精品解析：重庆市长寿中学校2025-2026学年高三下学期开学测试数学试题

重庆市长寿中学校高三2026春期开学测试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 19 B. 29 C. 30 D. 31 4. “”是方程“表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知曲线：，曲线：的离心率分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了.一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折后，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数满足关系：．根据以上信息，一张长为100cm，厚度为0.05cm的纸经过对折后的厚度的最大值为（参考数据：）（ ） A. 1.28cm B. 2.56cm C. 12.8cm D. 6.4cm 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 已知椭圆的方程是，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点，使得的面积为1 C. 椭圆上存在6个不同的点，使得为直角三角形 D. 内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 10. 已知中，是BC边上靠近的三等分点，为AO的中点，过点的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设，其中.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若，角，则三角形ABC面积的最大值为 11. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极小值点 B. 当时，函数有三个零点 C. 若函数有三个零点，则 D. 已知是函数的极大值点，若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 在递增的等比数列中，，，则______. 13. 在直三棱柱中，为的中点，若平面与平面的交线为，则点到直线的距离为_______________． 14. 某中学对“秋假”期间申请留校的学生实行免费托管，现要从名教师中选若干人在天假期值班（每天只需人值班），同一人不能连续值班天，则可能的安排方法有___________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为. （1）求； （2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高，（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）. 16. 如图，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，当直线与平面所成角取最大值时，求. 17. 已知不等式ax2+3ax+1>0， (1) 若不等式的解集是{x|-4<x<1}，求的值； (2) 若不等式的解集是R, 求的取值范围. 18. 已知动圆过点，且与相切，记该动圆圆心轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）若，直线与交于点，直线与交于点，点在第一象限，记直线与的交点为，直线与的交点为，线段的中点为． ①证明：三点共线； ②若，过点作的平行线，分别交线段于点，记与的面积分别为和，求的最大值． 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数. （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）对任意，，判断和的大小关系，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市长寿中学校高三2026春期开学测试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出复数，再利用复数乘法求解即得. 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标为，则， 所以. 故选：D 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式确定集合，再由交集定义计算． 【详解】， 又，所以， 故选：D． 3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 19 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由条件结合等差数列通项公式和前项和公式可得，，解方程求，，再求可得结论. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 所以，，， 因为，， 所以，， 化简可得，， 所以，， 所以， 故选：A. 4. “”是方程“表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出的取值范围使得方程表示双曲线，然后再判断与这个取值范围的关系. 【详解】要使方程表示双曲线，则. 解不等式，可得. 当时，不一定满足，例如当时，方程不表示双曲线； 而当方程表示双曲线时，一定有，那么一定满足. 所以是方程表示双曲线的必要不充分条件. 故选：B. 5. 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作辅助线，结合比例关系可知，即可得结果. 【详解】如图所示，过点分别作，，垂足分别为，，可知为矩形， 不妨设， 由题意可知：， 在中，可得， 则， 可得， 即， 所以. 故选：B. 6. 已知曲线：，曲线：的离心率分别为，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式进行求解即可. 【详解】曲线的长半轴长为，短半轴长为，所以焦距为. 曲线的实半轴长为，虚半轴长为，所以焦距为. 由. 故选：A 7. 有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了.一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折后，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数满足关系：．根据以上信息，一张长为100cm，厚度为0.05cm的纸经过对折后的厚度的最大值为（参考数据：）（ ） A. 1.28cm B. 2.56cm C. 12.8cm D. 6.4cm 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数运算求出最大对折次数，再根据指数增长计算对折后的最大厚度. 【详解】因为对折次数，所以这张纸最多能对折7次． 因为对折次后，纸张的厚度为，所以对折7次后纸张的厚度为. 故选： D. 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理得，解得，再根据计算即可． 【详解】由余弦定理得， 所以的面积为． 故选：A． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9. 已知椭圆的方程是，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（ ） A. B. 存在点，使得的面积为1 C. 椭圆上存在6个不同的点，使得为直角三角形 D. 内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据椭圆的定义求解即可；对B，根据椭圆的性质判断即可；对C，根据，或，可判断；对D，根据的面积表达式分析内切圆半径的最大值，正弦定理得外接圆半径的最小值即可. 【详解】A，椭圆的方程是，且焦点在轴， 由椭圆的定义可得的周长为，得，正确； B，根据椭圆性质，， 的面积最大值为， 所以存在点，使得的面积为1，正确； C，若为直角三角形，当，存在两个这样的点， 当，存在两个这样的点， 当，可得的轨迹为以为直径的圆，即，不包括两点， 因为，所以圆与椭圆有四个交点， 即椭圆上存在4个不同的点，使得， 所以椭圆上存在8个不同的点，使得为直角三角形，错误； D，的周长为，设的内切圆半径为， 则，故当最大时最大，此时为上（下）顶点， ，则，解得， 设的外接圆半径为，根据正弦定理，， 根据C选项，可知存在点P使得，则，此时， 所以内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为，正确. 故选：ABD 10. 已知中，是BC边上靠近的三等分点，为AO的中点，过点的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设，其中.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 若，角，则三角形ABC面积的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据平面向量的线性运算求解判断即可；对于B，由A知，利用三点共线即可求解；对于C，由B知，根据基本不等式“1”的妙用求解判断即可，对于D,两边平方化简结合基本不等式可得：，结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】， 对于A，，故A正确； 对于B，由A知，，由于M、O、N三点共线， 可知，即，故B正确； 对于C，由B知，，且， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，，， 所以，当且仅当时取得等号，，故D正确， 故选：ABD. 11. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极小值点 B. 当时，函数有三个零点 C. 若函数有三个零点，则 D. 已知是函数的极大值点，若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，求导，得到函数极值点情况，判断A；B选项，求导，得到函数单调性和极值，举出反例；C选项，由计算可得；D选项，在B选项基础上，得到，故，变形可得，故. 【详解】A选项，时，， ，令得， 令得或，令得， 故是的极小值点，A正确； B选项，当时，， 令得， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，在上单调递减， ，， 当时，， 又趋向于时，趋向于， 由零点存在性定理可得，在上存在唯一零点，函数有一个零点，B错误； C选项，函数有三个零点，则， 即， 对照系数可得，，C错误； D选项，当时，恒成立，此时函数无极值点，不合要求， 当时，由B可知，为函数的极大值点，故， 即，， 其中，故， 即，可以看出满足上式，变形可得， 则，D正确. 故选：AD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 在递增的等比数列中，，，则______. 【答案】2025 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求出，设公比为，由题设条件求得，写出数列的通项公式，代入所求式，利用对数的运算性质即可. 【详解】由可得，解得， 设等比数列的公比为， 由，可得， 解得或，因数列是递增数列，且，故，则， 于是，，故. 故答案为：2025. 13. 在直三棱柱中，为的中点，若平面与平面的交线为，则点到直线的距离为_______________． 【答案】2 【解析】 【分析】先将三棱柱补成一个四棱柱，进而可得两个平面的交线，并在直棱柱计算相关线段长度，最后在平行四边形中用等面积法可得距离. 【详解】如图：将三棱柱补成四棱柱，设N为棱的中点，连接. 因为在棱柱中，M，N分别是棱的中点，所以， 所以，所以四点共面，四点共面. 所以平面与平面的交线为即为，所以点到直线的距离即点到直线. 在底面四边形中，， 所以，即. 又在直棱柱中有，所以，即. 同理，即. 所以在平行四边形中，，， 所以， 由同角三角函数关系得. 设点到直线的距离为d，根据等面积法， 即，得. 故答案为：2. 14. 某中学对“秋假”期间申请留校的学生实行免费托管，现要从名教师中选若干人在天假期值班（每天只需人值班），同一人不能连续值班天，则可能的安排方法有___________种． 【答案】 【解析】 【分析】分为值班人数为人和人两种情况，结合排列组合即可求解. 【详解】由题意可得，值班的人数为人或者人， 若值班人数为人，则需要一个人值班首尾两天，另外一人值班中间一天，故， 若值班人数为人，则每人值班一天，故， 所以可能的安排方法有种. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记，记的样本平均数为，样本方差为. （1）求； （2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高，（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）. 【答案】（1），； （2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 【解析】 【分析】（1）根据已知表格数据得到所有的值，最后计算出均值、方差即可； （2）根据公式计算出的值，和比较大小即可得结论. 【小问1详解】 计数如下表： 试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 6 8 15 11 19 18 20 12 则， . 【小问2详解】 由（1）知，，故有， 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 16. 如图，在正四棱锥中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面平面； （2）若点在棱上，当直线与平面所成角取最大值时，求. 【答案】（1）连接，设与相交于点，连接. ∵，分别为，的中点，∴， 在正四棱锥中，平面， 又∵平面，∴， 又底面为正方形，∴， ∵，平面，平面， ∴平面， ∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）1 【解析】 【分析】（1）连接，可得，证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明； （2）以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，妨设，求出平面的一个法向量和的坐标，利用夹角公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）以及题意可知，在中，，. 在中，，，∴. 又∵，，， ∴以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，，，， 则，，，. ∵在棱上，∴不妨设， 则，. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，，则. 设与平面所成的角为， 则，当且仅当时等号成立. ∴当与平面所成角取得最大值时，. 17. 已知不等式ax2+3ax+1>0， (1) 若不等式的解集是{x|-4<x<1}，求的值； (2) 若不等式的解集是R, 求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)由题意结合不等式的解集和韦达定理即可求得实数a的值； (2)由题意分类讨论a=0和a≠0两种情况即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)由题意可得：且是一元二次方程的两个实数根， 结合韦达定理有：，据此可得：； (2)当时，不等式为，其解集为R，满足题意， 当时，应满足：，即：，此时， 综上可得，的取值范围是. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 18. 已知动圆过点，且与相切，记该动圆圆心轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）若，直线与交于点，直线与交于点，点在第一象限，记直线与的交点为，直线与的交点为，线段的中点为． ①证明：三点共线； ②若，过点作的平行线，分别交线段于点，记与的面积分别为和，求的最大值． 【答案】（1） （2）①设线段的中点为， 因为，所以可设，, 因为 所以G，E，F三点共线，同理，H，E，F三点共线， 所以G，E，H三点共线． ②16 【解析】 【分析】（1）设，根据题目条件列式化简可得轨迹； （2）①设线段的中点为，利用向量证明，，三点共线，同理可证，，三点共线，进而可得结论； ②将转化为四边形面积，将直线和抛物线联立，利用韦达定理，求出直线和直线的方程，则可求出坐标，然后利用面积公式求解最值即可. 【小问1详解】 已知圆过点，且与相切，所以圆心到点与点到直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知，圆心的轨迹为抛物线，且点为焦点，直线为准线. 设抛物线方程为，则，所以，故. 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 ①略 ②设，，，，中点为，中点为， 将代入得：，所以，， 所以， 同理，，（均在定直线上） 因为，所以与面积相等，与面积相等； 所以等于四边形的面积， 设，， 直线：，即 整理得，直线：，又，所以， 同理，直线：，又，所以， 所以 所以四边形面积 ， 当且仅当，即，即时取等号， 所以四边形面积的最大值为16，即的最大值为16. 19. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数. （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）对任意，，判断和的大小关系，并说明理由. 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：，设，，则， 所以在上单调递减，因，， 故存在唯一，使得，即，即， 则当时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 为的极大值点，， 函数在区间上单调递减，则， 即. （ⅱ），理由：由，因为和在上单调递增， 则在上单调递增，且，， 则存在唯一，使得，即，即，（*） 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，故在区间上单调递增， 的最小值为， 由（ⅰ）可知，的最大值为，且，（**） 由于函数在上为增函数，由（*），（**）式可得， 故对任意正实数a，b，都有， 故对任意正实数a，b，都有. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式即可求得切线方程； （2）（i）利用导数判断的单调性，求得的范围和的表达式，利用单调性证明；（ii) 通过求导得到的最小值为，满足，由（i）已得的最大值为，满足，根据函数在上为增函数可得，将结果代入，化简计算即可确定和的大小关系. 【小问1详解】 由，可得，求导得， 则， 故曲线在点处切线方程为， 即. 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $