运算，如$$3x(2x - 1) - 6x^2 \div 2x$$），学生独立完成。 2. 反馈纠错：教师选取典型错题讲解，针对共性问题（如符号处理、同类项合并）强化强调，学生订正错题并标注原因。 四、课堂小结（3分钟） 1. 学生自主总结：整式乘除的核心运算步骤、易错点，分享本节课的收获与疑惑。 2. 教师梳理：梳理整式乘除的运算体系，强调“先算乘方、再算乘除”，以及符号、同类项合并的重要性，解决学生遗留疑惑。 五、课后任务（2分钟） 完成导学案课后练习题，重点巩固多项式乘除运算，预习下一节课相关内容，整理本节课错题。 ) 追问：你能用数学符号表示你发现的规律吗？ 证一证： 你能证明你们组的猜想吗？ 要点归纳：幂的乘方法则：(am)n＝amn(m，n都是正整数). 幂的乘方，底数不变，指数相乘．　 例1 计算： (1)(102)3；　　　　　　　　(2)(b5)5； (3)(an)3; (4)－(x2)m； (5)[(x＋y)3]2·(x＋y); (6)2(a2)6－(a3)4. 【练一练】 1. 判断对错： （1）(am)n=am+n．　　　　　　　（ ） （2）a2·a5=a10．　　　　　　　（ ） （3）−(a2)10=−a20．　　　　　　（ ） （4）−[ − ()2 ]3 = − ()6．　 （ ） （5）(bn+1)2=b2n+1．　　　　　（ ） （6）[(x+y)3]2·(x+y)=(x+y)7．　（ ） 例2 已知am＝2，an＝3.求： (1)a2m，a3n的值； (2)am＋n的值； (3)a2m＋3n的值． 【回顾导入】 地球、木星、太阳可以近似地看作是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的 10 倍和 102 倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？ 想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点? 不变 变化 符号表示 同底数幂的乘法 幂的乘方 思考：下面这道题该怎么进行计算呢? [(a2)3]4= ； [(am)n]p 等于多少? (m，n，p都是正整数) 【课堂小结】 课堂检测 1．计算(a5)4的结果是（ ） A．4a5 B．5a4 C．a9 D．a20 2．下列计算正确的是（ ） A．(a3)2＝a9 B．(a2)3＝a5 C．a3＋a3＝a6 D．(a3)2＝a6 3．如果某个正方体的棱长是(1－2b)3，那么这个正方体的体积是 ． 4．若ax＝3，则(a2)x＝ ． 5. 计算：(1)[()3]2；(2) (y4)2＋(y2)3 · y2. 【拓展提升】 已知 a = 355，b = 444，c = 533，试比较 a，b，c 的大小. 参考答案 探究点：幂的乘方法则 【尝试·思考】 (1)(62)4＝62×62×62×62＝62＋2＋2＋2＝68； (2)(a2)3＝a2×a2×a2＝a2＋2＋2＝a6； (3)(am)2＝am×am＝am＋m＝a2m。 猜想： (1) (62)4＝ 62×3 (2)(a2)3＝＝a2×3 (3)(am)2＝am×2 议一议：底数不变，指数相乘． 追问：(am)n＝amn(m，n为正整数). 证一证： 你能证明你们组的猜想吗？ (am)n＝am·am·…·am（n个am）＝a（m+m+…+m）(n个m)＝amn　 例1 解：(1)(102)3＝102×3＝106. (2)(b5)5＝b5×5＝b25. (3)(an)3＝an×3＝a3n. (4)－(x2)m＝－x2×m＝－x2m. (5)[(x＋y)3]2·(x＋y)＝(x＋y)3×2·(x＋y)＝(x＋y)6·(x＋y)＝(x＋y)7. (6)2(a2)6－(a3)4＝2a2×6－a3×4＝2a12－a12＝a12. 【练一练】 1. 判断对错： （1）（ × ）（2）（ × ）（3）（ √ ）（4）（ × ） （5）（ × ）（6）（ √ ） 例2 (1)a2m＝(am)2＝22＝4，a3n＝(an)3＝33＝27. (2)am＋n＝am·an＝2×3＝6. (3)a2m＋3n＝a2m·a3n＝4×27＝108. 【回顾导入】 想一想： 不变 变化 符号表示 同底数幂的乘法 底数不变 指数相加 am · an = am+n 幂的乘方 底数不变 指数相乘 (am)n = amn 思考：[(a2)3]4==(a6)4=a24 [(am)n]p =amnp。 【课堂小结】 课堂检测 1． D 2． D 3．(1－2b)9． 4．9． 5. 解：(1) 原式＝( )3×2＝( )6＝ . (2) 原式＝y8＋y8＝2y8. 【拓展提升】解：a = 355 = (35)11 = 24311， b = 444 = (44)11 = 25611， c = 533 = (53)11 = 12511. ∵ 256 > 243 > 125， ∴ b > a > c. ( 第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $