精品解析：北京十一学校2025-2026学年高三下学期2月教与学诊断数学试题

北京市十一学校2025-2026学年高三年级2月教与学诊断 考试时间：120分钟 满分：150分 出题人：张乐之 左解霞 一．选择题（共10题，每题4分，共40分） 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合运算，求解即可. 【详解】解：根据题意，或或， 即：. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到，再计算模长得到答案. 【详解】，故. 故选：. 【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 3. 设a，b，c为非零实数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值计算可判断ABD，根据不等式性质计算可判断C. 【详解】对于A，当，时，不成立 对于B，当，时，不成立 对于C，，成立 对于D，时，不成立 4. 已知直线和圆相离，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆的方程求得圆心的坐标与半径，再由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用直线与圆相离，列不等式求解即可. 【详解】化圆为， 得圆心坐标为，半径为，解得：， 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相离，所以，所以，解得：. 所以m的取值范围为. 故选：B. 5. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在其准线上，三角形PQF为等边三角形，则P点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】如图由题意，因三角形为等边三角形，则准线上的点满足， 由抛物线的定义可知与准线垂直， ， 因，，解得，即P点的横坐标为3. 6. 已知函数，若函数在时取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数性质及对数运算性质计算求解. 【详解】 因此当时函数取最小值，故 7. 要得到的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式和诱导公式，结合平移代换即可判断. 【详解】由辅助角公式得;， 由诱导公式得：， 所以只需要将向左移可得， 故选：C. 8. 已知是公比的无穷等比数列，其前n项和为，则“，”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取反例判断充分性，就、、分类讨论必要性即可得两者之间的条件关系. 【详解】充分性：不妨取，所以可得, 因此，即“，”成立； 此时其前n项和为, 因恒成立，所以,，即“，”不成立， 综上可知，充分性不成立； 必要性：假设“，”成立； 当时，易知，故“，”成立； 当时，可知， 又因为，所以异号， 若，可知时，则，因此“，”成立； 若，由可得，即“，”成立； 当时，，因为，数列成摆动规律，若“，”成立； 可得，即, 当为偶数时，可知同号，若满足题意，可得，所以，此时“，”成立； 当为奇数时，可知异号，若满足题意，可得， 若时，可得，此时必有满足题意， 若，则，若，，则必有， 若，则随着的增大而趋向于无穷大，最终必有存在， 综上可知，必要性成立； 综上可得，“，”是“，”的必要不充分条件. 9. 中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过边的中点作，垂足为，则就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为，设漏壶上口宽为，下底宽为，高为，在中，根据等差数列即可求解. 【详解】三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸， 如图，在正四棱台中，为正方形的中心，是边的中点， 连结，过边的中点作，垂足为，    则就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为， 设漏壶上口宽为，下底宽为，高为， 在中，，， 因为自上而下三个漏壶的上口宽成等差数列，下底宽也成等差数列，且公差相等， 所以为定值， 又因为三个漏壶的高成等差数列，所以. 故选：． 【点睛】关键点点睛：对于情境类问题首先要阅读理解题意，其次找寻数学本质问题，本题在新情境的基础上考查等差数列的相关知识. 10. 已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ） A. 当时，数列单调递减 B. 当时，数列单调递增 C. 当时，存在正整数，当时， D. 当时，存在正整数，当时， 【答案】D 【解析】 【分析】构建，结合导数分析的单调性和大小关系，利用递推法分析数列的单调性和取值范围，结合选项即可判断. 【详解】设，可知在内单调递增， 构建，则， 可知在内单调递减，且 当时，则，可得； 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可得的函数图象，如图所示： 对于选项AC：若，则， 且，可得， 若，则， 且，可得， 依此类推，可得， 可知数列单调递增，且， 即不存在正整数，当时，，故AC错误； 对于选项BD：若，则， 且，可得， 若，则， 且，可得， 依此类推，可得， 可知数列单调递减，且， 所以存在正整数，当时，（只需即可），故B错误，D正确； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构建，分析两个函数的单调性从而得到大小关系，结合图象分析数列性质. 二、填空题（共5题，每题5分，共25分） 11. 已知，则的值为________．（用数字作答） 【答案】121 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式得出系数的代数计算公式即可求出得解. 【详解】二项式展开式的通项公式为，所以， 故，，， 所以. 12. 已知直线与双曲线的左右两支各交于一点，则b的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意直线过点且双曲线的右顶点为， 又双曲线的渐近线方程为， 因此由题意，解得， 所以b的取值范围为. 13. 在三角形ABC中，，，已知点P满足，则AP的一个可能值为________． 【答案】(答案不唯一，在区间内的数均可取) 【解析】 【分析】通过向量关系将用和表示，再结合已知条件利用数量积公式求模长的取值范围，进而确定一个可能值. 【详解】由，得， 即， 设，则（）， 由， 已知，则， 于是， 而，因，得， ，故可得， 则AP的一个可能值，在范围内的任意实数均可，例如. 14. 若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】利用导数判断出函数在上单调递增时，再由二次函数性质以及分段函数端点处函数值的大小求出结果. 【详解】设， 则在上恒成立， 则需要与在上始终保持符号相同，所以， 设，则对称轴，得， 且，即，得， 综上，实数a的取值范围为． 15. 已知是平面直角坐标系中的点集，点集组成的图形为，给出下列四个结论： ①； ②设点，则直线的斜率的最大值为； ③，； ④的面积小于. 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由题意可得，作出点集组成的图形，再结合图象分析各个选项即可. 【详解】 ， 如图所示，阴影部分即为点集组成的图形， 对于①，因为，所以，故①错误； 对于②，因为， 由图知，当点位于点处时，直线的斜率最大，最大值为，故②正确； 对于③，由图可知，故③正确； 对于④，由图知，的面积，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】关键点点睛：化简，作出点集组成的图形，是解决本题的关键. 三、解答题（共6题，共85分） 16. 中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，． （1）求的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可求得，即可知； （2）选择条件①由可求得，再利用三角形面积公式计算可得结果； 选择条件②时，由可得，利用正弦定理可得，结合恒等变换以及三角形面积公式计算即可； 选择条件③时，因为，，不存在这样的三角形，不合题意. 【小问1详解】 由正弦定理，可得 又因为，因此， 又因为 因此 【小问2详解】 由（1）中，代入得； 选①时，， 由得， 又因为，因此，故； 而， 因此三角形面积为； 选②时，，因为，因此， 由正弦定理可得； 而， 因此三角形面积为； 不能选③，因为此时，不是三角形. 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，，为的中点，平面与棱交于点． （1）求证：为的中点； （2）若为的中点，平面平面，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质可得，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，即可求出答案. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以， 因为是的中点， 所以为的中点． 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面， 又因为平面，因此， 故两两垂直， 故以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以， 所以， 由图知，二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为． 18. “彼此有了三分酒，便猜拳赢唱小曲儿”——这一幕出自《红楼梦》第六十三回《寿怡红群芳开夜宴》，描绘的是酒意微醺后的贾宝玉等人行令助兴的生动场景．这里的“猜拳”，正是中国传统酒令中极为常见的一种互动游戏，而现代最广为人知的猜拳形式之一，便是石头剪刀布．石头剪刀布的规则如下：两人同时出拳，石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，相同则平局．一般来说，人类在出拳时会有不自觉的偏向性．甲乙二人的最近60次出拳如下表． 出拳情况 石头 剪刀 布 甲 30次 20次 10次 乙 15次 30次 15次 用频率估计概率，假设两人每次出拳相互独立. （1）若甲乙二人进行一次猜拳，估计甲获胜的概率； （2）若甲乙二人进行三次猜拳，记平局的次数为X．估计随机变量X的分布列和数学期望； （3）若甲乙二人以如下规则进行一轮“无平局猜拳游戏”：持续进行若干次猜拳，直到其中一方获胜才停止，将该次猜拳的获胜方记为本轮游戏的胜者.直接写出甲本轮游戏获胜的概率． 【答案】（1） （2）分布列见解析，1 （3） 【解析】 【分析】（1）由题意求出每次出拳甲、乙分别出石头、剪刀、布的概率，再由互斥事件的概率求法即可分析求解甲乙进行一次猜拳甲获胜的概率； （2）求出每次出拳平局的概率和随机变量的所有可能取值，由二项分布的概率公式求出每个随机变量取值相应的概率即可求分布列，再由数学期望计算公式计算即可求解； （3）先由（1）得甲获胜概率，接着由（2）得平局的概率，进而求出在一局中分出胜负的概率即可由条件概率计算求解. 【小问1详解】 用频率估计概率，则由题每次出拳甲出石头、剪刀、布的概率分别为，，， 每次出拳乙出石头、剪刀、布的概率分别为，，， 设事件“甲乙进行一次猜拳，甲获胜”，则； 【小问2详解】 用频率估计概率，每次出拳甲出石头、剪刀、布的概率分别为，，， 每次出拳乙出石头、剪刀、布的概率分别为，，， 因此每次出拳平局的概率为， 由题的取值范围有， 且，， ， 因此，的分布列为 0 1 2 3 故的数学期望为； 【小问3详解】 由（1）知，甲获胜的概率为，由（2）知，平局的概率为， 故在一局中，分出胜负的概率为， 所以在分出胜负条件下甲获胜的概率为. 19. 已知点，椭圆的左右顶点分别为，，离心率为，的面积为4． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线交椭圆于点，，若轴上存在点使得为等边三角形，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题目条件求出，即可得答案； （2）求出中点，进而得到中垂线方程，从而求出点坐标，再根据列方程即可求出答案. 【小问1详解】 由题意，，所以， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 直线方程为， 联立，消去化简得， ，解得， 设，， 所以，， 因此中点， 中垂线方程为， 如果存在点使得为等边三角形，则点一定是中垂线与轴的交点， 此时还需要， 而， 因此， 即，解得， 所以. 20. 已知，， （1）当时，求曲线在处的切线； （2）若函数有两个极值点，求a的取值范围； （3）若函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意利用导数几何意义依次求出切点和切线斜率即可得解； （2）分、和分析导函数正负情况即可由极值点定义求解； （3）由（2）得到函数单调性和极值情况，再分析极值和函数值的正负情况即可求解. 【小问1详解】 当时，，则， 因此，， 因此切线方程为； 【小问2详解】 当时，定义域为， ， 令，或， 当变化时，和变化情况如下表 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此此时有两个极值点，符合题意； 当时，定义域为， 令，或， 当时，， 当变化时，和变化情况如下表 + 0 - 极大值 此时只有一个极值点，不合题意； 当时，， 当变化时，和变化情况如下表 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 因此此时有两个极值点，符合题意. 综上，的取值范围为； 【小问3详解】 由（2）的单调性得当时，， 故此时至多一个零点，不合题意，舍去； 当时，， ， 因为，，， 因此恒成立，此时至多一个零点，不合题意，舍去， 当时，， 当时，，当时，， 当时，， 此时函数在和上各有一个零点，符合题意； 当时，，函数不会有两个零点，不合题意， 综上，的取值范围为. 21. 已知集合.对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义.（约定）． （1）若，，求和； （2）若满足且，求的所有可能结果； （3）是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），； （2）、、、. （3）存正整数使且 【解析】 【分析】（1）根据和定义直接依次计算即可求解； （2）由反向推导得到，再根据枚举的可能值； （3）利用的有序性依次迭代计算，再继续迭代计算到即可求解. 【小问1详解】 ，， 由题意，，，，，，，； 【小问2详解】 由且，， 同理，或1时，， 或1时，， 或1时，， 所以（1）等价于，则，， 当，，则为满足， 当，，则为满足， 当，，则为满足， 当，，则为满足， 综上，的所有可能结果、、、. 【小问3详解】 存在正整数使且，理由如下： 由得， 所以， 若，， 则， 若， 则，，， 所以，对都有， 当时，恒成立， 综上，使得成立的所有取值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市十一学校2025-2026学年高三年级2月教与学诊断 考试时间：120分钟 满分：150分 出题人：张乐之 左解霞 一．选择题（共10题，每题4分，共40分） 1. 已知集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 20 3. 设a，b，c为非零实数，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线和圆相离，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点Q在其准线上，三角形PQF为等边三角形，则P点的横坐标为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知函数，若函数在时取得最小值，则（ ） A. B. C. D. 7. 要得到的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 8. 已知是公比无穷等比数列，其前n项和为，则“，”是“，”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面角依次为，，，则（ ） A B. C. D. 10. 已知正项数列满足，下列说法正确的是（ ） A. 当时，数列单调递减 B. 当时，数列单调递增 C. 当时，存在正整数，当时， D. 当时，存在正整数，当时， 二、填空题（共5题，每题5分，共25分） 11. 已知，则的值为________．（用数字作答） 12. 已知直线与双曲线的左右两支各交于一点，则b的取值范围为________． 13. 在三角形ABC中，，，已知点P满足，则AP的一个可能值为________． 14. 若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 15. 已知是平面直角坐标系中的点集，点集组成的图形为，给出下列四个结论： ①； ②设点，则直线的斜率的最大值为； ③，； ④面积小于. 其中所有正确结论的序号是__________． 三、解答题（共6题，共85分） 16. 中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，． （1）求的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为． 17. 如图，在四棱锥中，，，，，，，为中点，平面与棱交于点． （1）求证：为的中点； （2）若为的中点，平面平面，求二面角的余弦值． 18. “彼此有了三分酒，便猜拳赢唱小曲儿”——这一幕出自《红楼梦》第六十三回《寿怡红群芳开夜宴》，描绘的是酒意微醺后的贾宝玉等人行令助兴的生动场景．这里的“猜拳”，正是中国传统酒令中极为常见的一种互动游戏，而现代最广为人知的猜拳形式之一，便是石头剪刀布．石头剪刀布的规则如下：两人同时出拳，石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，相同则平局．一般来说，人类在出拳时会有不自觉的偏向性．甲乙二人的最近60次出拳如下表． 出拳情况 石头 剪刀 布 甲 30次 20次 10次 乙 15次 30次 15次 用频率估计概率，假设两人每次出拳相互独立. （1）若甲乙二人进行一次猜拳，估计甲获胜的概率； （2）若甲乙二人进行三次猜拳，记平局的次数为X．估计随机变量X的分布列和数学期望； （3）若甲乙二人以如下规则进行一轮“无平局猜拳游戏”：持续进行若干次猜拳，直到其中一方获胜才停止，将该次猜拳获胜方记为本轮游戏的胜者.直接写出甲本轮游戏获胜的概率． 19. 已知点，椭圆的左右顶点分别为，，离心率为，的面积为4． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线交椭圆于点，，若轴上存在点使得为等边三角形，求的值． 20. 已知，， （1）当时，求曲线在处的切线； （2）若函数有两个极值点，求a的取值范围； （3）若函数有且只有两个零点，求a的取值范围． 21. 已知集合.对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义.（约定）． （1）若，，求和； （2）若满足且，求的所有可能结果； （3）是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $