重庆市长寿中学校2025-2026学年高三下学期开学测试数学试题

重庆市长寿中学校高三2026春期开学测试

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 若集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知等差数列的前项和为，若，，则（    ）

A. 19 B. 29 C. 30 D. 31

4. “”是方程“表示双曲线”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

5. 我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，还被用做第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知曲线：，曲线：的离心率分别为，，且，则（   ）

A.  B.  C.  D.

7. 有这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后的厚度能超过地月距离，但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了.一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折后，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数满足关系：．根据以上信息，一张长为100cm，厚度为0.05cm的纸经过对折后的厚度的最大值为（参考数据：）（   ）

A. 1.28cm B. 2.56cm C. 12.8cm D. 6.4cm

8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（   ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9. 已知椭圆的方程是，为椭圆上任意一点，，分别为椭圆的左、右焦点，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于A，B两点，的周长为8，则下列说法正确的是（    ）

A.

B. 存在点，使得的面积为1

C. 椭圆上存在6个不同的点，使得为直角三角形

D. 内切圆半径的最大值与外接圆半径的最小值的比值为

10. 已知中，是BC边上靠近的三等分点，为AO的中点，过点的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，设，其中.则下列结论正确的是（    ）

A.

B.

C. 的最小值为

D. 若，角，则三角形ABC面积的最大值为

11. 设函数，则（    ）

A. 当时，是的极小值点

B. 当时，函数有三个零点

C. 若函数有三个零点，则

D. 已知是函数的极大值点，若，则

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12. 在递增的等比数列中，，，则______.

13. 在直三棱柱中，为的中点，若平面与平面的交线为，则点到直线的距离为_______________．

14. 某中学对“秋假”期间申请留校的学生实行免费托管，现要从名教师中选若干人在天假期值班（每天只需人值班），同一人不能连续值班天，则可能的安排方法有___________种．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15. 某厂为比较甲，乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲，乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，试验结果如下：

试验序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10