专题12线段.射线与线段暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年苏科版七年级数学上册（解析版）

专题12线段.射线与线段暑假预习讲义 1.识记：熟记直线、射线、线段的定义，分清三者端点数量、延伸特点、能否度量的核心差异。 2.规范：掌握三类图形标准表示方法，牢记射线表示时端点字母必须写在前，区分大小写字母用法。 3. 理解：掌握两条基本事实，一是两点确定一条直线，二是两点之间线段最短，能说出生活实例。 4. 认知：分清点与直线两种位置关系：点在直线上、点在直线外，能用几何语言完整描述。 5. 概念：读懂两点之间距离的定义，明确距离指线段长度，不是线段图形本身。 6. 实操：会用直尺画出直线、射线、线段，能根据图形准确数出图中所有线段、射线、直线并规范书写名称。 7. 辨析：能区分延长线段、反向延长射线等几何操作表述，规避射线字母顺序、无限延伸类常见易错点。 8. 应用：结合钉木条、修路等生活场景，运用两条直线、线段基本事实解释实际问题，建立几何直观。 预习必备 知识梳理 1.直线.射线.线段 2.核心性质 3.线段的相关运算 4.线段的和差.作图 5.直线.射线.线段计数规律 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.直线.线段.射线的数量问题 2.直线相交的交点个数问题 3.线段的应用 4.直线.线段.射线的联系与区别 5.画出直线.线段.射线 6.点与线的位置关系 7.两点确定一条直线 8.线段的和与差 9.线段中点的有关计算 10.线段n等分点的有关计算 11.线段之间的数量关系 12.与线段有关的动点问题 13.两点之间线段最短 14.两点间的距离 15.最短路径问题 16.作线段 强化题型 解答题10题 知识点 01 直线.射线.线段 一．直线 1.直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成，两点确定一条直线。 2.直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个小写字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大一小写两字母来表示。 3.当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点。 4.直线没有端点，没有长度，不可度量。“延长直线” 的说法是错误的。 二．射线 1.与直线的表示类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。 2.射线只有一个端点，没有长度，不可度量。“延长射线AB” 的说法是错误的，但可以说 “反向延长射线AB”。 三．线段 1.线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示。图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a。 2.线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。 四．线段、射线、直线的区别与联系 知识点02:核心性质・必考考点 1. 直线的基本性质（两点确定一条直线） 核心结论：经过两点，有且只有一条直线（“有” 表示存在，“只有” 表示唯一）。 通俗理解：两个点能固定一条直线，不能画出两条不同的直线。 生活应用：钉木板时，钉两个钉子就能固定木板；建筑工人砌墙时，两点拉一条线，保证墙体笔直。 2. 线段的基本性质（两点之间，线段最短） 核心结论：两点之间，线段的长度最短，这条线段的长度叫做两点之间的距离。 通俗理解：从 A 点到 B 点，走直线（线段）最近，绕路（曲线、折线）都更远。 生活应用：过马路走人行横道（线段），不绕路；从家到学校，走直线距离最近。 知识点03:线段的相关运算（基础必会） 1. 线段的比较方法（两种，简单易懂） 度量法：用直尺测量两条线段的长度，直接比较大小（单位要统一）。 叠合法：把两条线段的一个端点重合，看另一个端点的位置，判断长短。 2. 线段的和与差 和：把两条线段首尾顺次连接，组成的新线段长度 = 两条线段长度之和。 差：用较长的线段减去较短的线段，得到的线段长度 = 两条线段长度之差。 3. 线段的中点（高频考点） 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 核心结论：若点C是线段 AB 的中点，则 AC = CB = AB（AB = 2AC = 2CB）。 简单理解：中点就是线段的 “正中间”，把线段分成两段一样长的部分。 知识点 04 线段的和、差、作图（尺规作图） 1.线段和差几何表达 在线段AC上取一点B： AB+BC=AC；AC-AB=BC；AC-BC=AB。 2.尺规作图：作一条线段等于已知线段 标准步骤： （1） 画一条射线AP； （2） 用圆规量取已知线段a的长度； （3） 在射线AP上截取AB=a，线段AB即为所求。 知识点 05 直线、射线、线段计数规律 直线计数：平面内n个点，无三点共线，可画条直线； 射线计数：直线上有n个点，每个点分出 2 条射线，共2n条射线； 线段计数：线段上有n个端点（含两端），线段总条数 = 知识点 06 点与直线的位置关系 点在直线上（直线经过点）； 点在直线外（直线不经过点）。 知识点 07 高频易错点汇总 典型错误 标准正确做法 射线写反顺序，射线OA写成射线AO 射线端点字母必须写在第一位，不可调换 混淆 “两点间距离”，说成两点之间的线段 距离是线段的长度，是数值，线段是图形 认为射线、直线可以度量长度 只有线段有有限长度，射线、直线无限长，无法测量 中点公式书写颠倒，AM=2AB 中点分线段为两半，AM=AB 过两点画多条直线，违背直线公理 牢记两点确定唯一一条直线 计算线段条数漏数、重复数 套用公式，按端点有序枚举 尺规作图不保留圆规痕迹 作图题必须保留作图痕迹，不能直接画出线段 题型1.直线.线段.射线的数量问题 【典例】往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有_______种不同的票价（去程与返程票价相同） 【跟踪专练1】如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制车票的种类数量是（    ） A．4 B．8 C．10 D．20 【跟踪专练2】“福厦高铁”串联起福州都市圈与厦漳泉都市圈，若线路一共有8个站点，则车站单程需要准备车票_____种（站A到站B和站B到站A属于同一种车票）． 【跟踪专练3】过平面上个点画直线有（　　）条． A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 题型2.直线相交的交点个数问题 【典例】平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（   ） A．6个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练1】平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【跟踪专练2】观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练3】我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，…20条直线两两相交最多能有（   ）个交点 A．170 B．190 C．210 D．360 题型3.线段的应用 【典例】已知线段，那么满足的点P的轨迹是_______． 【跟踪专练1】生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 【跟踪专练2】如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【跟踪专练3】某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 题型4.直线.线段.射线的联系与区别 【典例】．线段有_________个端点，射线有________个端点（填“1”或“2”）． 【跟踪专练1】如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【跟踪专练2】直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 【跟踪专练3】已知线段，现有一点P满足，有下列说法：①点P在线段上；②点P在直线上；③点P在直线外．正确的说法是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型5.画出直线.线段.射线 【典例】如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是__________ 【跟踪专练1】如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 【跟踪专练3】如图，已知线段，根据下列步骤，依次画图 ①作出射线； ②在射线上依次截取_________=a； ③在线段上截取_______=b 则长为的线段是__________ 题型6.点与线的位置关系 【典例】如图，用适当的语句表述点A、点B、点P分别与直线l的关系． 答：________；________；________． 【跟踪专练1】如图，，三点在直线上依次排列，关于点位置的描述，正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在直线上 D．点在射线上 【跟踪专练2】若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 题型7.两点确定一条直线 【典例】如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是_____________． 【跟踪专练1】在平面内有三个不同的点，过其中任意两点画直线，则可以画（    ） A．无数条 B．3条 C．1条 D．3条或1条 【跟踪专练2】平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有__________________条． 【跟踪专练3】在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型8.线段的和与差 【典例】把两个含有角的直角三角板如图放置，点D在上，连接、，且的延长线交于点F．若，，的长为__________． 【跟踪专练1】如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 【跟踪专练3】如图，数轴上点A和点B表示的数分别为和2，C是数轴上的一个点，且，则点C所表示的数为（　　） A． B．5 C．或5 D．或8 题型9.线段中点的有关计算 【典例】如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 【跟踪专练1】如图，已知为线段上一点，分别为的中点，若cm，cm，则的长为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练3】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 题型10.线段n等分点的有关计算 【典例】如图，线段，点C在线段上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为：_________． 【跟踪专练1】如图，点C，D在线段上，且，，下列结论正确的是（ ） A．点D是线段的中点 B．点C是线段的中点 C．点D是线段的三等分点 D．点C是线段的三等分点 【跟踪专练2】点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪专练3】如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 题型11.线段之间的数量关系 【典例】已知线段，延长至点，使得，延长至点，使得，量得的长为，则可得的长为________． 【跟踪专练1】在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的折中点，已知是折线的折中点，为线段的中点，，则线段的长为_____． 【跟踪专练3】如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（   ） A． B． C．或 D．或 题型12.与线段有关的动点问题 【典例】．已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则_________． 【跟踪专练1】电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为________． 【跟踪专练2】如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 【跟踪专练3】如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 题型13.两点之间线段最短 【典例】如图是济南老虎山隧道，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是________． 【跟踪专练1】“如图是一个正方形，把此正方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长______________原来正方形的周长，理由是______________”此题中横线上应填写的正确答案是（     ） A．大于，两点之间线段最短 B．小于，两点之间线段最短 C．大于，两点确定一条直线 D．小于，两点确定一条直线 【跟踪专练2】在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 【跟踪专练3】在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A． 木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 题型14.两点间的距离 【典例】如图，在点A和点B之间的四条线中，通过度量可以得到A，B两点之间的距离的线是________．（填序号） 【跟踪专练1】已知线段，点C在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【跟踪专练2】如图，C，D是线段上的两点，且是线段的中点，若，则线段___________． 【跟踪专练3】村庄A、B、C和D坐落在一条又长又直的路上，但不一定按这个顺序排列．从A到C的距离是75千米，从B到D的距离是45千米，从B到C的距离是20千米．问下列哪一项不可能是从A到D的距离的千米数？（   ） A．10 B．50 C．80 D．100 E．140 题型15.最短路径问题 【典例】如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 【跟踪专练1】如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（   ） A．A处 B．C处 C．G处 D．E处 【跟踪专练3】如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型16.作线段 【典例】．如图，画射线，在射线上依次截取，再以点B为圆心，长为半径画弧，弧与射线相交于点C，则线段的长为_____． 【跟踪专练1】下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点是线段上一点，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．则______． 【跟踪专练3】如图，小明利用图中的线段a和b进行了如下四个步骤的操作： （1）作射线； （2）在射线上依次截取； （3）在线段上截取； （4）分别找到线段，的中点E，F． 下列五个选项：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 解答题 1．如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有________条． 2如图、已知直线l和点A、B，P． (1)用适当的语句表述点B与直线l的位置关系：______； (2)请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①画射线； ②连接，在线段的延长线上作线段，使； (3)连接，则______（填“”“”“”）成立的理由是______． 3．如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 4．如图，平面上有四个点 ， ， ， ，根据下列语句画图： (1)画直线 ； (2)画射线 ； (3)画线段 ； (4)连接 ，并反向延长 至点 ，使． (5)在线段上找一点 ，使和最小，并说明理由________． 5．在一条直线上顺次取，，三点，已知，点是线段的中点，且，求的长． 6．如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 7．如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 8．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 9．如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成．（保留作图痕迹） (1)画直线，画射线，连接． (2)延长线段到．使得． (3)在线段上取点，使的值最小． (4)在（2）的条件下，若，，求线段的长度． 10．我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12线段.射线与线段暑假预习讲义 1.识记：熟记直线、射线、线段的定义，分清三者端点数量、延伸特点、能否度量的核心差异。 2.规范：掌握三类图形标准表示方法，牢记射线表示时端点字母必须写在前，区分大小写字母用法。 3. 理解：掌握两条基本事实，一是两点确定一条直线，二是两点之间线段最短，能说出生活实例。 4. 认知：分清点与直线两种位置关系：点在直线上、点在直线外，能用几何语言完整描述。 5. 概念：读懂两点之间距离的定义，明确距离指线段长度，不是线段图形本身。 6. 实操：会用直尺画出直线、射线、线段，能根据图形准确数出图中所有线段、射线、直线并规范书写名称。 7. 辨析：能区分延长线段、反向延长射线等几何操作表述，规避射线字母顺序、无限延伸类常见易错点。 8. 应用：结合钉木条、修路等生活场景，运用两条直线、线段基本事实解释实际问题，建立几何直观。 预习必备 知识梳理 1.直线.射线.线段 2.核心性质 3.线段的相关运算 4.线段的和差.作图 5.直线.射线.线段计数规律 6.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1.直线.线段.射线的数量问题 2.直线相交的交点个数问题 3.线段的应用 4.直线.线段.射线的联系与区别 5.画出直线.线段.射线 6.点与线的位置关系 7.两点确定一条直线 8.线段的和与差 9.线段中点的有关计算 10.线段n等分点的有关计算 11.线段之间的数量关系 12.与线段有关的动点问题 13.两点之间线段最短 14.两点间的距离 15.最短路径问题 16.作线段 强化题型 解答题10题 知识点 01 直线.射线.线段 一．直线 1.直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简单说成，两点确定一条直线。 2.直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个小写字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大一小写两字母来表示。 3.当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点。 4.直线没有端点，没有长度，不可度量。“延长直线” 的说法是错误的。 二．射线 1.与直线的表示类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示。 2.射线只有一个端点，没有长度，不可度量。“延长射线AB” 的说法是错误的，但可以说 “反向延长射线AB”。 三．线段 1.线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示。图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a。 2.线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短。简单说成：两点之间，线段最短。 四．线段、射线、直线的区别与联系 知识点02:核心性质・必考考点 1. 直线的基本性质（两点确定一条直线） 核心结论：经过两点，有且只有一条直线（“有” 表示存在，“只有” 表示唯一）。 通俗理解：两个点能固定一条直线，不能画出两条不同的直线。 生活应用：钉木板时，钉两个钉子就能固定木板；建筑工人砌墙时，两点拉一条线，保证墙体笔直。 2. 线段的基本性质（两点之间，线段最短） 核心结论：两点之间，线段的长度最短，这条线段的长度叫做两点之间的距离。 通俗理解：从 A 点到 B 点，走直线（线段）最近，绕路（曲线、折线）都更远。 生活应用：过马路走人行横道（线段），不绕路；从家到学校，走直线距离最近。 知识点03:线段的相关运算（基础必会） 1. 线段的比较方法（两种，简单易懂） 度量法：用直尺测量两条线段的长度，直接比较大小（单位要统一）。 叠合法：把两条线段的一个端点重合，看另一个端点的位置，判断长短。 2. 线段的和与差 和：把两条线段首尾顺次连接，组成的新线段长度 = 两条线段长度之和。 差：用较长的线段减去较短的线段，得到的线段长度 = 两条线段长度之差。 3. 线段的中点（高频考点） 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 核心结论：若点C是线段 AB 的中点，则 AC = CB = AB（AB = 2AC = 2CB）。 简单理解：中点就是线段的 “正中间”，把线段分成两段一样长的部分。 知识点 04 线段的和、差、作图（尺规作图） 1.线段和差几何表达 在线段AC上取一点B： AB+BC=AC；AC-AB=BC；AC-BC=AB。 2.尺规作图：作一条线段等于已知线段 标准步骤： （1） 画一条射线AP； （2） 用圆规量取已知线段a的长度； （3） 在射线AP上截取AB=a，线段AB即为所求。 知识点 05 直线、射线、线段计数规律 直线计数：平面内n个点，无三点共线，可画条直线； 射线计数：直线上有n个点，每个点分出 2 条射线，共2n条射线； 线段计数：线段上有n个端点（含两端），线段总条数 = 知识点 06 点与直线的位置关系 点在直线上（直线经过点）； 点在直线外（直线不经过点）。 知识点 07 高频易错点汇总 典型错误 标准正确做法 射线写反顺序，射线OA写成射线AO 射线端点字母必须写在第一位，不可调换 混淆 “两点间距离”，说成两点之间的线段 距离是线段的长度，是数值，线段是图形 认为射线、直线可以度量长度 只有线段有有限长度，射线、直线无限长，无法测量 中点公式书写颠倒，AM=2AB 中点分线段为两半，AM=AB 过两点画多条直线，违背直线公理 牢记两点确定唯一一条直线 计算线段条数漏数、重复数 套用公式，按端点有序枚举 尺规作图不保留圆规痕迹 作图题必须保留作图痕迹，不能直接画出线段 题型1.直线.线段.射线的数量问题 【典例】往返于甲、乙两地的火车中途要停靠三个站，则有_______种不同的票价（去程与返程票价相同） 【答案】10 【分析】把三个站和甲乙两地看作线段上的5个点，先求出线段条数，一条线段就是一种票价． 【详解】解：此题相当于一条线段上有5个点，有多少种不同的票价即有多少条线段， 故不同的票价有：． 【跟踪专练1】如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制车票的种类数量是（    ） A．4 B．8 C．10 D．20 【答案】D 【分析】利用线段的数量求解． 【详解】解：该图形中线段的条数为（条）， ∴需印制车票的种类数量是． 【跟踪专练2】“福厦高铁”串联起福州都市圈与厦漳泉都市圈，若线路一共有8个站点，则车站单程需要准备车票_____种（站A到站B和站B到站A属于同一种车票）． 【答案】28 【分析】本题考查了直线、线段、射线的数量问题，将站点类比为直线上的点，单程车票对应两点间的线段，可利用直线上n个点的线段计数公式求解，即可作答． 【详解】解：依题意，将8个站点视为直线上的8个点，单程车票的种类等同于这8个点所确定的线段条数，则直线上n个点的线段总数公式， 当时，代入计算得：， 故答案为：28． 【跟踪专练3】过平面上个点画直线有（　　）条． A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】根据四个点的不同位置关系分类讨论，利用两点确定一条直线的性质计算直线条数。 【详解】解：∵ 两点确定一条直线，分三种情况讨论如下： 情况1：当个点都在同一条直线上时，只能画出条直线； 情况2：当个点中有个点共线，第个点不在这条直线上时，共线三点确定条直线，第个点和个共线点分别确定条不同直线， ∴ 总直线数为条； 情况3：当个点中任意三点都不共线时，每两个点确定一条不同直线，总直线数为条； ∴ 过平面上个点画直线有或或条． 故选：A． 题型2.直线相交的交点个数问题 【典例】平面上4条不重合的直线两两相交，交点最多的个数是（   ） A．6个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】要使交点最多，需保证任意两条直线不平行，任意三条直线不交于同一点，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵4条直线两两相交，要得到最多交点，需任意两条直线相交于不同点，任意三条直线不共点， ∴第一条直线与另外3条直线相交，得到3个交点， 第二条直线与剩余2条直线相交，新增2个交点， 第三条直线与剩余1条直线相交，新增1个交点， ∴总交点个数为个， 【跟踪专练1】平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【答案】 【详解】解：平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， ． 【跟踪专练2】观察如图，并阅读图形下面的相关文字：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平面内直线相交的点的个数，根据题目中提供的条件得到规律是解题关键． 先根据两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点……得到n条直线相交最多有个交点，再把代入即可求值． 【详解】解：2条直线相交最多有1个交点，， 3条直线相交最多有3个交点，， 4条直线相交最多有个交点，， 5条直线相交最多有个交点，， … n条直线相交最多有交点的个数是：． 20条直线相交最多有交点的个数是：． 【跟踪专练3】我们知道，2条直线相交只有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有10个交点，…20条直线两两相交最多能有（   ）个交点 A．170 B．190 C．210 D．360 【答案】B 【分析】本题考查直线相交的交点规律问题，找出n条直线两两相交最多交点数的规律即可解题． 【详解】解：由题意可得， ∵2条直线相交交点数为， 3条直线两两相交最多交点数为， 4条直线两两相交最多交点数为， 5条直线两两相交最多交点数为， ∴可得n条直线两两相交最多交点数的规律为， 当时，代入得． 题型3.线段的应用 【典例】已知线段，那么满足的点P的轨迹是_______． 【答案】线段 【分析】本题考查了点的轨迹．根据点的轨迹即可求解． 【详解】解：∵，， ∴点P的轨迹是线段． 故答案为：线段． 【跟踪专练1】生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的数学，估计的知识，解题的关键是要联系生活实际．结合题意，并联系生活实际逐项判断，即可解题． 【详解】解：A.一支水笔的长度约1拃，估计正确，符合题意；     B. 课桌的高度约2拃，估计错误，不符合题意； C. 黑板的长度约3拃，估计错误，不符合题意；     D. 试卷的宽度约6拃，估计错误，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有___________个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【答案】3 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段的方法：度量法、叠合法、折叠法，据此逐一判断即可． 【详解】解：①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置，方法可行； ②用直尺度量出和的长度，方法可行； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置，方法可行； ④凭感觉估计，不科学，方法不可行． 故答案为：3． 【跟踪专练3】某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查线段的计数问题，解题的关键在于将该问题抽象为几何问题解决．将不同站点的车票抽象为线段，再结合线段的计数方法和“起点或终点不一样都算不同的车票”求解，即可解题． 【详解】解：将不同站点的车票抽象为线段，如下图所示： 上图共有线段（条）， 因为起点或终点不一样都算不同的车票， 所以所有不同的车票有（张）， 故选：D． 题型4.直线.线段.射线的联系与区别 【典例】．线段有_________个端点，射线有________个端点（填“1”或“2”）． 【答案】 2 1 【分析】根据线段是直线上两点之间的部分，因此有2个端点；射线是直线上一点向一侧无限延伸的部分，因此有1个端点回答即可 【详解】解：线段有2个端点，射线有1个端点． 【跟踪专练1】如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 【跟踪专练2】直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 【详解】解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 【跟踪专练3】已知线段，现有一点P满足，有下列说法：①点P在线段上；②点P在直线上；③点P在直线外．正确的说法是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段的和差，熟练掌握线段之间的运算和大小比较是解题关键． 根据线段的长度及的值判断点P的位置即可解答． 【详解】解：当点P在线段上时，与矛盾，故①错误； 若点P在直线的延长线上（如M左侧或N右侧），例如P距M有5个单位时，，此时，满足条件．因此，点P可能在直线MN上，故②正确； 若点P在直线外，例如，存在这样的点．因此，点P也可能在直线外，故③正确． 综上，正确的说法是②和③． 故选B． 题型5.画出直线.线段.射线 【典例】如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是__________ 【答案】线段a 【分析】本题考查两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线是解题关键．根据经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 【详解】解：如图， ∴线段a与挡板另一侧的线段在同一直线上， 故答案为：线段a． 【跟踪专练1】如图，一条直线经过点A，借助直尺或三角板，判断这条直线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线可以向两端无限延伸，借助直尺或三角板将各直线向点A方向延长，观察哪条直线经过点A即可． 【详解】解：分别延长各直线，如图， 经过点A的直线是b． 【跟踪专练2】同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了分类讨论思想，根据题意画出图形是解题的关键．分两种情况进行讨论，①为斜边，则，② 为直角边，或者． 【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有个， 如图： ②为直角边，或者， 满足上述条件的点C有个， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知线段，根据下列步骤，依次画图 ①作出射线； ②在射线上依次截取_________=a； ③在线段上截取_______=b 则长为的线段是__________ 【答案】 / / / 【分析】利用基本作图画出对应的几何图形，即可得出答案． 【详解】①作出射线； ②在射线上依次截取； ③在线段上截取． 则长为的线段是． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 题型6.点与线的位置关系 【典例】如图，用适当的语句表述点A、点B、点P分别与直线l的关系． 答：________；________；________． 【答案】 点在直线上 点在直线上 点在直线外 【分析】根据点与直线的位置关系即可解答． 【详解】解：点在直线上；点在直线上；点在直线外． 【跟踪专练1】如图，，三点在直线上依次排列，关于点位置的描述，正确的是（   ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在直线上 D．点在射线上 【答案】C 【分析】本题考查了点和线的关系，根据图形，即可求解． 【详解】解：根据图形可得点在直线上，或线段的延长线上，或射线上， 故选：C． 【跟踪专练2】若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【答案】D 【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可． 【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误； B. 点在线段AB延长线上时，，故错误； C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误； D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断． 题型7.两点确定一条直线 【典例】如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是_____________． 【答案】 两点确定一条直线 【详解】解：根据直线的性质可知，经过两点有一条直线，并且只有一条直线， 因此经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线，其中蕴藏的数学原理是两点确定一条直线． 【跟踪专练1】在平面内有三个不同的点，过其中任意两点画直线，则可以画（    ） A．无数条 B．3条 C．1条 D．3条或1条 【答案】D 【分析】本题考查了画直线，分三点共线和不共线两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：分以下两种情况： ①∵平面内三点共线， ∴过其中任意两点画直线，只能画出条直线； ②∵平面内三点不共线， ∴过其中任意两点画直线，可画出条直线； 综上，可画出的直线有条或条， 故选：． 【跟踪专练2】平面上有20个不同的点，其中有7个点在同一条直线上，其余再无三点共线，则连接这些点所成的直线共有__________________条． 【答案】170 【分析】此题主要考查了两点确定一条直线，解决问题的关键是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，再代入求值． 根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线…，依此类推找出规律：n个点最多确定（条）直线．据此即可解题． 【详解】解：平面内不同的2个点确定1条直线， 3个点最多确定3条，即； 4个点确定最多（条）直线； 则n个点最多确定（条）直线． 解法1：平面上20个点最多可连（条）直线，而平面上的7个点最多可连（条）直线，现四点共线，故有（条）． 解法2：由直线外的13个点分别与同一直线上的7个点连线可连（条），又13个点无三点共线，可连（条），再加上四点共线一条，一共是（条)． 故答案为：170． 【跟踪专练3】在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短、两点确定一条直线等知识点，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧均是利用两点确定一条直线； 弯曲公路改直是利用两点之间线段最短； 故选：A． 题型8.线段的和与差 【典例】把两个含有角的直角三角板如图放置，点D在上，连接、，且的延长线交于点F．若，，的长为__________． 【答案】8 【分析】根据线段的和差和等量代换，即可进行解答． 【详解】解：， ，即， ， ． ，， ，即， ∴， ∴． 【跟踪专练1】如图，已知，是线段上的两点，且点是线段中点，若，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件各个线段之间的数量关系进行求解． 【详解】解：如图， ， ∵点是线段中点， ∴， ∴． 【跟踪专练2】如图，已知线段，是的中点，点在上，，是的中点，是的中点，则的值为__________． 【答案】 【分析】由是的中点可得，利用线段和差得到，再由点是的中点，点是的中点，可得，，即可求出的值． 【详解】解：是的中点，， ， ， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ． 【跟踪专练3】如图，数轴上点A和点B表示的数分别为和2，C是数轴上的一个点，且，则点C所表示的数为（　　） A． B．5 C．或5 D．或8 【答案】D 【分析】先求解，再根据数轴上的点所表示数的特征进行计算即可． 【详解】解：由所给数轴可知， 因为数轴上点A和点B表示的数分别为和2， 所以． 因为， 所以， 则，， 所以点C表示的数为或8． 题型9.线段中点的有关计算 【典例】如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 【答案】5 【分析】根据，代入求解即可； 【详解】解：根据题意，得点M，N分别是线段，的中点， ，， ， , ， 【跟踪专练1】如图，已知为线段上一点，分别为的中点，若cm，cm，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵为的中点，， ∴ ∵为的中点，， ∴ ∴． 【跟踪专练2】若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于，，三点共线，但点的位置不确定，需分两种情况讨论求解． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：点在的延长线上，即点在，之间， ∴； 情况2：点在线段上，即点在，之间， ∴． 综上，的长为或． 【跟踪专练3】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 【答案】②④/④② 【分析】先求出点对应的数，可判断①；再求出时对应的点的位置即可判断②；分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点在点的右侧，点在点的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可判断④． 【详解】解：∵点A对应的数为4，且，在的左侧， ∴点对应的数是，故①错误； 由题意得：， ∴时，点到达点，故②正确； 分两种情况：当点在点的右侧， ， ， ， 时，； 当点在点的左侧， ， ， ， 时，， 综上所述，时，或4，故③错误； 分两种情况：当点在点的右侧， ∵分别为的中点， ， ， 当点在点的左侧， ∵分别为的中点， ∴， ， ∴在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确． 所以，上述结论中正确的是②④． 题型10.线段n等分点的有关计算 【典例】如图，线段，点C在线段上，P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点，则线段的长为：_________． 【答案】 【分析】本题考查了两点间的距离，n等分点的定义，数形结合是解题的关键．由三等分点的定义得，，然后由两点间的距离求解即可． 【详解】解：∵P，Q是线段的三等分点，M，N是线段的三等分点， ∴，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，点C，D在线段上，且，，下列结论正确的是（ ） A．点D是线段的中点 B．点C是线段的中点 C．点D是线段的三等分点 D．点C是线段的三等分点 【答案】D 【分析】本题考查了线段中点的定义，线段等分点的计算．根据题干条件分析线段间的数量关系，进而判断各项，即可解题． 【详解】解：， 点C是线段的中点，故B结论错误，不符合题意； ， ， 点D是线段的中点， 故A结论错误，不符合题意； ，即点D是线段的四等分点，故C结论错误，不符合题意； 又有，即点C是线段的三等分点，故D结论正确，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差、线段的中点、三等分点，关键是灵活利用知识点解题；分别考虑点在上的两种位置情况，利用线段中点、三等分点的性质，通过线段和差关系计算的长度． 【详解】解：∵点是线段的中点， ∴， ①当时， ∵， ∴，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，线段的长为或， 故选：C. 【跟踪专练3】如图，，是长为8厘米的两根小木棍，它们互相重合（点与点重合，点与点重合），现将沿直线向左平移厘米，将沿直线向右平移厘米，当，是线段的三等分点时，的值为________． 【答案】或 【分析】分情况讨论，即或时，列方程即可解答． 【详解】解：当时， 可得厘米， ， 解得； 当时， 可得厘米， ， 解得； 综上，的值为或． 题型11.线段之间的数量关系 【典例】已知线段，延长至点，使得，延长至点，使得，量得的长为，则可得的长为________． 【答案】 【分析】本题考查线段的和差计算，关键是明确各点的位置关系，将未知线段用含长度的代数式表示，再根据已知线段长度建立方程求解． 【详解】解：如图， 设的长为． ，， ，． ． ， ，解得． 故答案为：． 【跟踪专练1】在线段的延长线上取一点，使，如果，那么的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段的和差． 根据求出的长，根据点C在线段的延长线上计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在线段的延长线上取一点，使， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的折中点，已知是折线的折中点，为线段的中点，，则线段的长为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段中点的定义、线段的和差计算以及分类讨论的数学思想，熟练掌握线段中点的性质和折中点的定义，并能根据点的位置进行分类讨论是解题的关键． 先根据中点的定义求出的长度，再分两种情况讨论折中点的位置，利用折中点将折线分成两等份的性质，分别建立等式求出的长度． 【详解】解：∵为线段的中点，且， ∴． 情况一：当在上时， ∵， ∴． ∵是折线的折中点， ∴， ∴， ∴． 情况二：当在上时， ∵是折线的折中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，将一根绳子对折以后用线段表示，现从处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则这条绳子的原长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求线段长，读懂题意，分类讨论是解决问题的关键． 根据题意，分两种情况：①当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、；②当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、；再根据剪断后的各段绳子中最长的一段为，列式求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，分两种情况： ①当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、， ， ，即线段是最长的一段， 最长的一段为， ， 解得， 这条绳子的原长为； ②当对折点在点时，从处将绳子剪断，分成三段：、、， ， 线段是最长的一段， 最长的一段为， ， 解得， ， 这条绳子的原长为； 故选C． 题型12.与线段有关的动点问题 【典例】．已知点M是线段上一点，若，点N是直线上的一动点，且，则_________． 【答案】1或 【分析】分两种情况：当点N在线段上，当点N在线段的延长线上，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况：当点N在线段上，如图：   ，， ， ， ， ， ； 当点N在线段的延长线上，如图：   ，， ， ， 综上所述：的值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了两点间的距离，分两种情况进行计算是解题的关键． 【跟踪专练1】电子跳蚤游戏盘(如图)为三角形，如果电子跳蚤开始时在边的点，，第一步跳蚤从跳到边上点，且；第二步跳蚤从跳到边上点，且；第三步跳蚤从跳回到边上点，且；…跳蚤按上述规则跳下去，第n次落点为，则与C之间的距离为________． 【答案】5 【分析】本题首先根据题意，分别计算电子跳骚的位置和三角形的顶点的距离，找到循环的规律：经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点．根据这一规律确定第2022次落点的位置，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 此时与重合，即经过6次跳，电子跳蚤回到起跳点． ∵， 即与重合， ∴与C之间的距离为． 故答案为：5 【点睛】本题考查了规律型：此题主要是能够根据题意利用线段的和差计算出有关线段的长，发现电子跳蚤的落点的循环规律，掌握由特殊到一般推导规律是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，解题的关键与难点在于正确的表示出数轴上的点所对应的数．先设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为，设线段和线段的运动速度为，运动时间为，再表示出运动后各点对应的数，最后根据点M，N分别是和的中点，表示出点M，N对应的数，即可解答． 【详解】解：设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为， 设线段和线段的运动速度为，运动时间为， 则运动后点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为． 点M，N分别是和的中点， 点M表示的数为， 点N表示的数为， 当点B在线段上且未到达中点时， 的长为． 故答案为：6． 【跟踪专练3】如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点．以下说法正确的是（     ） ①运动后，； ②的值随着运动时间的改变而改变； ③的值不变； ④当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【分析】分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，，， M为的中点， ， ，故①错误； 设运动t秒，则，， M为的中点，N为的中点， ， ， 的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ，， ， 的值不变，故③正确； ，， ， 解得：，故④正确． 综上可知，说法正确的是②③④． 题型13.两点之间线段最短 【典例】如图是济南老虎山隧道，高速公路在建设过程中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直以缩短路程．其数学原理是________． 【答案】两点之间，线段最短 【详解】解：由题意把道路改直以缩短路程，就用到两点之间，线段最短的性质． 【跟踪专练1】“如图是一个正方形，把此正方形沿虚线剪去一个角，得到一个五边形，则这个五边形的周长______________原来正方形的周长，理由是______________”此题中横线上应填写的正确答案是（     ） A．大于，两点之间线段最短 B．小于，两点之间线段最短 C．大于，两点确定一条直线 D．小于，两点确定一条直线 【答案】B 【详解】解：这个五边形的周长小于原来正方形的周长，理由是两点之间线段最短． 【跟踪专练2】在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 【答案】30 【详解】解：根据题意，得当点P与点B重合时，取得最小值，且最小值为， 则到三个加工点的距离之和最小，且最小为． 【跟踪专练3】在下列现象中，不能用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（    ） A．木匠弹墨线 B．打靶瞄准 C．弯曲公路改直 D．拉绳插秧 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释， 选项C利用的是“两点之间线段最短”的知识． 题型14.两点间的距离 【典例】如图，在点A和点B之间的四条线中，通过度量可以得到A，B两点之间的距离的线是________．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了两点之间的距离，理解题意是解题的关键． 根据相关知识点解题即可． 【详解】解：两点之间的距离是以这两点为端点的线段的长度，即线段的长． 故答案为：② ． 【跟踪专练1】已知线段，点C在直线上，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据点C在直线上，需分类讨论点C的两种位置情况，分别是点C在线段上，点C在线段的延长线上，利用线段和差关系计算即可． 【详解】解：①当点C在线段上时， ∵，， ∴； ②当点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴； 综上，的长为或． 【跟踪专练2】如图，C，D是线段上的两点，且是线段的中点，若，则线段___________． 【答案】3 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．先求出，再根据中点得到． 【详解】解：，， ， 是线段的中点， ， 故答案为：3． 【跟踪专练3】村庄A、B、C和D坐落在一条又长又直的路上，但不一定按这个顺序排列．从A到C的距离是75千米，从B到D的距离是45千米，从B到C的距离是20千米．问下列哪一项不可能是从A到D的距离的千米数？（   ） A．10 B．50 C．80 D．100 E．140 【答案】C 【分析】根据题意分情况进行讨论即可． 【详解】在的左侧时，①顺序为，此时， ； ②顺序为，此时； ③顺序为，此时； ④顺序为，此时（舍去）； 在的右侧时，①顺序为，此时； ②顺序为，此时； ③顺序为，此时； ④顺序为，此时（舍去）； ⑤顺序为，此时， ⑥顺序为，此时； ⑦顺序为，此时（舍去）． 故不可能是从A到D的距离的千米数． 题型15.最短路径问题 【典例】如图所示的是某公园的部分路线示意图，则路线①和路线②相比，路程更短的路线是________（填序号）． 【答案】② 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边式解决问题的关键． 由三角形三边关系得到，根据图形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴ 路线的长度为， 路线的长度为， 故答案为：②． 【跟踪专练1】如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据直线外一点到直线上所有点中垂线段最短可知，最短路径为． 【跟踪专练2】在一条笔直的公路上有7个村庄依次为A、B、C、D、E、F、G，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，，而村庄G正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（   ） A．A处 B．C处 C．G处 D．E处 【答案】B 【分析】本题考查的是比较线段的长短，先根据题意求出各点间的距离并在图上表示出来，再分别计算出各村到选项中所给的村的路程和，再比较出其大小即可． 【详解】解：A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，， ∴ 又村庄G正好是的中点， ∴， ∴各村间的距离如图所示： 各村到A村的路程和为：， 各村到E村的路程和为：， 各村到C村的路程和为：； 各村到G村的路程和为：． ， 故活动中心应建在C村． 故选B． 【跟踪专练3】如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 题型16.作线段 【典例】．如图，画射线，在射线上依次截取，再以点B为圆心，长为半径画弧，弧与射线相交于点C，则线段的长为_____． 【答案】2 【分析】根据线段的和差求解． 【详解】解：由作图得：， ． 【跟踪专练1】下列作图中，不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是读懂图象信息，根据作图痕迹判断即可． 【详解】解：选项A，C，D中可以作出线段， 而选项B表示的是，不能作出线段， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，点是线段上一点，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点．则______． 【答案】 【分析】根据线段的和差关系及已知比例求出和的长，再根据作图痕迹得出，，最后利用线段的和差关系计算的长 ． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴， 由作图可知，， ∴． 【跟踪专练3】如图，小明利用图中的线段a和b进行了如下四个步骤的操作： （1）作射线； （2）在射线上依次截取； （3）在线段上截取； （4）分别找到线段，的中点E，F． 下列五个选项：①，②，③，④，⑤，其中正确的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由作图可得，，再结合线段的和差与线段中点的定义逐一分析即可． 【详解】解：由作图可得：，， ∴，，， 故①②③正确； ∵线段，的中点分别为E，F， ∴，， ∴，故④正确； ，故⑤正确， 综上，正确的有5个． 解答题 1．如图，在平面内有、、三点，根据下列语句画图： (1)画直线，线段，射线； (2)在线段上任取一点（不同于点、），连接线段； (3)数数看，此时图中线段共有________条． 【答案】(1)解：如图所示． (2)解：如图所示． (3)6 【分析】（1）利用直尺即可作出图形； （2）利用直尺即可作出图形； （3）根据线段的定义即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：图中有线段，一共6条． 2如图、已知直线l和点A、B，P． (1)用适当的语句表述点B与直线l的位置关系：______； (2)请用直尺和圆规按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： ①画射线； ②连接，在线段的延长线上作线段，使； (3)连接，则______（填“”“”“”）成立的理由是______． 【答案】(1)点B在直线l上（直线l经过点B） (2)见解析 (3)，两点之间，线段最短 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、两点间的距离． （1）根据点与直线的位置关系可得答案； （2）①根据射线的定义画图即可；②以点P为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点C，则线段即为所求； （3）根据两点之间线段最短可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，点B在直线l上（直线l经过点B）， 故答案为：点B在直线l上（直线l经过点B）； （2）解：①如图，射线即为所求． ②如图，线段即为所求． ． （3）解：， 成立的理由是：两点之间线段最短． 故答案为：；两点之间线段最短． 3．如图，点C为线段的中点，点E为线段上的点，点D为线段的中点． (1)若，且，求的长； (2)若线段，，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）已知，可得的长，因为点C为线段的中点，点D为线段的中点，可得的长，因为，可得的长； （2）因为点C为线段的中点，可得的长，因为，求得的长，可得的长，因为点D为线段的中点，可得的长． 【详解】（1）解：， ， ∵点C为线段的中点，点D为线段的中点， ， ； （2）解：，点C为线段的中点， ， ∵， ， ， ∵点D为线段的中点， ． 4．如图，平面上有四个点 ， ， ， ，根据下列语句画图： (1)画直线 ； (2)画射线 ； (3)画线段 ； (4)连接 ，并反向延长 至点 ，使． (5)在线段上找一点 ，使和最小，并说明理由________． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)；两点之间，线段最短 【分析】（1）（2）（3）根据直线、射线、线段的定义作图即可； （4）反向延长 ，再分别以为圆心， 为半径作弧即可得到 ； （5）连接，相交于点 ，则点 即为所求．结合线段的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）反向延长 ，再分别以为圆心， 为半径作弧即可得到 ； （5）解：连接 ， 交于点 ，点 即为所求， 理由：两点之间，线段最短． 5．在一条直线上顺次取，，三点，已知，点是线段的中点，且，求的长． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，分两种情况进行讨论，根据线段的和差以及中点的性质进行求解． 【详解】解：（1）如图， 当点在点的左侧时， ，， ． 点是线段的中点， ． ． （2）如图， 当点在点的右侧时， ，， ． ∵点是线段的中点， ． ； 综上，的长是或． 6．如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． (2)或 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 7．如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)3 (2)20 【分析】（1）将，，转化为 ，进而根据进行计算即可； （2）根据（1）可推出 ，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， 即， ∵， ∴． 8．已知：M是线段上一定点，C，D两点分别从M，B出发以，的速度沿直线向A，M运动，运动方向如箭头所示． (1)若，当点C，D运动2秒时，求的值． (2)若C，D运动时，总有，则____________ (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，的值为__________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意算出 ，，再由，即可解题． （2）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）根据N是直线 上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段 上时和当点N在线段 的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与 的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ． （3）解：当点N在线段 上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段 的延长线上时，如图： ， 又， ，即． 综上所述的值为或． 9．如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成．（保留作图痕迹） (1)画直线，画射线，连接． (2)延长线段到．使得． (3)在线段上取点，使的值最小． (4)在（2）的条件下，若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是画直线，射线，线段，两点之间线段最短的含义及线段的和与差，熟练的作图是解本题的关键． （1）过、画直线，以为端点，作过点的射线、连接即可； （2）先连接，再延长，以为圆心，为半径画弧，在延长线上截取即可； （3）与的交点即为点； （4）根据求出，根据即可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线、射线，线段即为所求． （2）解：如（1）中图，点即为所求． （3）解：如（1）中图，点即为所求． （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 10．我校始终秉承“发现每一个学生，成就每一个学生”的教育理念．在推进“学习即生活”作业设计大赛过程中，七年级某班学习小组“逐光组”在设计城市规划方案过程中遇到了一些有趣的问题，让我们一起来探究吧！ 【问题探究】： 如图1，一条直线可以把平面分割成2个区域；如图2、图3，两条直线既可以把平面分割成3个区域，又可以分割成4个区域；如图4、图5、图6、图7三条直线可以把平面分割成4个、6个或7个区域． （1）在一个平面内任意画直线，如果分割成的区域有四边形，则至少要画_____条直线． （2）在（1）的条件下，这些直线可以把平面分割成_____个区域． 【解决问题】： 该“逐光组”想用最少的笔直道路围出一个五边形区域用于建造休闲娱乐活动中心，则这些道路会分割出_____个区域，至少需要建设_____个红绿灯．（注：直线交点个数等于红绿灯个数） 【答案】（1）4 （2）9或10或11 解决问题：14，8 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，解题的关键是掌握分类讨论的思想和空间想象的思维． （1）根据要求构造出四边形，确定直线条数即可； （2）分类讨论，确定分割成的区域即可； 解决问题：根据要求画出图形，确定分割的区域，以及最少的交点即可． 【详解】解：（1）分割成的区域有四边形，则至少要画4条直线， 故答案为：4； （2）①如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成9个区域； ②如图所示，， 此时，4条直线可以把平面分割成10个区域； ③如图所示， 此时，4条直线可以把平面分割成11个区域； 故答案为：9或10或11； 解决问题：如图所示，， 这些道路会分割出14个区域，至少需要建设8个红绿灯， 故答案为：14，8． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $