北京十一学校2025-2026学年高三下学期2月教与学诊断数学试题

北京市十一学校2025-2026学年高三年级2月教与学诊断 考试时间：120分钟 满分：150分 出题人：张乐之左辉霞 一.选择题（共10题，每题4分，共40分） 1.设A={xx<3},B={xx<0,或x>2,则A∩B=( A.(-n.0) B.(2.3) C.(-n.0)U(2.3)D.(-o.3) 2.若复数z=(3-i1+),则1z=( A.2√2 B.25 C.10 D.20 3.设a,b,e为非零实数，且a>c,b>c,则( A.d2+b2>2c2 B.ab>c C.22>4 D.141、2 4.已知直线y=x+1和圆x2-2r+2-m=0相离，则m的取值范围为( A.(-.1) B.(-1I) C.(0.3) D.(0.V2-1) 5.己知抛物线，=4r的焦点为F,点P在抛物线上，点Q在其准线上，三角形POF为等边三角形， 则P点的横坐标为() A.1 B.2 C.3 D.4 6.己知函数f)=ln(3x)ln(2x),若函数在x=x,时取到最小值，则x,=( A.6 6 B. 5 c.6 D.5 7.要得到函数y=cos2r-sim2r的图象，只需将函数y=√2sin2r的图象( A.向左平移江个单位长度 B.向右平移3”个单位长度 4 C.向左平移3r个单位长度 D.向右平移3江个单位长度 R 8 8.已知{a,}是公比q<0的无穷等比数列，其前n项和为S,则“)∈N”.a,>2026”是 “3meV,S>2026”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不允分也不必要条件 9.中国古代科学家发明了一种三级浦壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上底宽 依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和高度也依次递减1寸.设三个漏壶的侧面与底面所成的锐二面 角依次为0.0.8，则( A.0+0=28 B.sin +sin=2sin, C.cos+cose =2cos, D.tan0 +tan =2tan, 10.己知正项数列{a,}满足2m4,=a1-一，则下列说法中正确的是() d A.当0<4，<1时，数列{4，}单调递减 B.当4>1时，数列{an}单调递增 C.当0<a<1时，存在正整数，当心九时，4，< D.当a>1时，存在正整数n。,当>n,时，a,<2 二.填空题（共5题，每题5分，共25分) 11.心1(r-2)=a,+ax+ax2+…+4r，则4+4，+4，的值为 ·(用数字作答) 12。已知线=-3与双简线手手=b>0)的左右两支爷交于点，则6的取值范制为 13.在三角形ABC中，A=?,B+,C=12,已知点P满是PB=-2P,则P的·个可能值为 3 14.若数f(x)= (x-1)-m-2a.x<I 在×间(-.+)上单调递增，则实数m的值为 mr2-a.x≥1 实数：的取值范围为 15.已/={x)川y=1(r-)+2x+2,0<1≤1,1≤2)是平面直角坐标系中的点集，点集组成的图 形为)，给出下列四个结论： ①(2.10)∈M: ②设点A∈M,则直线OA的斜率的最大值为4： ③VA,BeM,IABs10: ④0的面积小于号 其中所有正确结论的序号是 三、解答题（共6题，共85分） 16.(13分)△4BC中，角A,B,C对边分别为a,b,c,aosB=V5,bsin.A=3. (I)求∠B的大小： (Ⅱ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使△ABC存在且唯一确定，求 △ABC的面积. 条件①：b=5: 条件②：cosA=亏 4 条件③：△ABC的周长为4V5. 17.(14分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB,BC⊥AB,AD/IBC,PA=AD=2,AB=√3， BC=I,E为PD的中点，平面BCE与棱PA交于点F (I)求证：F为PA的中点： (I)若G为CD的中点，平面PAB⊥平面ABCD,求二面角A-FG-E的余弦值. E G 18.(13分)“彼此有了三分酒，便猜拳赢唱小曲儿”一一这一幕出自《红楼梦》第六十三回《寿怡红群 芳开夜宴》，描绘的是酒意微醺后的贾宝玉等人行令助兴的生动场景.这里的“猜拳”，正是中国传统酒令 中极为常见的一种互动游戏，而现代最广为人知的猜拳形式之一，便是石头剪刀布.石头剪刀布的规则 如下：两人同时出拳，石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头，相同则平局.一般来说，人类在出拳时会有 不自觉的偏向性.甲乙二人的最近60次出拳如下表. 出拳情况 石头 剪刀 布 知 30次 20次 10次 乙 15次 30次 15次 用频率估计概率，假设两人每次出拳相互独立 (】)若甲乙二人进行一次猜拳，估计甲获胜的概率： (Ⅱ)若甲乙二人进行三次猜拳，记平局的次数为X,估计随机变量X的分布列和数学期望： ()若甲乙二人以如下规则进行一轮“无平局猜拳游戏”：持续进行若干次猜拳，直到其中一方获胜 才停止，将该次猜拳的获胜方记为本轮游戏的胜者.直接写出甲本轮游戏获胜的概率. 19（15分)已知点T0,2),精圆E:等+卡=1a>6>0)的左右顶点分别为4，名，离心率为 △T44,的面积为4. (I)求椭圆E的方程： (Ⅱ)过点T且斜率为k的直线交椭圆E于点C,D,若y轴上存在点Q使得△QCD为等边三角形， 求k的值. 20.（15分)已知f)=m-a+2x+a生ln(a,a≠0，a*- a (1)当a=-2时，求曲线y=f在(-2f》处的切线： (Ⅱ)若函数f(x)有两个极值点，求a的取值范围： (Ⅲ)若函数f(x)有且只有两个零点，求a的取值范围. 21.（15分)已知集合A={aa=(:,2,x,x),x∈N,1=1,2,3,4}.对集合A中的任意 元素a=(:,x2,x,x),定义T()=(x-x2|,|x-x|,|x-xl,|x-x),当正整数n②2时， 定义T"(a)=T(T-'(a).(约定T'(a)=T(a). (I)若a=(2,0,2,4),B=(2,02,6),求T(a)和T4(B); （Ⅱ)若a=(x,x2,x,x4)满足x∈0,1}(i=1,2,3,4)且T(@)=(1,1,1,),求a的所有可能结果： (IⅢ)是否存在正整数n使得对任意a=(x,x2,x,x)∈A(x≥x≥x≥x)都有T"(a)=(0,0,0,0)？若 存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由. 北京市十一学校2025-2026学年高三年级2月教与学诊断答案 一。选择题 选择答案CBCBC ACBDD 1. 【答案】C 【解答】A={x|x<3},B={x|x<0,或x>2}, A∩B=(-0,0)U(2,3)· 2. 【答案】B 【解答】z=(3-00+)=4+2i, z√42+22=25. 3. 【答案】c 【解答】对于A,当a=b=-1,c=-2时不成立 对于B,当a=b=-1,c=-2时不成立 对于C,22=2a">22=4°，成立 对于D,a=b=2,c=1时不成立 故选C 【答案】B 【解析】首先方程x2-2x+y2-m=0要表示圆，因此配方为(x-1)2+y2=1+m之后需要1+>0 因此m>-1 2 由题意，直线和圆相离，故圆心(1,0)到直线y=x+1的距离 >√1+m=r √2 因此m∈(-1,1) 综上，m∈(-1,1) 5. 【答案】C 【解析】由题意，准线上的点O满足|PF=P9|，因此PO⊥准线1，因此2x=x,+x2, 而x。=1,x2=-1,故x。=3,选C 6 【答案】A 【解析】f(x)=h(3x)·h(2x)=(nx+ln3)nx+n2)=nx)2+(ln3+n2)x+ln2.ln3 因此当=-时函数取最小值，故=6 2 6 7. 【答案】C 【解析】y=cos2x-sin2x=√2sin(2x+35),而将y=√反sim2x的图像向左平移3远也能得到y=√巨sin(2x+3 故选C 8. 【答案】B 【解析】 我们直接对所有情况进行遍历： ①q<-1,显然此时无论两个条件全部满足 ②q=-1,当4>2026时两条件都满足，当a4∈[-2026,0)U(0,2026时两条件都不满足，当4，<-2026时前面条件 满足但后面条件不满足 ③q∈(-1,0)，当4>2026时两条件都满足，当4∈(0,2026时两条件都不满足，当4<0，4≤2026时，两条件都 不满足，但当4<0,4，>2026时，前面条件满足，后面条件不满足 综上，所有后面条件满足的情况前面条件一定满足，但前面条件满足时后面条件不一定满足，故前面条件是后面条 件的必要不充分条件 9. 【答案】D 【解析】（作出二面角的平面角） 三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依次递减1寸（约3.3厘米），下底宽和深度也依次 递减1寸， 如图，在正四棱台ABCD-AB,CD中，O为正方形ABCD的中心，F是边AB的中点， 连结OF，过边AB的中点E作EG⊥OF,垂足为G, D 1- B D A 则∠GFE就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为8， 设漏壶上口宽为a,下底宽为b,高为h, 2，tane=2h 在Rt△EFG中，GF=a-b, a-b 因为自上而下三个漏壶的上口宽成等差数列，下底宽也成等差数列，且公差相等， 所以a-b为定值， 又因为三个漏壶的高h成等差数列，所以tam已+tan6,=2tan62 故选：D, 10. 【答案】D 解析】设f)=2h,g)=x易知了)，8)在0，+)内单调递增 画出两函数图像，因为f(a)=g(a),因此用y=f(a)的横线去截，与f(x)交点的横坐标为a,与g(x)交点的 横坐标为a+ 设r)=fW)-g闲=2m-x+,x>0, 则w--1京《少0， x2 所以F(x)在(0，+∞)内单调递减，且F(1)=0, g() 当0<x<1时，则F(x)>0,可得0>f()>8(x): 当x=1时，则F(x)=0,可得f(x)=g(x)=0: 当x>1时，则F(x)<0,可得0<f(x)<8(x): 可得f(x),8(x)的函数图象，如图所示： 对于选项AC:若0<4<1，则k=f(a)<0,且k=8(a),所以4<4<1， 若0<a2<1,则k2=f(a2)<0且k2=8(a),可得42<4<1， 依此类推，可得a<☑2<a<…<a<…<1, 可知数列{a}单调递增，且a.∈[q,1), 即不存在正整数儿，当心时，Q,<,,所以A,C选项错误 对于选项BD:若a>1则k=f(a)>0,且k=g(a),可得1<42<4， 若4>1，则k2=f(a)>0且k2=8(a),可得1<4<a2, 依此类推，可得1<…<a<…<4<a4,<4, 可知数列{an}单调递减，且a.e1,a], 所以存在正整数h,当>n时，a<2。(只需2>a即可)，所以B错误，D选项正确. 二。填空题 11. 【答案】121 【解析】由题意，4=C-*1(-2)-*,故4=C(-2)=80,4=C(←2)2=40,4=C(2)°=1 故4+4+4=121 12. 【答案】(2，+w) 【解】血照意，直线y3过点a0且双曲线号茶-地>0)的右焦点为2。 因此必须让直线y=x-3的斜率在两渐近线斜率之间才行，即-。< <1<。,解得b>2,故b的取值范围为(2，+0) 2 13. 【答案】(4,8)中的任何一个数 【解析】求取值范围的做法如下：因为点P是BC边上靠近C的三等分点，放AP=AB+2AC,设AB=x 3 3 因此 +202-+402-可-3x-72+4x144 因为x∈(0,12)，因此|AP1e(4,8) 只想填一个值的做法如下：令AB=AC=6,等边三角形即可解出AP的一个长度 令AB=8,AC=4,则三角形为一个角为A=T的直角三角形，也可以解出AP的一个长度 3 14. 【答】【习 【解折】设c)=e6x-D-之x-2a, 则(x)=ex-x=(e-m)x≥0在(-n,1)上恒成立， 则需要y=e-m与y=x在(-n,l)上始终保持符号相同，所以m=e°=1， 设8()=mmr2-ax=x2-a,则对称轴x= 21,得a52, 2a1-a,得心- 3 且h(1)≤8(1)，即- 综上实数a的取值范国为[}，小。 15. 【答案】②③④ 【解析】因为M={(x,y)川y=t(x-1)2+2x+2,0≤t1,1≤x≤2}={(x,y)川2x+2≤y≤x2+3,1x≤2}， 此时图中阴影部分即为点集M组成的图形Q,其中点D1,4),E(2,7),F(2,6), y=x2+3 y=2x+2/ 7012 对于①：因为10>22+3=7， 所以(2,10)EM,故①错误： 对于2：因为。=4：子 易知当点A位于点D处时，直线OA的斜率最大，最大值为4，故②正确： 对于③：因为ABDE=√(2-1)2+(7-4)2=V10,故③正确： 对于@：因为0的面积5<8分放@正编。 故答案为：②③④. 三、解答题 16. 【解析】(13分，5+8) (1)由正弦定理， sinA sin B 因此bsin A=asin B=3 又因为acos B=√3因此tanB=√5， 又因为B∈(0，x) 因此B号 (2)由(1)，B=元，带入acos B=V3得a=25 3 选①时，b=5,由bsinA=3得simA=3 5 4 又因为a=23<5=b,因此A∈(0，)，故cosA=4 2 sin C=sin(B)=sin Acos B+cossinB 525210 因此三角形面积为，S=absinC=×25×5x3+45_35+12 2 10 2 4 3 选②时，cosA=,因为A∈(0，x),因此sinA=二 5 由正弦定理， ,放b=sinB2V5x 2=5 sin A sin B sinA 3 5 sin C-sin(+B)=sin AcosB+cos sin B=3x 一X一十一X 525210 因此三角形面积为S=0smC-分x25x5x3445.35+12 2 102 不能选③，因为此时b+c=2√3=a,不是三角形 问题如下：第一问：用正弦定理基本没问题。部分同学没写角的范围，扣一分： 第二问：除了答案的方法，还可以用余弦定理、几何法。 余弦定理： 香件回 )州 B要 、Q=25 片品 △H13x4:64 'Ae(0,M) ·b5A:a5nb:度3 ?b:写5小：零 (:5±9 si训月毫 .b:s . 6:4:5式万-4啥) A:诉 s有·g 浊 ·So4Btac5mb C:4t5或店 A中.克 二士x2弘(4写)x马 C=4-3时 at c-2acco:8" :h打 c+acb, 12+c2-20÷2为 C.4t3 C225-5=0 SuBc沁wA- 几何法： (2).@a·65 :.4:25 :w5月苦， AE(·,) :5A号 b.sin :.b5 张LPL府B :wB:克，Bu2诉 :.8P:5 ,)A:3,MS :.APry :.节：4t乃C Senvc.EncB./ 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥AB,BC⊥AB,AD/IBC,PA=AD=2,AB=√3，BC=1,E为PD的 中点，平面BCE与棱PA交于点F. （I)求证：F为PA的中点： (Ⅱ)若G为CD的中点，平面PAB⊥平面ABCD,求二面角A-FG-E的余弦值. H A G C 【解析】(14分，6+8) (I)证明：因为AD/BC,AD￠平面BCEF,BCC平面BCEF, 所以AD/I平面BCEF, 又ADC平面PAD,平面PAD⌒平面BCEF=EF, 所以AD//EF, 因为E是PD的中点， 所以F为PA的中点. (IⅡ)解：因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,AP⊥AB,APC平面PAB 所以AP⊥平面ABCD, 又因为ADC平面ABCD,因此AP⊥AD, 故AB,AD,AP两两垂直， 故以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则40,0,0F0,0,D,80,1,D,G；,0》 所以4=0,0,0G=子-D,i=0,1.0, ni.AF=z=0 设平面AFG的法向量为m=(心，y,z),则 m.G=3,3 2y-201 取y=1,则==0，x=-√3，所以m=(-3,1,0), nG-5a+2b-c=-0 设平面EG的法向量为i=(a,b,c),则 2 2 nFE=b=0 取a=2,则b=0,c=5,所以i=(2,0,V3), 所以cos<m,1>= mi-23.21 |ml-nl2×√7 7 由图知，二面角A-FG-E为钝角， 所以二面角A-PG-E的余弦值为- 1