1.3.3完全平方公式的认识 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学7年级下册培优精做课件 1.3.3完全平方公式的认识 第一章 整式的乘除 授课教师： Home . 班 级： 7年级（*）班 . 时 间： . 2026年3月7日 2026年3月7日星期六10时32分24秒 2026年3月7日星期六10时32分25秒 学习目标 1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导平方差公式. 2.掌握平方差公式，能正确运用公式进行简单计算和推理. 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为 20 米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把 这事和邻居们－讲，大家都说： “张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你知道张老汉是否吃亏了吗? 明明订购了一个 6 寸的大披萨，不久店员打电话告知 6 寸的披萨卖完了，问能否换购一个 4 寸和一个 2 寸的小披萨(披萨近似看作圆).你认为明明应该同意吗？ 大披萨的面积：S = π·32 = 9π . 小披萨的面积之和：S = π·22 + π·12 = 5π . 你发现了什么？ (2 + 1)2 ≠ 22 + 12. 所以不应该同意. 【合作探究】 观察下列算式及其运算结果，你有什么发现? (1) (m + 3)2 = (m + 3)(m + 3) =________________ =______________ =______________. (2) (2 + 3x)2 = (2 + 3x)(2 + 3x) =______________________ =____________________ =______________. 发现 (a＋b)2 = . a2 + 2ab + b2 m2 + 3m + 3m + 9 m2 + 2×3m + 9 m2 + 6m + 9 22 + 2×3x + 2×3x + 9x2 4 + 2×2×3x + 9x2 4 + 12x + 9x2 探究点: 完全平方公式 a a b b = + + + a2 ab ab b2 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 和的完全平方公式： 你能根据图中的面积解释完全平方公式吗? 【想一想】 探究点: 完全平方公式 (a－b)2 = ？ 你是怎样做的？ (a－b)2 = [a＋(－b)]2 = a2＋2a(－b)＋(－b)2 = a2－2ab＋b2 (a－b)2 = (a－b)(a－b) = a2－2ab＋b2 发现 (a－b)2 = . a2－2ab + b2 【议一议】 探究点: 完全平方公式 (a－b)2 =a2－2ab + b2 请你设计一个图形解释这一公式. 【做一做】 探究点: 完全平方公式 a2 − ab − b(a − b) = a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 a−b a a ab b(a−b) b b (a−b)2 几何解释： (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 差的完全平方公式： a−b 探究点: 完全平方公式 (a + b)2 = . a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = . a2 - 2ab + b2 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍.这两个公式叫作完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中间” 完全平方公式 【知识要点】 探究点: 完全平方公式 公式特征： 1. 积为二次三项式； 2. 积中的两项为两数的平方； 3. 另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同； 4. 公式中的字母 a，b 可以表示数、单项式和多项式. 探究点: 完全平方公式 例1 利用完全平方公式计算： 解：(2x－3)2 = =4x2 (1) (2x－3)2； ( a－b )2 = a2 － 2ab + b2 (2x)2 － 2 • (2x) • 3 + 32 －12x + 9； 探究点: 完全平方公式 (2) (4x＋5y)2； (2) (4x＋5y)2 = (4x)2 ＋2 • (4x) • 5y ＋(5y)2 ( a＋b )2 = a2 ＋ 2ab ＋ b2 = 16x2＋40xy＋25y2； (3) (mn－a)2. (3) (mn－a)2 = (mn)2－ 2 • mn • a＋a2 = m2n2－2amn＋a2. 探究点: 完全平方公式 1.利用完全平方公式计算： (1) (5－a)2； (2) (－3m－4n)2； (3) (－3a＋b)2. (3) (－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2. 解：(1) (5－a)2＝25－10a＋a2. (2) (－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2. 【练一练】 探究点: 完全平方公式 思考：(a + b)2 与 (- a - b)2 相等吗? (a - b)2 与 (b - a)2 相等吗? (a - b)2 与 a2 - b2 相等吗? 为什么? 解： (-a - b)2 = (-a)2 - 2·(-a)·b + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2. (b - a)2 = b2 - 2ba + a2 = a2 - 2ab + b2 = (a - b)2. (a - b)2 与 a2 - b2 不一定相等， 只有当 b = 0 或 a = b 时，(a - b)2 = a2 - b2. 探究点: 完全平方公式 例2 如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值． 解：∵ 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的 2 倍，就构成了一个完全平方式．注意积的 2 倍的符号，避免漏解． ∴ m＝59或－61. ∴ m＋1＝±60. ∴ (m＋1)xy＝±2 · 6x · 5y. ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， 探究点: 完全平方公式 完全平方公式 文字描述 几何验证 两个数的和(差)的平方， 等于这两个数的平方和，加上(减去)它们积的2倍 (a±b)2 = a2±2ab＋b2 多项式乘多项式 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 符号表示 c=a，d=b 课堂小结 1. 计算(m－n)2的结果是(　C　) A. m2－n2 B. m2＋n2 C. m2－2mn＋n2 D. m2＋2mn＋n2 C 2. 下列各式利用完全平方公式计算正确的是（　 ） A. (x＋3)2＝x2＋9 B. (－2a＋b)2＝4a2＋4ab＋b2 C. (a－2b)2＝a2－2ab＋4b2 D. ( －x)2＝x2－x＋ D 随堂练习 3. 若(2x－3)2＝4x2＋kx＋9，则k的值是(　D　) A. －6 B. 6 C. 12 D. －12 D 4. 如图所示的图形验证了一个等式， 则这个等式是 ⁠. (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2　 随堂练习 5. 若a2＋ab＋b2＋M＝(a－b)2，则M＝ ⁠ ⁠. －3ab 6. 计算：(1) (－x＋y)2； (3) (－ x－3y)2. 解：原式＝ x2＋3xy＋9y2. (2) (－xy＋5)2； 解：(1)原式＝x2－2xy＋y2. (2) 原式＝x2y2－10xy＋25. (3) 原式＝ x2＋3xy＋9y2. 随堂练习 7. 已知ab＝2，求(2a＋3b)2－(2a－3b)2的值. 解：原式＝4a2＋12ab＋9b2－(4a2－12ab＋9b2) ＝24ab. 当ab＝2时，原式＝24×2＝48. 随堂练习 返回 B 1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是(　　) A．(x－2y)(2y＋x) B．(x－2y)(－2y＋x) C．(x＋y)(y－x) D．(2x－3y)(3y＋2x) 中考考法 22 2．若(2x＋3y)(mx－ny)＝9y2－4x2，则m，n的值为(　　) A．m＝2，n＝3 B．m＝－2，n＝－3 C．m＝2，n＝－3 D．m＝－2，n＝3 B 返回 中考考法 23 3. [教材P25习题T10(2)]若xn－81＝(x2＋9)(x＋3)(x－3)，则n等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 返回 【点拨】因为(x2＋9)(x＋3)(x－3)＝(x2＋9)(x2－9)＝ x4－81，所以xn－81＝x4－81，所以n＝4. B 中考考法 24 4．填空：(1)(5m＋3n)(5m－3n)＝_________； (2)(－3x＋y)(－3x－y)＝________； (3)(2a＋b)________＝b2－4a2. 25m2－9n2　 返回 9x2－y2 (b－2a) 中考考法 25 5．已知9m2－n2＝24，且3m－n＝4，则3m＋n等于_____． 返回 6 中考考法 26 中考考法 27 返回 (2)a4－(1－a)(1＋a)(1＋a2)． 【解】原式＝a4－(1－a2)(1＋a2)＝a4－(1－a4)＝2a4－1. 中考考法 28 7．化简(a＋b＋c)2－(a－b＋c)2的结果为(　　) A．4ab＋4bc B．4ac C．2ac D．4ab－4bc 【点拨】(a＋b＋c)2－(a－b＋c)2＝[(a＋b＋c)＋(a－b＋c)][(a＋b＋c)－(a－b＋c)]＝2b(2a＋2c)＝4ab＋4bc.故选A. 返回 A 中考考法 29 8. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如8＝32－12，16＝52－32，所以8，16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为(　　) A．22　　 B．24　　 C．30　　 D．34 中考考法 30 6．计算： (1)(x＋2y)(－x＋2y)； 【解】原式＝＝(2y)2－＝4y2－x2. $