专题15 二次函数的图象与性质（2）中考解答题考法讲义（考点解读+知识梳理+例题精讲+题型突破）2026年中考数学一轮复习（全国通用）

专题15 二次函数图像与性质（2）——中考解答题考法讲义 二次函数解答题是中考数学的核心题型，分值占比高（通常10-14分/题），难度覆盖中档题到高档题，是拉开分数差距的关键模块。该题型侧重考查学生对二次函数核心知识的综合应用、数形结合思想及建模能力，紧密贴合中考考情，核心围绕“解析式求解-图象性质应用-实际情境建模-几何综合探究”展开。 核心考点（解答题高频） ①二次函数解析式求解（待定系数法，结合顶点、交点、对称轴等条件）； ②二次函数图象性质综合应用（对称轴、增减性、最值、与坐标轴交点）； ③二次函数与几何图形综合（三角形、四边形面积计算、动点问题、图形变换）； ④二次函数实际应用（拱桥问题、喷水问题、营销利润问题、最大面积问题）； ⑤二次函数综合探究（新定义、多结论证明、动态几何与函数结合）。 考情分析 ①基础层解答题（第1问常考）：侧重解析式求解、简单图象性质（如顶点坐标、对称轴），难度中等； ②进阶层解答题（第2问常考）：侧重函数与几何结合（面积、交点）、实际应用中的基础建模，难度中等偏上； ③拔高层解答题（第3问常考）：侧重动态几何、最值探究、多情况分类讨论，难度较高。 一、核心概念与性质（解答题必备） 1.解析式三种形式及适用场景 一般式：（），适用于已知任意3个点的坐标； 顶点式：（），适用于已知顶点及1个点的坐标； 交点式：（），适用于已知与轴的两个交点、及1个点的坐标。 2.核心性质公式 对称轴：（一般式）或（顶点式）； 顶点坐标：（一般式）或（顶点式）； 最值：当时，；当时，； 与坐标轴交点： 与轴交点：（直接令）； 与轴交点：解方程，交点横坐标为方程的根，判别式决定交点个数。 二、二级结论（解答题提速技巧） 1.待定系数法速解技巧： 已知顶点和另一点，直接代入顶点式，一步求出； 已知与轴交点、，设交点式后，代入第三点可快速消元求解。 2.面积计算快捷方法： 二次函数图象与坐标轴围成的三角形面积：（为与轴交点横坐标）； 抛物线上一点与、围成的三角形面积：。 3.动态几何常用思路： 动点问题：设动点坐标，用含未知数的式子表示线段长度，再结合几何性质（全等、相似、勾股定理）列函数关系式； 图形变换：平移、旋转、对称后，抛物线的值不变，仅顶点坐标变化，可通过顶点坐标变换求新解析式。 考点1：二次函数解析式求解（基础解答题） 例题1（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分两种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当平移后抛物线的对称轴在直线左侧时，此时最小值为，，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，此时最小值为，，即， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，n的值为或． 变式题1（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； 【详解】（1）解：∵矩形的边，， ∴，，，， ∴，，； （2）解：∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线于，交抛物线于，交矩形于，， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线是抛物线和的对称轴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵抛物线的高度为，抛物线的高度为，直线是抛物线和的对称轴， ∴，， ∴抛物线和的顶点坐标分别为，， 分别设抛物线和的表达式为，， 将代入， 解得， 则抛物线的表达式为； 将代入， 解得； 则抛物线的表达式为. 变式题2（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的解析式，因式分解法进行解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，先设抛物线的函数表达式为，结合二次函数的对称性得，再代入进行求解，即可作答． （2）理解题意，得出，再结合抛物线，的函数表达式分别为，，代入，整理得，再解方程，可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， ∵， ∴结合二次函数的对称性得， 将代入， 得 则， ∴； （2）解：由（1）得抛物线的函数表达式， ∵，，．，且抛物线的函数表达式为， ∴， 整理得， ∴， ∴， 解得， ∴． 考点2：二次函数与几何综合（面积问题） 例题2（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与面积类的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质等知识点． （1）将一般式改写为顶点式，再化为一般式即可求解； （2）先确定为等腰直角三角形，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则，通过三线合一得到，由三角形面积公式可得过点作平行线与抛物线交点即为点，然后求出直线解析式，再与抛物线解析式联立求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴，； （2）解：存在，理由如下： 对于抛物线， 当，， 解得：， 当， ∴，， ∵， ∴， 过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取，连接与交于点，则， ∴， ∴， 过点作平行线与抛物线交点即为点， ∵，， ∴， 设直线， 则， ∴， ∴直线， ∵∥， ∴设直线， 代入得：， 解得：， ∴直线， 与抛物线解析联立得：， 整理得： 解得： 或， ∴点P的横坐标为或． 变式题1（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）不存在实数m使得，理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 考点3：二次函数与几何图形综合（特殊三角形/四边形） 例题3（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时， ，， ∵， ∴， 解得（舍去），或（舍去）， ∴点P不存在； 当时，， ∴， 解得解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，，点P不存在； 当时，，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为，    （3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， ∴P坐标为，或； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， ∴P坐标为； 故P坐标为，或，或．    变式题1（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T，先求出，进而求出；由正方形的性质可得，证明，得到；设，则；导角证明，得到，解得到，则，据此可求出，再由在直线上，得到，解方程即可得到答案； （3）分别求出，，令 ，可得，则二次函数的对称轴为直线，且开口向上，再分，，，三种情况根据当时，的最小值为3进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线经过点，与轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点D作轴于M，过点F作轴于N，设直线于y轴交于T， ∴， 在中，当时，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， 令 ∴ ， ∴二次函数的对称轴为直线，且开口向上， 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）； 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去） 当时，∵时，的最小值为3， ∴当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，或． 考点4：二次函数综合探究（动点问题） 例题4（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 【分析】本题考查了二次函数与几何图形问题，正方行的性质、三角形相似、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线利用数形结合的思想进行求解； （1）当重合时，通过勾股定理分别求出即可求解； （2）将正方形与重叠部分图形的面积分割成一个三角形的面积和直角梯形的面积之和来求解即可； （3）根据正方形的对称中心与点B重合时，得出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：当重合时，如下图： ，以为边作正方形， 是等腰直角三角形， ， 即， 解得：（负的舍去）， ， ， ， 故答案为：7； （2）解：当在线段上运动时， ， 当在线段的延长线上运动时，即点在线段上运动，如下图： ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ； （3）解：当正方形的对称中心与点B重合时， ， ， 即， 解得：， ． 变式题1（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为 （2）解：作，交轴于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， ∵，， ∴，解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵，， ∴所在直线的解析式为， 又∵点在抛物线上， ∴， 解得，，， ∴， （3）解：如图，将以点为中心，逆时针旋转，得到，连接，则为等腰直角三角形， ∴， ∵点是第四象限内抛物线上的一点，， ∴点为延长线与抛物线的交点， 由旋转可知，，，，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 设所在直线的解析式为，则 ，解得，， ∴所在直线的解析式为， 由得，或， ∵点在第四象限， ∴点的横坐标为正数， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴ 故答案为： （4）解：如图，连接，交于点，连接， ∵点和点关于轴对称，点在轴上，， ∴点在轴上，， ∵过点，且平行于轴，， ∴， 又∵于点， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 根据题意可知，，∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，∴， 作于点，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， 取中点记为，连接，则 又∵， ∴， ∴， ∴，当且仅当点、点、点共线时，取得最小值， 作于点，作于点，交于点，连接，则四边形为矩形， ∴，， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点到达点时，点、点、点重合，此时取得最大值， ∵， ∴， ∴的取值范围是， 故答案为：． 1．已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记． （1）求的值； （2）比较与的大小． 【考点】二次函数的性质；抛物线与轴的交点 【解析】（1）抛物线的对称轴是直线． ． 解得； （2）由（1）知：， 抛物线， 当时，， 解得， 是抛物线与轴交点的横坐标， ， 方法一：直接计算化简， 当时，， ， 即； 当时，， ； 由上可得，当时，；当时，． 方法二：是抛物线与轴交点的横坐标， ， ， ， ， 由，可得， 当时，， 此时； 当时，， 此时． 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求、的值； （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点的坐标． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点 【解析】（1）把，代入得：， 解得； （2）由（1）知，二次函数解析式为， 设点坐标为， 的面积为6，， ， ， 即或， 解得或， 或． 3．已知二次函数，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；坐标与图形变化平移 【解析】（1）由题意，二次函数为， 抛物线的对称轴为直线． ． 抛物线为． 又图象经过点， ． ． 抛物线为． （2）由题意，点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度， 平移后的点为． 又在， ． 或（舍去）． ． （3）由题意，当 时， 最大值与最小值的差为． ，不符合题意，舍去． 当 时， 最大值与最小值的差为，符合题意． 当时，最大值与最小值的差为，解得 或，不符合题意． 综上所述，的取值范围为． 4．已知抛物线与轴交点的坐标分别为，，，，且． （1）若抛物线与轴交点的坐标分别为，，，，且，试判断下列每组数据的大小（填写、或 ①　　；②　　；③　　． （2）若，，求的取值范围； （3）当时，最大值与最小值的差为，求的值． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与轴的交点 【解析】（1）与轴交点的坐标分别为，，，，且， ，且抛物线开口向上， 与轴交点的坐标分别为，，，且， 即向上平移1个单位， ，且， ①； ，即②； ，即③， 故答案为：；；； （2），， ， ； （3）抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，； 当时，； ①当在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有， 解得（舍去）或； ②当在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有， 解得（舍去）或， ③当时取最大值，时取得得最小值，则有 （舍去） 综上所述，的值为或 5．已知抛物线为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求的值； （2）点，在抛物线上，点，在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求的值； （ⅱ）若，求的最大值． 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【解析】（1）抛物线的顶点横坐标为，的顶点横坐标为1， ， ； （2）点，在抛物线上， ， ，在抛物线上， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； 将代入， ， ， ， 当，即时，取最大值． 6．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式 【解析】（1）由题意，将，代入得 二次函数的表达式为． （2）由题意，设，，， 又的面积是的面积的2倍， ，． ． 又， ． 由， ， （舍去）． 点坐标为． 7．在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点； ①如果小于3，求的取值范围； ②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 【考点】解一元一次不等式；一元一次不等式的应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换 【解析】（1）设平移抛物线后得到的新抛物线为， 把和代入， 可得：，解得：， 新抛物线为； （2）①如图，设，则， ， 小于3， ， ， ， ； ②， 平移方式为：向右平移2个单位，向下平移3个单位， 由题意可得：在的右边，当时， 轴， ， ， 由平移的性质可得：，即； 如图，当时，则，过作于， ， △， ， 设，则，，， ， 解得：或3（不符合题意舍去）； 综上：． 8．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． （1）求该二次函数的解析式； （2）点是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为 　　． 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点 【解析】（1）把和代入得： ， 解得， 二次函数的解析式为； （2）令，则， 解得：，， 点的坐标为， ， 设直线的解析式为，代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 过点作轴交于点，如图， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， 最大为， ， 故答案为：． 9．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图象与轴交点为，，，．若，求的取值范围． 【考点】二次函数的最值；二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与轴的交点 【解析】（1）点在二次函数的图象上， ， 解得：， 抛物线为：， 抛物线的对称轴为直线， ； （2）点在的图象上， ， 解得：， 抛物线为， 将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ， ， 当时，函数有最小值为1， 当时，函数有最大值为 新的二次函数的最大值与最小值的和为11； （3）的图象与轴交点为，，，． ，， ， ， ， 即， 解得：． 10．如图①，已知抛物线与轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线．点是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点，过点作直线，分别交抛物线和于点、、均不与点重合），设点的横坐标为，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）由题意得：； 而过、， 则； （2）设点、点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：， 则； （3）由（1）知，， 联立、得：， 解得：， 则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和的表达式得：， 整理得：， 则，即， 即， 即为定值． 11．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大．若存在，请直接写出点坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【考点】抛物线与轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质 【解析】（1）将，代入抛物线中， ， 解得：， 抛物线． （2）令，则， 解得：，， ， ， ， ， 过点作轴于点， 设，且在第二象限内， ，， ， 有最大值， 当时，有最大值，最大值为， 此时点的坐标为，． 12．如图1，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点的坐标为时，求四边形的面积； （3）当时，求点的坐标； （4）过点、、的圆交抛物线于点、，如图2．连接、、，判断△的形状，并说明理由． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）由题意得：； （2）由点、的坐标得，直线的表达式为：， 如图1，连接，过点作轴交于点，则， 则四边形的面积； （3）当时，则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：或， 解得：或或1（舍去）， 故点或； （4）如图2，连接，则为圆的直径， 连接、，则， 过点作轴的平行线交轴于点，交过点和轴的平行线于点， ，， ， ， 设点， 则，，，， ，即， 解得：（经检验该值为方程的根）， 则点，、点，， 则， ， 同理可得：， 故△为等边三角形． 13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点为． （1）求、、三点的坐标； （2）一个二次函数的图象经过、、三点，其中，该函数图象与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）． ①若点的坐标为，则　6　； ②求的取值范围； ③求的最大值． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）二次函数的图象的顶点为， ； 令，解得或， ，； （2）①由题知，该函数过点，，， 函数的解析式为：， 函数的对称轴为直线， ，， 点，关于对称轴对称， ， ， 故答案为：6； ②方法一、点在线段上， ， 点到对称轴的距离小于2， 设该二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为， ， ， 根据对称轴的性质，得， ； 方法二、 设二次函数的解析式为：， 将，，两点代入，得， ， ， ， 二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，， ，两点关于对称轴对称，点， ， 点在线段上，且与端点不重合， ，即， 时，过点，，三点的二次函数不存在， 且； ③，， ． ， 且， 时，有最大值，最大值为4． 14．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为；抛物线，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，连接，点是抛物线对称轴右侧图象上一点，点是抛物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； （3）如图2，连接，，点是抛物线对称轴左侧图象上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，，求△面积的最小值． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）抛物线过点，， 得， 解得， 抛物线的表达式为； ， 顶点； （2）如图1，连接，过点作轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于， 设点的横坐标为．设直线的表达式为，由题意知， 解得， 直线的表达式为， 则，， ， 的面积为12， ， ， ， ， ，解得， （舍，， 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点， ， 将代入， 得， 解得，； （3）如图2，过作轴，垂足为，过点作轴，过点作轴，与交于点， 设，则， ， 抛物线的顶点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，△的面积最小， 最近距离即边上的高，高为：， △面积的最小值为． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）连接，交于点，求的最大值． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）由题意得， ， ， 抛物线的表达式为：； （2）设直线的函数表达式为：， ， ， ， ， ， ； （3）如图1， 当时， 作，交于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ． 16．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． （1）　3　； （2）如图，已知点的坐标是． ①当，且时，的最大值和最小值分别是、，，求的值； ②连接，是该二次函数的图象上位于轴右侧的一点（点除外），过点作轴，垂足为，作，射线交轴于点，连接、．若，求点的横坐标． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）由抛物线的表达式知，， 即， 故答案为：3； （2）将点的坐标代入抛物线表达式得：，则， 即抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线，顶点为：，点； ①当，且时，抛物线的时，取得最大值，即， 当时，取得最小值为， 则， 解得：（不合题意的值已舍去）； ②设点，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 当点在轴上方时，如图， ， 则直线的表达式为：， 则点， 由点、、、的坐标得，，， ，即， 解得：（舍去）或1或1.5； 当点在轴下方时， 同理可得：点， 则， 解得：（舍去）或（舍去）或； 综上，点的横坐标为：1或1.5或． 17．在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． （3）如图2，连接、、，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为，，当取得最大值时，求的值． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）抛物线与轴交于点，， ， 解得：， 抛物线解析式为； （2）当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， 轴于点， ，， ， ， ， ， 解得，（此时，重合，不合题意舍去）， ， ； （3）， ， ， ，， ， 作交轴于，作轴交于， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， 设，则， ， ， 当时，有最大值， 此时， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 18．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线上方的抛物线上存在点．使得，求点的坐标； （3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． ①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； ②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， 抛物线解析式为； （2）解：对于，令， ， 解得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ，， ， 解得：（舍去）或， ； （3）①证明：点与点重合，则， 点为中点，，， ， 设直线的解析式为，代入，， ， 解得：， ， 联立， 解得：或， ，在直线上，即，，三点共线； ②解：设，，，， ，，三点共线， 设的解析式， 联立， 消去得，， ，， ，， 设直线解析式为，直线的解析式为， 联立， 解得：， ， ，， ，， ， 而不为定值， 在直线上运动， 到轴的距离为定值8， 直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到，的距离是变化的， 的面积为是定值． 19．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； （3）如图2点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）把点代入 得； 解得； 抛物线的解析式为：． （2）把代入得，， 解得或， ； 当是，， 点的坐标； ；的解析式为：； 根据题意，点的坐标为， 把代入得，． 把代入，得， ；； ，； 轴， 轴， ， ，即， ， ， ， 解得或（舍； （3）存在，点的坐标为，或，或，或，．理由如下： ，， 直线的解析式为：， 当时，； ，； 点是轴上方抛物线上的一点， 当时，， 解得或； 当时，； 的坐标为：，或，； 当时，； 的坐标为：，或，． 综上，点的坐标为，或，或，或，． 20．已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值； （3）如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）， ， ，， ， ， 把，，代入函数解析式得： ， 解得：， ； （2），， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ， 设，则，， ，，， ，， ， 当时，的最大值为； （3）令，解得：，， ， ，点为的中点， ， ，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得：， ， ，， ，， ， ， ①取点关于轴的对称点，连接交抛物线于点，则：，， 设的解析式为：， 则：，解得：， ， 联立，解得：（舍去）或， ； ②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点，则：，， ，， ， ， ， ， ， 过点作轴，则：，， ， ， ， ，， ，， ，设直线的解析式为：，则：， 解得：， ， 联立， 解得：（舍去）或， ； 综上：或． 21．已知二次函数的图象经过，两点，其中，，为常数，且． （1）求，的值； （2）若该二次函数的最小值是，且它的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点，的坐标； ②如图，在轴左侧该二次函数的图象上有一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，，．是否存在点，使若存在，求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）函数过， ，， ， ， ，， ， ． （2）①由（1）知该函数的解析式为：， ， 当时，函数最小值为， 二次函数最小值为， ， 解得， ， ， 二次函数解析式为， 令，则， 解得，， 点坐标，点坐标． ②Ⅰ，当点在点右侧时，如图，过作于点，过作于点， ，，， ，， ，， ， ， △和△都是以为底的三角形， ， ， 过作交轴于点，过作，则， ， ， ， ， ， 点坐标， 直线解析式为， 联立方程组可得， 解得，， 点坐标为，或，． Ⅱ，当点在点左侧时，过作交轴于点， 同第一种情况的方法可得 直线解析式为， 联立方程组得， 解得（舍，， 点坐标为，． 综上，点的横坐标为或或． 22．已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点 “关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数” 的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”． 在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点 “关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数” 的图象上． （1）求函数的“升幂函数” 的函数表达式． （2）如图1，点在函数的图象上，点 “关于的升幂点” 在点上方，当时，求点的坐标． （3）点在函数的图象上，点 “关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数” 的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1），图象如图2所示． （2）如图3， ， 设，． 因为点在点的上方， 当时， 解得． 所以． （3）①因为， 所以，． 如果点与点重合，那么． 整理，得． 解得，或． ②由①可知，直线与抛物线有两个交点和， 如图4所示，函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线． 因为轴，所以、两点关于直线对称． 如图4，当点在点右侧时，，， 如图5，当点在点左侧时，，， 由点在点的上方，得， 当时，， 当时，． 综上，或． ③情形一：如图7，如果和平行且相等，那这两条平行线间得距离等于两个顶点之间的竖直高度，或者等于、两点间的竖直高度． 当时，，所以． 当时，，所以． 所以． 情形2，如图7（局部，变形处理），点是抛物线的顶点． 由，得， 所以， 所以点的横坐标， 于是可得， 所以． 综上，或． 23．【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则　2　，　　． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求，的值； ②若抛物线与轴有两个不同的交点，，，，请直接写出的取值范围． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）由题意，二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ，， ，， 故答案为：2；； （2）①由题意，， 抛物线的顶点为， 又始终是的伴随抛物线， 可令，顶点为；，顶点为， ， ，； ②与轴有两个不同的交点，，，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， 顶点坐标在图象上滑动，顶点为， 当时，解得：或， 抛物线与轴交于，，两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，； 若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上， 在上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）抛二次函数经过，，， 将三点坐标代入解析式得， 解得：，，， 二次函数的解析式为：； 直线经过、两点，设直线解析式为：， 将、两点代入得， 解得：，， 直线解析式为：， 点是直线与轴交点， 令，则， ． （2）①点在直线上方， ， 由题知，， ， 当时，是最大值． ②存在，理由如下： ，， ， 是直角三角形， 要使与相似，只有保证是直角三角形就可以． （Ⅰ）当时， ， ， 此时轴，、关于对称轴对称， ； （Ⅱ）法一：当时， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 由①知， ，， ， ， ， 解得，（舍， ． 法二：当时， ， 过作轴，作，作， 则易证， ， ，，，， ， 解得，（舍， ． 法三：当时， ， ， ， ， 直线的解析式为：， 联立方程组得， 解得：或， 综上，存在点使与相似，此时的坐标为或． 25．已知四个不同的点，，，，，，，都在关于的函数，，是常数，的图象上． （1）当，两点的坐标分别为，时，求代数式的值； （2）当，两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与轴的公共点的个数，并说明理由； （3）当时，该函数图象与轴交于，两点，且，，，四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注表示一条长度等于的倍的线段）． 【考点】二次函数综合题 【解析】（1）将，代入得， ②①得，即． ． （2）此函数图象与轴的公共点个数为两个． 方法1：由， 得， ，， ①当时，，此抛物线开口向上，而，两点之中至少有一个点在轴的下方， 此时该函数图象与轴有两个公共点； ②当时，，此抛物线开口向下，而，两点之中至少有一个点在轴的上方， 此时该函数图象与轴也有两个公共点． 综上所述，此函数图象与轴必有两个公共点． 方法2：由， 得， ，， 抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解． 该方程根的判别式，即． ，所以． 原函数图象与轴必有两个公共点． 方法3：由， 可得或． ①当时，有，即， ． 此时该函数图象与轴有两个公共点． ②当时，同理可得△，此时该函数图象与轴也有两个公共点． 综上所述，该函数图象与轴必有两个公共点． （3）因为，所以该函数图象开口向上． ， ， ． ， ， ， 直线，均与轴平行． 由（2）可知该函数图象与轴必有两个公共点， 设，，，． 由图象可知，即， 的两根为、， ， 同理的两根为、，可得， 同理的两根为、，可得， 由于，结合图象与计算可得，． 若存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为，则此三角形必定为两锐角分别为 、 的直角三角形， 线段不可能是该直角三角形的斜边． ①当以线段为斜边，且两锐角分别为，时， ， 必须同时满足：，． 将上述各式代入化简可得，且， 联立解之得，， 解得，符合要求． ，此时该函数的最小值为． ②当以线段为斜边时，必有， 同理代入化简可得， 解得， 以线段为斜边，且有一个内角为，而， ，即， 化简得符合要求． ，此时该函数的最小值为． 综上所述，存在两个的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为，当时，此时该函数的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 二次函数图像与性质（2）——中考解答题考法讲义 二次函数解答题是中考数学的核心题型，分值占比高（通常10-14分/题），难度覆盖中档题到高档题，是拉开分数差距的关键模块。该题型侧重考查学生对二次函数核心知识的综合应用、数形结合思想及建模能力，紧密贴合中考考情，核心围绕“解析式求解-图象性质应用-实际情境建模-几何综合探究”展开。 核心考点（解答题高频） ①二次函数解析式求解（待定系数法，结合顶点、交点、对称轴等条件）； ②二次函数图象性质综合应用（对称轴、增减性、最值、与坐标轴交点）； ③二次函数与几何图形综合（三角形、四边形面积计算、动点问题、图形变换）； ④二次函数实际应用（拱桥问题、喷水问题、营销利润问题、最大面积问题）； ⑤二次函数综合探究（新定义、多结论证明、动态几何与函数结合）。 考情分析 ①基础层解答题（第1问常考）：侧重解析式求解、简单图象性质（如顶点坐标、对称轴），难度中等； ②进阶层解答题（第2问常考）：侧重函数与几何结合（面积、交点）、实际应用中的基础建模，难度中等偏上； ③拔高层解答题（第3问常考）：侧重动态几何、最值探究、多情况分类讨论，难度较高。 一、核心概念与性质（解答题必备） 1.解析式三种形式及适用场景 一般式：（），适用于已知任意3个点的坐标； 顶点式：（），适用于已知顶点及1个点的坐标； 交点式：（），适用于已知与轴的两个交点、及1个点的坐标。 2.核心性质公式 对称轴：（一般式）或（顶点式）； 顶点坐标：（一般式）或（顶点式）； 最值：当时，；当时，； 与坐标轴交点： 与轴交点：（直接令）； 与轴交点：解方程，交点横坐标为方程的根，判别式决定交点个数。 二、二级结论（解答题提速技巧） 1.待定系数法速解技巧： 已知顶点和另一点，直接代入顶点式，一步求出； 已知与轴交点、，设交点式后，代入第三点可快速消元求解。 2.面积计算快捷方法： 二次函数图象与坐标轴围成的三角形面积：（为与轴交点横坐标）； 抛物线上一点与、围成的三角形面积：。 3.动态几何常用思路： 动点问题：设动点坐标，用含未知数的式子表示线段长度，再结合几何性质（全等、相似、勾股定理）列函数关系式； 图形变换：平移、旋转、对称后，抛物线的值不变，仅顶点坐标变化，可通过顶点坐标变换求新解析式。 考点1：二次函数解析式求解（基础解答题） 例题1（2025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 变式题1（2025·内蒙古·中考真题）问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示． 外形参数： 如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线，中间的矩形和下方的抛物线组成．抛物线的高度为，矩形的边，，抛物线的高度为．在装置内部安装矩形电子显示屏，点，在抛物线上，点，在抛物线上． 问题解决： 如图2，该小组以矩形的顶点为原点，以边所在的直线为轴，以边所在的直线为轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： (1)直接写出，，三点的坐标； (2)直接写出抛物线和的顶点坐标，并分别求出抛物线和的函数表达式； 变式题2（2025·陕西·中考真题）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部，左、右门洞，均呈抛物线型，水平横梁，的最高点到的距离，，关于所在直线对称．，，为框架，点，在上，点，分别在，上，，，．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知抛物线的函数表达式为，，求的长． 考点2：二次函数与几何综合（面积问题） 例题2（2025·黑龙江·中考真题）如图，抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A在点B的左侧，顶点坐标为． (1)求b与c的值． (2)在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使的面积与的面积相等．若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 变式题1（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 考点3：二次函数与几何图形综合（特殊三角形/四边形） 例题3（2025·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究 如图，抛物线交轴于A、两点，交轴于点．直线经过、两点，若点，．点是抛物线上的一个动点（不与点A、重合）．    (1)求抛物线的函数解析式． (2)过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标． (3)若点是直线上的一个动点．请判断在点右侧的抛物线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 变式题1（2025·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点在直线上，点在轴上，是抛物线上位于第一象限的点，若四边形是正方形，求点的坐标； (3)设点在抛物线上，点在抛物线上，当时，的最小值为3，求的值． 考点4：二次函数综合探究（动点问题） 例题4（2025·吉林·中考真题）如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒1个单位长度的速度向终点C匀速运动．当点P出发后，以为边作正方形，使点D和点B始终在边同侧．设点P的运动时间为，正方形与重叠部分图形的面积为y（平方单位）． (1)的长为_______． (2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当正方形的对称中心与点B重合时，直接写出x的值． 变式题1（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为__________； (4)如图2，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线l，过点作，垂足为点，动点，分别从点，同时出发，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点，都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是__________． 1．已知抛物线的对称轴是直线．设是抛物线与轴交点的横坐标，记． （1）求的值； （2）比较与的大小． 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点． （1）求、的值； （2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为6，求点的坐标． 3．已知二次函数，为常数）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移2个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围． 4．已知抛物线与轴交点的坐标分别为，，，，且． （1）若抛物线与轴交点的坐标分别为，，，，且，试判断下列每组数据的大小（填写、或 ①　　；②　　；③　　． （2）若，，求的取值范围； （3）当时，最大值与最小值的差为，求的值． 5．已知抛物线为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1． （1）求的值； （2）点，在抛物线上，点，在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求的值； （ⅱ）若，求的最大值． 6．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点，的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 7．在平面直角坐标系中，已知平移抛物线后得到的新抛物线经过和． （1）求平移后新抛物线的表达式； （2）直线与新抛物线交于点，与原抛物线交于点； ①如果小于3，求的取值范围； ②记点在原抛物线上的对应点为，如果四边形有一组对边平行，求点的坐标． 8．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． （1）求该二次函数的解析式； （2）点是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当的面积最大时，边上的高的值为 　　． 9．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图象与轴交点为，，，．若，求的取值范围． 10．如图①，已知抛物线与轴交于两点、，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线．点是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点． （1）求抛物线的表达式； （2）设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点，过点作直线，分别交抛物线和于点、、均不与点重合），设点的横坐标为，点的横坐标为，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 11．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，． （1）求抛物线的解析式； （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点，使得的面积最大．若存在，请直接写出点坐标和的面积最大值；若不存在，请说明理由． 12．如图1，抛物线经过点、，交轴于点，点是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当点的坐标为时，求四边形的面积； （3）当时，求点的坐标； （4）过点、、的圆交抛物线于点、，如图2．连接、、，判断△的形状，并说明理由． 13．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧），顶点为． （1）求、、三点的坐标； （2）一个二次函数的图象经过、、三点，其中，该函数图象与轴交于另一点，点在线段上（与点、不重合）． ①若点的坐标为，则　 　； ②求的取值范围； ③求的最大值． 14．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，顶点为；抛物线，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，连接，点是抛物线对称轴右侧图象上一点，点是抛物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； （3）如图2，连接，，点是抛物线对称轴左侧图象上的动点（不与点重合），过点作交轴于点，连接，，求△面积的最小值． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （3）连接，交于点，求的最大值． 16．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． （1）　 　； （2）如图，已知点的坐标是． ①当，且时，的最大值和最小值分别是、，，求的值； ②连接，是该二次函数的图象上位于轴右侧的一点（点除外），过点作轴，垂足为，作，射线交轴于点，连接、．若，求点的横坐标． 17．在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． （3）如图2，连接、、，与交于点，过点作交于点．记、、的面积分别为，，当取得最大值时，求的值． 18．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线上方的抛物线上存在点．使得，求点的坐标； （3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． ①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； ②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 19．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； （3）如图2点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．已知平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于，两点，与轴的正半轴交于点，且，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是抛物线在第一象限内的一点，连接，，过点作轴于点，交于点．记，的面积分别为，，求的最大值； （3）如图2，连接，点为线段的中点，过点作交轴于点．抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 21．已知二次函数的图象经过，两点，其中，，为常数，且． （1）求，的值； （2）若该二次函数的最小值是，且它的图象与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点，的坐标； ②如图，在轴左侧该二次函数的图象上有一动点，过点作轴的垂线，垂足为，与直线交于点，连接，，．是否存在点，使若存在，求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 22．已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点 “关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数” 的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”． 在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点，点为点 “关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数” 的图象上． （1）求函数的“升幂函数” 的函数表达式． （2）如图1，点在函数的图象上，点 “关于的升幂点” 在点上方，当时，求点的坐标． （3）点在函数的图象上，点 “关于的升幂点”为点，设点的横坐标为． ①若点与点重合，求的值； ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数” 的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数的图象的交点有3个时，从左到右依次记为，，，当直线与函数的图象的交点有2个时，从左到右依次记为，，若，请直接写出的值． 23．【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则　 　，　　． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求，的值； ②若抛物线与轴有两个不同的交点，，，，请直接写出的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 25．已知四个不同的点，，，，，，，都在关于的函数，，是常数，的图象上． （1）当，两点的坐标分别为，时，求代数式的值； （2）当，两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与轴的公共点的个数，并说明理由； （3）当时，该函数图象与轴交于，两点，且，，，四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注表示一条长度等于的倍的线段）． 学科网（北京）股份有限公司 $