1.3.4完全平方公式的运用 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册培优精做课件 1.3.4完全平方公式的运用 第一章 整式的乘除 授课教师： Home . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年3月7日 2026年3月7日星期六10时37分53秒 2026年3月7日星期六10时37分55秒 学习目标 1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式. 2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理. 3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想. (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 前面我们学习了完全平方公式： 复习导入 口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。 思考 怎样计算 1022，1972 更简便呢？ (1) 1022； (2) 1972. 解：原式 = (100 + 2)2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404. 解：原式 = (200－3)2 = 40 000－1200 + 9 = 38 809. = 1002－2×100×2 + 22 = 2002－2×200×3 + 32 探究点：完全平方公式的运用 方法总结：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. 例1 运用乘法公式计算：(1) (x + 2y - 3)(x - 2y + 3)； = x2 – (2y – 3)2 = x2 – (4y2 – 12y + 9) = x2 – 4y2 + 12y – 9. 解：原式 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)] 同号 异号 a b 平方差公式 整体 探究点：完全平方公式的运用 (2) ( a + b + c )2. 解：原式 = [(a + b) + c]2 方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算. = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac. = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 完全平方公式 都同号 探究点：完全平方公式的运用 例2 计算： (1) (x + 3)2 – x2； 解：原式 = x2 + 6x + 9 – x2 = 6x + 9； 或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x) = (2x + 3)×3 = 6x + 9； 还有其他的方法吗？ 探究点：完全平方公式的运用 (2) ( a + b + 3 )( a + b - 3 )； (3) (x + 5)2 – (x - 2)(x - 3). 解：(2) 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) - 3] = (a + b)2 - 32 = a2 + 2ab + b2 - 9； 解：(3) 原式 = x2 + 10x + 25 - (x2 - 5x + 6) = x2 + 10x + 25 - x2 + 5x - 6 = 15x + 19. 探究点：完全平方公式的运用 1. 化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y). 方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式. = x4－8x2y2＋16y4. = (x2－4y2)2 解：原式 = (x－2y)(x＋2y)(x2－4y2) 【练一练】 探究点：完全平方公式的运用 2. 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值. 解：因为 a＋b＝7， 要熟记完全平方公式哦！ (a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9. 所以 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2×10＝29， 所以 (a＋b)2＝49. 探究点：完全平方公式的运用 【观察·思考】 观察下图，你认为 ( m＋n)×(m＋n) 点阵中的点数与 m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和一样多吗？请用所学的公式解释自己的结论。 (m + n)2－m2－n2 ＝ m2＋2mn＋n2 所以 (m+n)×(m+n) 点阵中的点数比 m×m 点阵、n×n 点阵中的点数之和多 2mn 。 探究点：完全平方公式的运用 【练一练】3. 有这样一道题，计算： 2(x＋y)(x－y)＋[(x＋y)2－ xy]＋ [(x－y)2 ＋xy]的值，其中 x = 2006，y = 2007；某同学把“y = 2007”错抄 “y = 2070”但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由. 解：原式＝2x2－2y2＋( x2＋y2＋2xy－xy) ＋(x2＋y2－2xy＋xy) ＝2x2－2y2＋x2＋y2 ＋xy＋x2＋y2－xy ＝2x2－2y2＋2x2＋2y2＝4x2. 答案与 y 无关. 探究点：完全平方公式的运用 完全平方公式 简便计算 实际应用：运用完全平方公式进行推理 计算数的平方：根据数的特点，将其变形为(a+b)²或(a-b)²再进行计算 综合运算 课堂小结 1. 已知α2＋β2＝1，(α＋β)2＝2，则αβ的值为(　A　) A. B. 2 C. 1 D. 2. 已知a－b＝3，ab＝2，则a2＋b2的值为(　A　) A. 13 B. 7 C. 5 D. 11 A A 随堂练习 3. 计算 10162－2032×1018＋10182 等于[提示：完全 平方公式的逆用](　B　) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 运用完全平方公式计算： (1)10.12＝( ＋ )2＝ ； (2)1982＝( － )2＝ ⁠. B 10　 0.1　 102.01　 200　 2　 39204　 随堂练习 5. 如图，某广场有一块边长为(a＋b)的正方形草 坪，现计划在草坪中挖一个边长为(a－b)的正方形 水池，则剩余草坪的面积为 . 4ab　 随堂练习 6. 计算： (1)5012； 解：原式＝(500＋1)2＝5002＋2×500×1＋12＝ 250000＋1000＋1＝251001. (2)(x－y＋4)(x＋y＋4). 解：原式＝[(x＋4)－y][(x＋4)＋y]＝(x＋4)2－y2＝ x2＋8x＋16－y2. 解：原式＝(500＋1)2＝5002＋2×500×1＋12 ＝250000＋1000＋1＝251001. 解：原式＝[(x＋4)－y][(x＋4)＋y]＝(x＋4)2－y2 ＝x2＋8x＋16－y2. 随堂练习 返回 1．用简便方法计算9.52，下列变形正确的是(　　) A．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52 B．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5) C．9.52＝92＋0.52 D．9.52＝92＋9×0.5＋0.52 A 中考考法 18 2．如图①是由4个相同的白色长方形和1个灰色的正方形拼接而成的正方形瓷砖，图②是由5个白色的长方形(每个长方形大小和图①相同)和1个灰色的不规则图形构成的长方形瓷砖．已知图①和图②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色 长方形的面积为________． 8 中考考法 19 返回 【点拨】由题图①可得(a＋b)2－4ab＝35，即a2＋ b2＝2ab＋35①，由题图②可得(2a＋b)(a＋2b)－ 5ab＝102，即a2＋b2＝51②，由①②得2ab＋35＝51，所以ab＝8，所以每个白色长方形的面积为8. 中考考法 3．利用简便方法计算： (1)499.92； 【解】499.92＝(500－0.1)2＝5002－2×500×0.1＋0.12＝250 000－100＋0.01＝249 900.01. 中考考法 21 (3)2 0262－4 050×2 026＋2 0252； 返回 【解】2 0262－4 050×2 026＋2 0252＝2 0262－2× 2 025×2 026＋2 0252＝(2 026－2 025)2＝12＝1. 中考考法 22 返回 中考考法 23 5．计算： (1)(3x－1)2－(2x＋5)2； (2)(m＋n)2(m－n)2； 【解】(3x－1)2－(2x＋5)2＝9x2－6x＋1－(4x2＋20x＋ 25)＝9x2－6x＋1－4x2－20x－25＝5x2－26x－24. (m＋n)2(m－n)2＝[(m＋n)(m－n)]2＝(m2－n2)2＝ m4－2m2n2＋n4. 中考考法 24 (3)2(a＋3)2－4(a＋3)(a－3)＋3(a－2)2. 返回 【解】2(a＋3)2－4(a＋3)(a－3)＋3(a－2)2＝2(a2＋6a＋ 9)－4(a2－9)＋3(a2－4a＋4)＝2a2＋12a＋18－4a2＋36＋3a2－12a＋12＝a2＋66. 中考考法 25 ＝＝3 600＋60＋＝3 660. (2). 【解】原式＝4x2－12xy＋9y2－4x2＋y2＝－12xy＋10y2，当x＝－，y＝1时，原式＝－12××1＋10×12＝2＋10＝12. 4．先化简，再求值：(2x－3y)2－(2x＋y)(2x－y)，其中x＝－，y＝1. $