精品解析：山东日照市东港区北京路中学2025-2026学年九年级下学期寒假作业质量监测九年级数学试题

寒假作业质量监测九年级数学试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 如图，传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．下列纹样是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 韦伯望远镜通过高红移观测，发现了宇宙诞生后近三亿年左右的最遥远星系，刷新了人类对早期宇宙的认知．其光线自宇宙诞生后约3亿年发出，穿越了约135亿年，如今才被我们“看见”，数据“135亿”用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 6. 古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文．问绫、罗尺价各几何？”设绫每尺价文，罗每尺价文，根据条件可列方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 若点都在反比例函数的图象上，则 8. 已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 或 D. 9. 如图，在正方形网格图中，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 10. 老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 12. 若有意义，则实数的取值范围是_______． 13. 若，则的平方根是__________． 14. 设、是方程的两个实数根，则的值为________． 15. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 16. 如图，是的外接圆，是边上的高，且，过点作交于点，若，则的最小值为___________． 三、解答题 17. （1）求不等式组：的所有整数解 （2）先化简，再求值：，其中． 18. 为全面落实“五育并举”教育方针，某校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”“D．绘画展览”四项活动，小云和小南分别从中随机选择一项活动参加（小云和小南选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． （1）小云选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为_____； （2）请用列表法或画树状图法，求小云和小南选择的活动不同的概率． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 20. 如图，是的直径，点在上，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线相交于点平分，交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求线段的长． 21. 2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（参考数据：，，，） 22. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 23. 小强在学习《图形的相似》这章时，对“直角三角形中，作斜边上的高构造相似”这一基本图形产生了浓厚的兴趣，并对这一基本图形进行了“再创造”． 【初步探究】 （1）如图1，在中，，，求证：； （2）在图1的条件下，延长至点，如图2，使得，连接、，求证：； 【尝试应用】 （3）如图3，在中，，，．以点为圆心，为半径画圆，点为⊙上一动点，连接、，在点运动过程中，的比值是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业质量监测九年级数学试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 如图，传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．下列纹样是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，理解中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 韦伯望远镜通过高红移观测，发现了宇宙诞生后近三亿年左右的最遥远星系，刷新了人类对早期宇宙的认知．其光线自宇宙诞生后约3亿年发出，穿越了约135亿年，如今才被我们“看见”，数据“135亿”用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，先将“135亿”转化为具体数字，再确定和的值即可． 【详解】解：∵135亿， 又∵科学记数法的形式为（，为整数）， ∴将表示为， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，除法，积的乘方法则进行计算即可. 【详解】解：A、不能合并，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，原计算正确. 4. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】从正上方观察立体图形，根据下方长方体和上方梯形榫头的结构，判断俯视图的轮廓与线条虚实．注意被遮挡的内部轮廓线应画成虚线　． 【详解】解：该几何体的俯视图呈现为一个长方形，榫头顶端表现为两条实线，榫头底端表现为两条虚线． 故选． 5. 如图，和关于点O位似，若，的周长为8，则的周长为（ ） A. 24 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形位似的性质，熟练掌握图形位似的性质是关键．根据图形位似的性质求解即可． 【详解】解：， ， 和关于点O位似， ， ， 的周长的周长． 故选：B． 6. 古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文．问绫、罗尺价各几何？”设绫每尺价文，罗每尺价文，根据条件可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键． 根据题目中的两个等量关系分别列出方程，组成方程组即可． 【详解】解：绫七尺、罗九尺，共价适等， ， 绫三尺、罗五尺共价二百八十文， ， 可列方程组为， 故选项C符合题意． 故选：C． 7. 下列关于反比例函数的描述中，正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 若点都在反比例函数的图象上，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内随的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内随的增大而增大．根据反比例函数图象上点的坐标特征对B、D进行判断；根据反比例函数的性质对A、C进行判断． 【详解】解：， 图象位于二、四象限， 故A选项错误，不符合题意； 当时，， 点不在反比例函数的图象上， 故B选项不正确，不符合题意， ， 根据反比例函数的增减性，在每个象限内，随的增大而增大， 当时，y随x的增大而增大 故C选项正确，符合题意； 若点都在函数图象上， ，， ， 故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 8. 已知关于x的方程的两实数根为，若，则m的值为（ ） A. B. 3 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 解得， 此时方程化为，，符合题意； 故. 9. 如图，在正方形网格图中，与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，勾股定理，勾股定理逆定理，平行线的性质，取格点，连接，利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且，由网格的特征可得，得到，由即可得出结果． 【详解】解：如图，取格点，连接， ∵，且， ∴， ∴是直角三角形，且， 由网格的特征得， ∴， ∴． 故选：C． 10. 老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，把，，代入得， ，解得：， ∴， ∵, ∴ 当时，P有最大值为， ∴最佳的洒水量， 故选：． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式即可． 【详解】解：． 12. 若有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解不等式得． 13. 若，则的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值和平方的非负性列出方程组，根据整体思想求出的值，再根据平方根的概念得出答案． 【详解】解：， ， 得：， 即， 的平方根是． 14. 设、是方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可求解． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知：，， ． 15. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键． 解分式方程得，检验，将代入，解得，，由题意知，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：， ， 解得，， 检验，将代入，解得，， ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得，， ∴m的取值范围为且， 故答案为：且． 16. 如图，是的外接圆，是边上的高，且，过点作交于点，若，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过点作的垂线，交于点，交于点，设的半径为，容易判断出为的直径，进而判断出是等腰直角三角形，则，只需求出半径的最小值即可．利用垂径定理可计算出弓形的高为，结合，可求出半径的最小值，进而得到的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作的垂线，交于点，交于点，设的半径为， ∵， ∴， ∴为的直径， ∵， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查圆周角定理和垂径定理的应用，由弓形高推测出半径的最小值是解题关键． 三、解答题 17. （1）求不等式组：的所有整数解 （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)； 【解析】 【分析】（1）分别解两个不等式，再求出不等式组的解，即可求解； （2）先利用分式的运算法则化简分式，再代入求值即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解为， 其所有的整数解为； （2） ， 将代入得原式． 18. 为全面落实“五育并举”教育方针，某校开展了丰富多彩的课后服务活动，其中有“A．红色故事分享会”“B．校园绿植养护”“C．篮球友谊赛”“D．绘画展览”四项活动，小云和小南分别从中随机选择一项活动参加（小云和小南选择每项活动的可能性相同，且他们互相之间选择不受影响）． （1）小云选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为_____； （2）请用列表法或画树状图法，求小云和小南选择的活动不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）先列出表格，再根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：共四种等可能情况，B．校园绿植养护占一种， 小云选择的活动为“B．校园绿植养护”的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 小南 小云 A B C D A B C D 由上表可知，共有16种等可能的结果，其中小云和小南选择的活动不同的结果有12种， （小云和小南选择的活动不同）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）过直线上的点C作轴，交反比例函数的图象于点．若点横坐标为，求的面积． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，反比例函数的几何意义、函数图象的特点，掌握理解函数图象的特点是解题关键． （1）先根据点利用待定系数法可求出反比例函数的表达式；再通过反比例函数的表达式求出点A的坐标，最后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）所求不等式的解集即为求一次函数的图象位于反比例函数的图象的上方时，的取值范围； （3）根据题意得出，，根据反比例函数的几何意义得出，则，即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点 ∴， 故反比例函数的表达式为 把点代入反比例函数得，，解得 ∴点的坐标为 ∵一次函数的图象经过、两点 ∴，解得 故一次函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵ ∴，即一次函数图象在反比例函数图象的上方 ∴； 【小问3详解】 ∵点横坐标为，代入 解得： ∴ 当时，代入，得 解得： ∴ 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，是的直径，点在上，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线相交于点平分，交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据切线的性质得，而，则可判断，根据平行线的性质得，加上，则，即可得到平分； （2）连接，证明是等腰直角三角形，再证明，利用相似比即可计算出的长即可解决问题． 【小问1详解】 证明：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵是的直径， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 21. 2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2）此时手绢端点与舞者距离是，在规定范围内，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. （1）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解： （2）过点C作于E，解和求出的长，进而求出手绢端点C与舞者距离即可判断求解. 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在规定范围内，理由如下： 过点C作于E，则， ∵, ∴， ∵， ∴． ∴， ∴在中，, ∵在中，， ∴． ∴此时手绢端点C与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内． 22. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 【答案】（1）①，；② （2） 证明：∵，，    ∴，    ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，        ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出 ，得出，代入得，进而，即可得证． 【小问1详解】 解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； 【小问2详解】 略 23. 小强在学习《图形的相似》这章时，对“直角三角形中，作斜边上的高构造相似”这一基本图形产生了浓厚的兴趣，并对这一基本图形进行了“再创造”． 【初步探究】 （1）如图1，在中，，，求证：； （2）在图1的条件下，延长至点，如图2，使得，连接、，求证：； 【尝试应用】 （3）如图3，在中，，，．以点为圆心，为半径画圆，点为⊙上一动点，连接、，在点运动过程中，的比值是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）的比值是定值，为 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，关键是利用“两角分别相等”“两边对应成比例且夹角相等”的判定定理构造相似三角形，结合相似三角形的性质推导结论． （1）通过直角相等和公共角相等证明，利用相似三角形对应边成比例得到线段平方的关系； （2）将（1）的结论转化为与、的比例关系，结合公共角证明，进而得到对应角相等； （3）先利用直角三角形角的性质和（1）的结论确定线段、、的长度关系，再构造相似三角形，利用相似性质求出的定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； （3）解：的比值是定值，为．理由如下： 如图，连接，设， 在中，，， ∴， 由（1）的结论，即， ∴， ∵点在⊙上， ∴， ∴，， 即， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $