40 方法专题十一 “隐形圆”六大模型的运用-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学全练本Word练习

1.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=,D为平面内一点,且∠BDA=∠C,过点B作BE⊥BD,与DA的延长线相交于点E,则△BDE面积的最大值为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.2 D. 第1题图 第2题图 2.如图,点A,B,C是☉O与坐标轴的三个交点,点P是 上一动点(包括端点A和B),AN⊥PC于点N,☉O的半径为2,M(4,0),点P从点A运动到点B的过程中,线段MN扫过的面积是(　　) A.4+π B.5-π C.8+π D.10-π 3.(2025·自贡)如图,正方形ABCD边长为6,以对角线BD为斜边作Rt△BED,∠E=90°,点F在DE上,连接BF.若2BE=3DF,则BF的最小值为 (　　) A.6 B.6- C.3 D.4-2 第3题图 第4题图 4.(2024·扬州)如图,已知两条平行线l1,l2,点A是l1上的定点,AB⊥l2于点B,点C,D分别是l1,l2上的动点,且满足AC=BD,连接CD交线段AB于点E,BH⊥CD于点H,则当∠BAH最大时,sin∠BAH的值为　　　　.  5.如图,在Rt△ACB中,∠BAC=30°,CB=2,点E是斜边AB的中点,把Rt△ABC绕点A顺时针旋转,得到Rt△AFD,点C,B旋转后的对应点分别是点D,F,连接CF,EF,CE,在旋转的过程中,△CEF面积的最大值是　　　　.  第5题图 第6题图 6.如图,点A,B的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C为平面直角坐标系内一点,BC=2,点M为线段AC的中点,连接OM,OM的最大值为　　　　.  7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,点E是AC的中点,F是斜边AB上任意一点,连接EF.将△AEF沿EF折叠得到△DEF,连接DB,则△BDF周长的最小值是　　　　.  第7题图 第8题图 8.如图,矩形ABCD的边AB=8,AD=6,点M为BC的中点,点P是矩形内部一动点,且满足∠ADP=∠PAB,点N为边CD上的一个动点,连接PN,MN,则PN+MN的最小值为　　　　.  方法专题十一　“隐形圆”六大模型的运用 1.B　【解析】 根据题意点D在以AC的中点O为圆心,AC为直径的☉O的 上运动. ∵∠BDA=∠C,∠EBD=∠ABC=90°, ∴△EBD∽△ABC, ∴=()2. ∵S△ABC=AB·BC=,BD的最大值为☉O的直径AC的长度,∴BD=AC==3, ∴S△EBD的最大值为()2×=. 2.B　【解析】 如图,连接AM. ∵AN⊥CP,∴∠ANC=90°, ∴点N在以AC为直径的圆上运动. ∵OA=OC=2,∠AOC=90°, ∴AC=2, ∴=(-S△AOC)=-1. 当点P在 上运动时,点N在 上运动, ∴MN扫过的面积为S△AOM-S弓形AON=×4×2-(-1)=5-. 3.D　【解析】 ∵2BE=3DF,∴=. 如图,过点F作EF的垂线,过点D作BD的垂线,两垂线交于点M,取MD的中点为O, ∴∠EDB=∠FMD,∴△DBE∽△MDF, ∴==. ∵正方形ABCD的边长为6, ∴BD==6, ∴MD=4,∴OD=2, ∴点F在以点O为圆心、半径为2 的圆上运动. 连接OB,OF,OB与☉O交于点F'. 在Rt△BDO中,OB==4. 当O,F,B三点共线,即点F在点F'处时,BF取得最小值. ∵OF+BF≥BO, ∴BF≥OB-OF=4-2,∴BF的最小值为4-2. 4.　【解析】 如图,连接AD,BC. ∵AC∥BD,AC=BD,∴四边形ACBD是平行四边形, ∴AE=BE=AB. ∵点A为定点,且AB⊥l2,∴AE为定值. ∵BH⊥CD,∴∠BHE=90°, ∴点H在以BE为直径的圆上运动, ∴OE=BE=OA. ∵当AH与☉O相切时∠BAH最大, ∴sin∠BAH==. 5.4+　【解析】 ∵线段CE为定值, ∴点F到CE的距离最大时,△CEF的面积有最大值. 在Rt△ACB中,∠BAC=30°,点E是AB的中点, ∴AB=2BC=4,CE=AB=AE=2,AC=AB·cos 30°=2, ∴∠ECA=∠BAC=30°. 如图,过点A作AG⊥CE交CE的延长线于点G, ∴AG=AC=. ∵点F在以点A为圆心,AB的长为半径的圆上运动, ∴AF=AB=4,∴当G,A,F三点共线,且G,F在点A两侧时, 点F到CE的距离最大,最大值为4+, ∴S△CEF=CE×(4+)=4+. 6.1+2　【解析】 ∵C为平面直角坐标系内一点,BC=2, ∴点C的运动轨迹是半径为2的☉B. 如图,取OD=OA=4,连接CD. ∵点M为线段AC的中点, ∴OM是△ACD的中位线,∴OM=CD, ∴当CD最大时,OM取最大值,此时D,B,C三点共线,且C,D在点B两侧, 此时在Rt△OBD中, BD===4, ∴CD=2+4, ∴OM的最大值是1+2. 7.4+-　【解析】 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2, ∴AB=4,∴AC===2. 如图,以点E为圆心、AE的长为半径作圆,连接BE,交☉E于点D',当点D与点D'重合时,BD的长度最小. ∵将△AEF沿EF折叠得到 △D'EF,且点E是AC的中点, ∴AF=D'F,AE=D'E=. ∵C△BD'F=D'F+FB+BD'=AF+FB+BD'=AB+BD', ∴此时△BDF的周长最小. 过点E作EM⊥AB于点M,则EM=AE=, 由勾股定理得AM===, ∴BM=AB-AM=. 由勾股定理得BE===, ∴BD'=BE-DE'=-, ∴△BDF周长的最小值是4+-. 8.7　【解析】 ∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°. ∵∠ADP=∠PAB, ∴∠ADP+∠PAD=∠PAB+∠PAD=∠BAD=90°, ∴点P的运动路线是以AD为直径的半圆. 如图,作以AD为直径的☉O,作点M关于直线DC的对称点M',连接OM'交☉O于点P',连接M'N,OP,OM. 则OP=OP'=3,M'N=MN, ∴PN+MN=PN+M'N=PN+M'N+OP-OP'≥OM'-OP'=OM'-3, ∴PN+MN的最小值为OM'-3. ∵四边形ABCD是矩形,点O是AD的中点,点M为BC的中点, ∴OD=AD=BC=CM=3,OD∥CM,∠ODC=90°, ∴四边形OMCD是矩形, ∴OM=DC=AB=8, ∴M'M=2MC=6. 在Rt△M'OM中, 由勾股定理得OM'===10, ∴PN+MN的最小值为OM'-3=10-3=7. 学科网（北京）股份有限公司 $