14 第三章 第五节 反比例函数的综合应用-【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学全练本Word练习

第五节　反比例函数的综合应用建议用时:50分钟 【拔高练·能力提升】 1.(2025·泸州)如图,一次函数y=2x+b的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A(2,6). 　　　　　　　　　　　　　　　 (1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)将一次函数y=2x+b的图象沿y轴向下平移12个单位长度,与反比例函数y=的图象相交于点B,C,求S△ABC的值. 2.(2025·遂宁)如图,一次函数y=mx+n(m,n为常数,m≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A(-2,-2),B(a,1)两点. (1)求一次函数和反比例函数的关系式; (2)结合图形,请直接写出不等式-x<0的解集; (3)P(0,b)是y轴上的一点,若△ABP是以AB为直角边的直角三角形,求b的值. 3.(2025·宜宾)如图,过原点O的直线与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A,B两点.一次函数y=mx+b(m≠0)的图象过点A且与反比例函数的图象交于另一点C,与x轴交于点M,其中A(-2,1),C(-1,n). (1)求一次函数y=mx+b的表达式,并求△AOM的面积. (2)连接BC,在直线AC上是否存在点D,使以O,A,D为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. 4.(2025·成都)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=-x+b与反比例函数y=的图象的一个交点为A(a,2),与x轴的交点为B(3,0). (1)求k的值; (2)直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点D在反比例函数的图象上,若∠ACD=90°,求直线AD的函数表达式; (3)P为x轴上一点,直线AP交反比例函数的图象于点E(异于A),连接BE,若△BEP的面积为2,求点E的坐标. 5.如图1,在平面直角坐标系中,矩形OCBA的顶点C,A分别在x轴和y轴的正半轴上,反比例函数y=的图象与AB,BC分别交点D,E,且顶点B的坐标为(6,3),BD=2. (1)求反比例函数y=的表达式及点E的坐标. (2)如图2,连接DE,AC,试判断DE与AC的数量和位置关系,并说明理由. (3)如图3,连接AE,在反比例函数y=的图象上是否存在点F,使得∠AEF=45°?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,说明理由. 第五节　反比例函数的综合应用 1.解:(1)∵一次函数y=2x+b的图象经过A(2,6), ∴6=2×2+b,∴b=2, ∴一次函数的表达式为 y=2x+2. ∵反比例函数y=的图象经过A(2,6), ∴6=,∴m=12, ∴反比例函数的表达式为y=. (2)∵将一次函数y=2x+2的图象沿y轴向下平移12个单位长度,与反比例函数y=的图象相交于点B,C, ∴直线BC的表达式为y=2x+2-12=2x-10. 联立 解得或 ∴B(-1,-12),C(6,2). 如图,过点A作AT∥y轴交直线BC于点T. ∵A(2,6), ∴T(2,-6),∴AT=6-(-6)=12, ∴S△ABC=S△ABT+S△ACT =×12×[2-(-1)]+×12×(6-2) =42. 2.解:(1)∵A(-2,-2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上, ∴k=(-2)×(-2)=4,∴反比例函数的关系式为y=. 又∵B(a,1)在反比例函数y=的图象上,∴a=4,∴B(4,1). 把A(-2,-2),B(4,1)代入y=mx+n(m≠0)得 解得 ∴一次函数的关系式为y=x-1. (2)-2<x<0或x>2. 提示:联立解得或 ∴不等式-x<0的解集为-2<x<0或x>2. (3)∵P(0,b)是y轴上的一点,且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形,AB的关系式为y=x-1, ∴设另一条直角边的关系式为y=-2x+b. 当直角顶点是点A时,则有-2=-2×(-2)+b, 解得b=-6; 当直角顶点是点B时,则有1=-2×4+b,解得b=9. 综上所述,b的值为-6或9. 3.解:(1)将A(-2,1)代入y=(k≠0)得1=, 解得k =-2, ∴反比例函数的表达式为y=-. 在y=-中,当 x=-1时,y=-=2, ∴C(-1,2). 将A(-2,1),C(-1,2)分别代入y=mx+b得 解得 ∴一次函数y=mx+b的表达式为y=x+3. 在y=x+3中,当y=0时,x=-3, ∴M(-3,0),∴OM=3, ∴S△AOM=OM·|yA|=×3×1=. (2)∵直线AB经过原点, ∴点B的坐标为(2,-1),OA=OB. ∵A(-2,1),C(-1,2), ∴AC==, BC==3, AB==2, ∴AC2+BC2=()2+(3)2=2+18=20, AB2=(2)2=20,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°. ∵BC⊥AC,∴OA与AC不垂直. ∵△OAD与△ABC相似, ∴只存在△OAD∽△BAC和△OAD∽△CAB这两种情况. 图1 ①如图1,当△OAD∽△BAC时, 则 ==, ∠ODA=∠BCA=90°, ∴AD=AC,OD∥BC, ∴此时点D为AC的中点, ∴点D的坐标为(-,). ②如图2,当△OAD∽△CAB时, 图2 则 ==, 即 ==, ∴AD=5,OD=3. 设D(d,d+3), ∴ 解得d=3,∴d+3=6, ∴点D的坐标为(3,6). 综上所述,点D的坐标为(-,)或(3,6). 4.解:(1)∵直线y=-x+b与x轴的交点为B(3,0), ∴0=-3+b,解得b=3,∴一次函数的表达式为y=-x+3. 把A(a,2)代入y=-x+3得2=-a+3, 解得a=1,∴A(1,2). 将点A(1,2)代入y=得k=1×2=2. (2)如图,连接AD. 由(1)得反比例函数的表达式为y=. ∵直线AO与反比例函数的图象在第三象限交于点C,点A(1,2), ∴点C的坐标为(-1,-2), ∴AC2=(1+1)2+(2+2)2=20. 设点D的坐标为(m,), ∴AD2=(1-m)2+(2-)2,CD2=(-1-m)2+(-2-)2. ∵∠ACD=90°,∴AD2=CD2+AC2, ∴(1-m)2+(2-)2=(-1-m)2+(-2-)2+20, 解得m=-4或-1(舍去), ∴点D的坐标为(-4,-). 设直线AD的函数表达式为y=k1x+b1(k1≠0). 把(-4,-),(1,2)代入得 解得 ∴直线AD的函数表达式为y=x+. (3)设点E的坐标为(t,). 设直线AE的表达式为y=k2x+b2, 把(t,),(1,2)代入得 解得 ∴直线AE的表达式为y=-x+. 当y=0时,0=-x+,解得x=t+1, ∴点P的坐标为(t+1,0),∴BP=|t+1-3|=|t-2|, ∴S△BEP=|yE|·BP=·||·|t-2|. ∵△BEP的面积为2,∴·||·|t-2|=2, 解得t=或t=-2, ∴点E的坐标为(-2,-1)或(,3). 5.解:(1)∵B(6,3),BD=2,∴D(4,3). ∵y=的图象过点D(4,3),∴k=4×3=12, ∴反比例函数的表达式为y=. 设E(6,n),将点E的坐标代入y=得n=2, ∴E(6,2). (2)DE∥AC,DE=AC. 理由如下:∵B(6,3),D(4,3),E(6,2), ∴BD=2,AB=6,BE=1,BC=3,∴=. ∵∠DBE=∠ABC,∴△BDE∽△BAC, ∴==,∠BDE=∠BAC, ∴DE∥AC,DE=AC. (3)在反比例函数y=的图象上存在点F,使得∠AEF=45°. 如图,当点F在AE上方时,作AG⊥AE,交EF于点G,设G(x,y),作GM⊥y轴于点M,EN⊥y轴于点N. ∵B(6,3),E(6,2), ∴MG=x,MA=y-3,AN=1,EN=6. ∵∠AEF=45°,∠EAG=90°, ∴∠AGE=∠AEG=45°,∴AG=AE. ∵∠MGA+∠MAG=90°, ∠MAG+∠EAN=90°, ∴∠MGA=∠NAE. 在△MGA和△NAE中, ∴△MGA≌△NAE(AAS), ∴MG=AN,AM=NE,∴ ∴∴G(1,9). ∵E(6,2),∴直线EF的函数表达式为y=-x+. 联立解得或 ∴F(,). 如图,当点F在AE下方时,过点A作AT⊥AE交EF于点T,过点T作TK⊥AB交BA延长线于点K. 同理可得AK=BE=1,KT=AB=6, ∴T(-1,-3). ∵E(6,2), ∴直线ET的表达式为y=x-. 联立 解得或 ∴F(-,-). 综上所述,点F的坐标为(,)或(-,-). 学科网（北京）股份有限公司 $